两个总体均值差的区间估计
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从上述方程组中解出 1 , 2 ,, k ，分别记作
ˆ ˆ ( X , X ,, X ), 1 1 1 2 n ˆ ˆ ( X , X ,, X ), 2 2 1 2 n ˆ ˆ ( X , X ,, X ). k k 1 2 n
以此作为未知参数 1 , 2 ,, k 的估计量，称为矩估计量．
例4 设总体 X 的均值为 ，方差为 2， 且 0，但 与 均未知，又设总体 X 的一 个样本为（X1, X2 , , Xn），求 与 2的矩估 计量． 解 1 E ( X ) , 令
2 E( X 2 ) D( X ) E( X )2 2 2
如果样本观察值为（ x1, x2, …,xn ），则
得未知参数 1 , 2 ,, k 的矩估计值为
ˆ1 ˆ1 ( x1 , x 2 , , x n ), ˆ2 ˆ2 ( x1 , x 2 , , x n ),
ˆk ˆk ( x1 , x 2 , , x n ).
1
, 令
， 1 A 1
即
1 n Xi X, n i 1 1
ˆ 因此得到 的矩估计量为
1 ． X
例3 设总体 X 在区间 [a, b] 上服从均匀分
布，a 与 b 为未知，X1 ，X2 ， ，Xn是来自总体
X 的样本，求 a 与 b 的矩估计量．
ห้องสมุดไป่ตู้
解
令
ab , 2 2 2 ( b a ) ( a b ) 2 2 E ( X 2 ) D( X ) E ( X ) 12 4
设总体 X 的分布函数为F ( x,1 , 2 ,, k ) , 其中1 , 2 ,, k 为 k 个未知参数. 假设总体 X 的
各阶原点矩 E( X l ) (l 1,2,, k )存在, 则E (X l )是
1 , 2 ,, k 的函数，记作μl=μl( 1 , 2 ,,)k 即
1 A 1, 2 A 2,
即
1 n A1 n X i X , i 1 n 1 2 2 2 A X 2 i . n i 1 2 解此方程组得到 与 的矩估计量为
ˆ A1 X ,
n n 1 1 2 ˆ 2 A 2 A1 X i2 X 2 ( X i X ) 2 . n i 1 n i 1
上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法． 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，其中 >0 为未知，又设X1, X2, …,Xn为 X 的样本，求 的矩估计量． 例1 解 X ~ ( ) , E( X ) , 即1 E( X ) , 令 1 A1 ，即
1 n Xi X , n i 1
得 的矩估计量为
ˆ X．
例2 设总体 X 服从参数为 的指数分布，其 概率密度为
e x , x 0, f ( x) 0 , x 0,
其中 0 为未知，又设 X 1 , X 2 ,, X n 为 X 的 样本，求 的矩估计量． 解 由于1 E ( X )
第七章 参数估计
第一节 参数的点估计
一、点估计问题
设总体 X 的分布函数的形式为已知的F ( x,θ ) ，其中 x 是自变量,θ为未
知参数（它可以是一个数，也可以是一个向量）．借助于总体 X 的一个样本
（X 1, X 2, …, X n ），来估计未知参数θ的值的问题，称为参数的点估计问题．
ˆ ˆ ( X1, X2, …,Xn )，用样 点估计的问题就是要构造一个适当的统计量
a b 2 A1 , 2 b a 12 ( A A 2 1 ).
于是得到 a、b 的矩估计量为
3 n 2 ˆ A1 3( A2 A ) X a ( X X ) , i n i 1
2 1 n 3 2 ˆ A 3( A A ) X b ( X X ) . 1 2 i n i 1 2 1
ˆ ˆ 本的一组观察值（ x1, x2, …,xn ），得到 ˆ 的观察值 （ x1, x2, …,xn ), 以此
ˆ ˆ X 1, X 2, …, X n ）为θ的估计量，称 来估计未知参数θ ．称统计量 （
ˆ ˆ （ x1, x2, …,xn ）为θ的估计值．
二、矩估计法
l l (1 , 2 ,, k ) E( X ， ) l=1,2,…，k．
对于总体 X 的样本（ X1, X2, …,Xn ），样本的 l 阶原点矩为
1 n l Al X ， i l = 1, 2, …，k． n i 1
令
μl = Al , l=1,2,…，k，
即
1 n 1 ( 1 , 2 , , k ) n X i , i 1 1 n 2 2 ( 1 , 2 , , k ) X i , n i 1 1 n k k ( 1 , 2 , , k ) n X i i 1
1 E ( X )
即
1 A1 , 2 A2 ,
整理得
1 n a b 2 A1 n X i X , i 1 2 2 n ( b a ) ( a b ) 1 A2 X i2 , 4 n i 1 12
注 此例说明，无论总体 X 服从什么分 布，样本均值 X 都是总体均值 的矩估计量， 样本二阶中心矩就是总体方差 2 的矩估计 量． 例5 某厂生产一批铆钉，现要检验铆钉头部直径，从这批产品中随机抽 取12只，测得头部直径（单位：mm）如下： 13.30 13.54 13.38 13.31 13.40 13.34 13.43 13.47 13.32 13.44 13.48 13.50
ˆ ˆ ( X , X ,, X ), 1 1 1 2 n ˆ ˆ ( X , X ,, X ), 2 2 1 2 n ˆ ˆ ( X , X ,, X ). k k 1 2 n
以此作为未知参数 1 , 2 ,, k 的估计量，称为矩估计量．
例4 设总体 X 的均值为 ，方差为 2， 且 0，但 与 均未知，又设总体 X 的一 个样本为（X1, X2 , , Xn），求 与 2的矩估 计量． 解 1 E ( X ) , 令
2 E( X 2 ) D( X ) E( X )2 2 2
如果样本观察值为（ x1, x2, …,xn ），则
得未知参数 1 , 2 ,, k 的矩估计值为
ˆ1 ˆ1 ( x1 , x 2 , , x n ), ˆ2 ˆ2 ( x1 , x 2 , , x n ),
ˆk ˆk ( x1 , x 2 , , x n ).
1
, 令
， 1 A 1
即
1 n Xi X, n i 1 1
ˆ 因此得到 的矩估计量为
1 ． X
例3 设总体 X 在区间 [a, b] 上服从均匀分
布，a 与 b 为未知，X1 ，X2 ， ，Xn是来自总体
X 的样本，求 a 与 b 的矩估计量．
ห้องสมุดไป่ตู้
解
令
ab , 2 2 2 ( b a ) ( a b ) 2 2 E ( X 2 ) D( X ) E ( X ) 12 4
设总体 X 的分布函数为F ( x,1 , 2 ,, k ) , 其中1 , 2 ,, k 为 k 个未知参数. 假设总体 X 的
各阶原点矩 E( X l ) (l 1,2,, k )存在, 则E (X l )是
1 , 2 ,, k 的函数，记作μl=μl( 1 , 2 ,,)k 即
1 A 1, 2 A 2,
即
1 n A1 n X i X , i 1 n 1 2 2 2 A X 2 i . n i 1 2 解此方程组得到 与 的矩估计量为
ˆ A1 X ,
n n 1 1 2 ˆ 2 A 2 A1 X i2 X 2 ( X i X ) 2 . n i 1 n i 1
上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法． 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，其中 >0 为未知，又设X1, X2, …,Xn为 X 的样本，求 的矩估计量． 例1 解 X ~ ( ) , E( X ) , 即1 E( X ) , 令 1 A1 ，即
1 n Xi X , n i 1
得 的矩估计量为
ˆ X．
例2 设总体 X 服从参数为 的指数分布，其 概率密度为
e x , x 0, f ( x) 0 , x 0,
其中 0 为未知，又设 X 1 , X 2 ,, X n 为 X 的 样本，求 的矩估计量． 解 由于1 E ( X )
第七章 参数估计
第一节 参数的点估计
一、点估计问题
设总体 X 的分布函数的形式为已知的F ( x,θ ) ，其中 x 是自变量,θ为未
知参数（它可以是一个数，也可以是一个向量）．借助于总体 X 的一个样本
（X 1, X 2, …, X n ），来估计未知参数θ的值的问题，称为参数的点估计问题．
ˆ ˆ ( X1, X2, …,Xn )，用样 点估计的问题就是要构造一个适当的统计量
a b 2 A1 , 2 b a 12 ( A A 2 1 ).
于是得到 a、b 的矩估计量为
3 n 2 ˆ A1 3( A2 A ) X a ( X X ) , i n i 1
2 1 n 3 2 ˆ A 3( A A ) X b ( X X ) . 1 2 i n i 1 2 1
ˆ ˆ 本的一组观察值（ x1, x2, …,xn ），得到 ˆ 的观察值 （ x1, x2, …,xn ), 以此
ˆ ˆ X 1, X 2, …, X n ）为θ的估计量，称 来估计未知参数θ ．称统计量 （
ˆ ˆ （ x1, x2, …,xn ）为θ的估计值．
二、矩估计法
l l (1 , 2 ,, k ) E( X ， ) l=1,2,…，k．
对于总体 X 的样本（ X1, X2, …,Xn ），样本的 l 阶原点矩为
1 n l Al X ， i l = 1, 2, …，k． n i 1
令
μl = Al , l=1,2,…，k，
即
1 n 1 ( 1 , 2 , , k ) n X i , i 1 1 n 2 2 ( 1 , 2 , , k ) X i , n i 1 1 n k k ( 1 , 2 , , k ) n X i i 1
1 E ( X )
即
1 A1 , 2 A2 ,
整理得
1 n a b 2 A1 n X i X , i 1 2 2 n ( b a ) ( a b ) 1 A2 X i2 , 4 n i 1 12
注 此例说明，无论总体 X 服从什么分 布，样本均值 X 都是总体均值 的矩估计量， 样本二阶中心矩就是总体方差 2 的矩估计 量． 例5 某厂生产一批铆钉，现要检验铆钉头部直径，从这批产品中随机抽 取12只，测得头部直径（单位：mm）如下： 13.30 13.54 13.38 13.31 13.40 13.34 13.43 13.47 13.32 13.44 13.48 13.50