《近世代数》

d n2

d nm
此表也称为凯莱运算表.
§1. 4 结合律
定义1.4.1 设 是集合A的一个代数运算. 如果对任意
a，b，c A 有 (a b) c a (b c),则称代数运算

适合结合律，并且 将运算结果统一记成 a b c ． 对于A中n个元 a1 , a2 an，当元素的排列顺序不变时
可以用一个矩形表（即运算表）给出.
例 设A={ a1 , a2 ,a n }，B={ b1 , b2 bm}，则 A B 到
D的一个代数运算 ( ai bj dij , dij D )可表示为

a1 a2
b1
d 11 d 21
b2
d12
d 22
bm
d 1m
d 2m
an d n1

射叫做一个 A B 到D的二元代数运算；当A=B=D时, 从 A A 到A的映射简称A上的代数运算或二元运算. 一 个代数运算可以用 表示，并将(a,b)在运算 下的像 记作 a b .


注:
a b A. （１） 是A上的代数运算 a, b A ，

（２） 当A,B是有限集时， A B 到D的代数运算通常
第一章
基本概念
§ 1.1- § 1.6
目的与要求: ◆掌握集合及相关概念． ◆掌握映射的定义及相关概念,学会验证映 射的合理性． ◆熟练掌握代数运算的概念并会验证. ◆掌握结合律,交换律,分配律的概念及其 性质.
一、概念
1.
集合： 集合是一个不定义名词，但可以给集合作一些
描述性的解释. 所谓集合就是具有一定属性的事物组成 的整体(或集体).通常用英文大写字母A, B, C，…等表示.
B A
A B.
6.集合的分类：集合的分类有很多种，常见的有 （1） 有限集 无限集； （2） 可数集 （3） 无序集 有序集 等等.
不可数集 ；
二、集合的运算
• •
A B ＝ { x | x A 或 x B }． 并：
交： A B { x | x A 且 x B }．
则是 一个 A1 A2 ... An 到B的映射．
例2 设 A1 {东，西}，A2 {南}，B {高，低 }
则 1 : A1 A2 B;(西, 南） 高不是映射. 因为映射要满足每一个元
(a1 , a 2 ) 都要有一个像．
(东, 南） 低 是一个映射． 而 2 : A1 A2 B;(西, 南） 高；
a1，a2 ,， , an A(n 2) , 所有的 i (a1 a2 都相等，其结果统一记为 a1 a2 an .
an )
§1.5 交换律
定义1.5.1 设 是 A A 到 D 的代数运算。如果 a，b A，
a b b a 成立，则称运算 满足交换律. 定理1.5.1 假设一个集合A的代数运算 同时适合结合
律 ， 则 对 a1, a2 ,an A, b B 有 b ⊙( a1 a2 a n ) =( b ⊙ a1) ( b ⊙ a2 ) … ( b ⊙a n ).
定义1.6.2 设⊙ 是 B A 到 A 的一个代数运算， 是 上A 的一 个二元代数运算. 若 对 a1，a2 A, b B 都 有 ( a1 a2 )⊙ b = ( a1 ⊙ b ) ( a2 ⊙ b )
也适合结合律； 也适合交换律.
， 来说， A 与 A 同态，则
定理1.8.2 假定⊙, 是 A的代数运算，⊙， 是 A 的代
数运算，且存在满射 : A A ，使得与对于代数运算 ⊙,⊙是同态，对于代数运算 , 也是同态，则 (i)若⊙, 适合第一分配律，⊙， 也适合第一分配律; (ii)若⊙, 适合第二分配律，⊙， 也适合第二分配律.
例1 设集合 A1 A2 ... An B R ,对(a1, a2 ,...,an ) A1 A2 ... An 定义 : A A ... A B;(a , a ,..., a ) b a2 ... a2 , 1 2 n 1 2 n 1 n
(2n 2)! N 种不同的加括 (如按下标的自然顺序)，可以有 n!(n 1)!
号方法. 它们的计算结果未必相同. 不妨用 i (a1 a2 an ) ，i 1,2,...N 来表示这些加括号 的不同方法.
定理1.4.1
设集合A的一个代数运算

适合结合律，则对任意
不是一个映射． 因为 a 1 时， (1) 0 Z ．

定义1.2.2 设 1 , 2是A到B的两个映射，若对 a A ， 有 1 (a) 2 (a), 则称 1 与2 是相等的,记作 1 2.
注: 映射相等 构成映射的三要素（值域、定义域、对
应法则）全相同．
成立，则称⊙， 适合第二分配律(右分配律).
定理1.6.2 假设 适合结合律，且⊙， 适合第二分配
律,则 a1 , a2 ,an A, b B 有 ( a1 a2 a n )⊙b =( a1 ⊙ b ) (a2 ⊙ b ) … ( a n ⊙ b ).
§ 1.7- § 1.9
例5 设 A B Z 为正整数集 ．
定义 1 : Z Z ; a
则 1 2 .
1 1 (a)，a Z ,
a0 2 (a), a Z .
2 : Z Z ; a
§1.3
代数运算
定义1.3.1 设A,B,D是三个非空集合. 从 A B 到D的映
§1.6
分配律
定义1.6.1 设⊙是 B A 到 A 的一个代数运算， 是 A 上
的一 个二元代数运算.若 对 a1，a2 A, b B 都有 b⊙ ( a1 a2 )=( b ⊙a1 ) ( b ⊙a2 ) 成立，则称⊙， 适合第一分配律(左分配律) .
适合第一分配 定理1.6.1 假设 适合结合律，且⊙，
定义1.8.2 设 ， 分别是集合
A A 定理1.8.1 设对于代数运算
(i)若 适合结合律， (ii)若 适合交换律，
A, A 的代数运算，若 是一 个单射(满射)的同态映射，则称 是一个同态单射(满 射). 特别地，当 是一个同态满射时，对于 ， 来说 称 与 同态.

注: (1) 映射定义中 “b”的唯一性：映射不能“一对多”，
(2) 记法：
但可以“多对一”． ：A B; a b (a)，a A ．
(3) 一般情形，将A换成集合 A1 A2 ... An 的积，则 对 (a1 , a2 ,...,an ) A1 A2 ... An 有 : A1 A2 ... An B;(a1, a2 ,..., an ) b (a1, a2 ,..., an ).
注:
小 结
源自文库
变换 是 A 到 A 自身的一个映射. 为了比较两个集合，我们引入了单射，满射，一 一映射和变换的概念.
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§1.8
同态
: A A 是一个映 定义1.8.1 设 , 分别是集合的代数运算，
射,若 a, b A ，有
1 : a
则称 是 A 到 A 的一个同态.
定理1.7.1 设 是 A 到 A 间的一一映射，则存在一个 A
到 A 间的一一映射 1 .
注:
1 一一映射 与 同时存在.
定义1.7.2 集合 A 到 A 的一个映射 叫做 A 的
一个变换. (1)如果 : A A 是单射，则称 是单射变换； (2) 如果 : A A 是满射，则称 是满射变换; (3) 如果 : A A 是一一映射，则称 是一一变换 .
(a b) (a) (b) ,
例1 A=Z (整数集)， 是普通加法； A ={1,-1}， 是普通乘法.
则 (1)

1 ； 1 是一个 同态映射 ;
2 是满的 (2) 2 : a 1, 若a是偶数；a 1, 若a是奇数 ； 同态映射; 1 ； 3 是映射但不是同态. (3) 3 : a
目的与要求:
◆熟练掌握单射,满射以及一一映射的概念以及之 间的联系 ◆熟练掌握同态的概念及其性质并会验证. ◆掌握同构与自同构的概念及性质. . ◆掌握等价关系与集合的分类的概念以及它们之间 的联系并会确定.
定义1.7.1 设 是集合 A 到 A 的一个映射.
若对 a, b A ，当 a b 时，有 (a) (b) ，则称 a A 使 是 A 到 A 的一个单射 ；若对 a A ， 得 (a) a ，则称 是 A 到 A 的一个满射； 若 既是满射又是单射，则称 是 A 到 A 的一个 一一映 射 .
例3 设A1=B=Z，则 : R
R; a
a,当a 1时 b,当a 1时，
2 其中 b 1 ,不是一个映射， 这是因为 2 b 1 时， b= 1, 此时1在 下的像就不唯一． 当
例4 设 A1 B Z
(正整数集)，则

： Z Z ; a a 1, a Z
• 差： A\ B
{ x | x A 且 x B }．
补集就是特殊的差，即取A为全集．
•
积： 设 A1 , A2 , An 是n个集合，则集合 A1 , A2 , An 的积 (Descartes 积)定义为：
A1 A2 An {(a1, a2 ,an ) ai Ai }.
有
律与交换律,那么在 a1 a2 an 中，元素的次序 可以调换.
例
(1) (2) (3) (4)
判定下列有理数集Q上的代数运算 是否适合结合律， 交换律？ a b a b ab (适合结合律和交换律 ) a b (a b) 2 (适合交换律，但不适合结合律) ab a (适合结合律，但不适合交换律 ) 3 ab b (既不适合结合律，也不适合交换律 )
§1.2
映射
定义1.2.1 设A,B是两个集合． A到B的一个映射是指有
一个对应法则 ，使得对于 a A ， 存在唯一的 元素 b B 通过 与之对应.有时也称对应法则 是A 到B的一个映射，其中 b称为a在映射 下的像，记 为b= (a)，a称为b在映射 下的一个逆像(原像). A称为 的定义域，B称为 的值域.
即由一切从 A1 , A2 , , An 里顺序取出元素组成的元素 组 (a1 , a2 , an ) ，ai Ai 组成的集合． 例 A={1,2,3}， B={4,5}, 则
A B ={(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}，
B A ={(4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3)}．
• 集合中的元素具有: 确定性; 互异性; 无序性. • 几个常用的数集：N(自然数集)，Z(整数集), Q (有理数集)， R(实数集), C(复数集) . 2. 元素（或元）: 组成一个集合的事物. 如果a是集合A中的元素，记作a A ； 如果a不是集合A的元 素，记作 a A 或a A .
3．空集：没有元素的集合，记作 . 4．子集：设A,B是集合，则 B A (B是A的子集)是指 b B b A. 真子集：B是A的真子集是指 B A 且 a A ，但 a B . 幂集：集合S的幂集是指由S的全体子集组成的集合， 记作 2S 或P(S )或 (S ) . 5．集合的表示方法 表示一个集合的方法通常有很多，如 • 列举法：列出它的所有元素，并用一对花括号括起来. • 描述法：用其中元素所具有的特性来刻画. • 图表法：用一些特殊的图形来表示出它的所有元素.