03_02一维单原子链

第n个原子的运动方程
m
d 2n
dt 2

(n1 n1 2n )
(n 1, 2, 3L , N )
—— 每一个原子运动方程类似
—— 方程的数目和原子数相同
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方程解和振动频率 设方程组的解 naq — 第n个原子振动相位因子
)
H
nq
(
)
—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正 坐标为宗量的谐振子波函数
声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子
当这种振动模处于
时，说明有 个声子
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晶格振动 —— 声子体系 —— 声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用 —— 声子具有能量_动量，看作是准粒子 —— 晶格振动的问题 声子系统问题的研究 —— 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的 —— 声子系综是无相互作用的声子气组成的系统
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Байду номын сангаас
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
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格波方程 格波波长
q
1 N
einaqQq
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原子坐标和简正坐标的变换
mn
q
1 N
einaqQq
3N
mn anjQj
j1
—— 有3N个取值
mn anqQq
q
—— 线性变换为么正变换
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Qq
2
H T U 1
2
q
( Q&q
2
q2
Qq
2
)
Qq Nm Aqeiqt —— 系统复数形式的简正坐标
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—— 实数形式的简正坐标 令
T 1 [a2(q) b2(q)]
2 q0
U

1 2
q2[a2 (q)
§3.2 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响
—— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
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得到
应用三角公式 2 4 sin2( aq)
m
2
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格波方程 n Aei(tnaq)
格波的意义 连续介质中的机械波
波数 q 2
晶体中的格波
波长
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
格波波矢 格波相速度 不同原子间相位差 相邻原子的相位差
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格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子相位差 格波1的波矢
—— 原子的振动状态相同
相邻原子相位差
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格波 格波2的波矢
aq1 / 2
Na
h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值
—— 第一布里渊区包含N个状态
每个波矢在第一布里渊区占的线度 q 2
Na
第一布里渊区的线度 2
a
第一布里渊区状态数 2 / a N 2 / Na
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格波的色散关系 格波相速度
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 —— 第n个原子离开平
衡位置的位移 —— 第n个原子和第n＋1个
原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
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平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
相邻原子的位相差 —— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
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—— 相邻原子的相位差取值
波矢的取值 q —— 第一布里渊区
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
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玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每
个原子的振动形式都一样
—— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头 的原子不能用中间原子的运动方程来描述
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—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 —— N很大，原子运动近似为直线运动 —— 处理问题时考虑
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2 sin( aq )
m2
— 不同波长的格波传播速度不同 色散关系 频率是波数的偶函数
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色散关系
—— q空间的周期
频率极小值 min 0 频率极大值 max 2 / m
只有频率在
之间的格波才能在晶体中传播，
其它频率的格波被强烈衰减 —— 低通滤波器
到环链的循环性
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后 第N+n个原子的位移
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则有 要求
q 2 h —— h为整数
Na
波矢的取值范围
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N h N
2
2
波矢 q 2 h
动能和势能的形式 原子位移
为实数 ——
—— N项独立的模式
正交性
动能的正则坐标表示 势能的正则坐标表示
T 1
2
q
Qq 2
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势能
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系统势能
将
代入得到
哈密顿量
U 1
2
q

2 q
后，相互作用势能
—— 常数 —— 平衡条件
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简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力
—— 恢复力常数
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原子的运动方程 —— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
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长波极限下 相邻两个原子振动相位差
—— 晶格可看作是连续介质 短波极限下
—— 相邻原子的振动相位相反
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原子位移和简正坐标的关系 第q个格波引起第n个原子位移
第n个原子总的位移
令
mn
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格波 —— 长波极限情况
当
VElasticq VElastic a / m
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致
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格波 —— 短波极限情况
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致 —— 不同频率的格波传播速度不同
q0

b2 (q)]
哈密顿量
H

1 [a&2(q) b&2(q)] 2 q0
1 2
q2[a2(q) b2(q)]
q0
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能量本征值
nq

(nq

1 2
)q
本征态函数
nq (Qq )
q
/
h
exp(
2
2