复旦大学大学物理 1-6 第6章 质心力学定理

质心参照系
• 把一个参照系固定在一个系统的质心上，这种 参照系叫质心参照系。 • 相对于质心参照系，系统的质心是静止的，各 质点相对于质心系的总动量为零，故亦称之为 零动量参照系。
• 为了讨论问题方便，以后将实验室参照系称为 L参照系；质心参照系称为C参照系。
由质点系动量定理：
t- t0 0 ：

R
0
R2 y2 d R2 y2
若 计 R
2
y
2
2 0 yC d 2 R 2 R 3 0 4 2 2 3 R R2 4 R 3


y0
R
R
2
02 R
R
2
2
2
y R
0
二、质心运动定理
由质心位矢公式：
质心的动量为 质点系的动量
系统相对质心参照系的角动量等于一个动量为 v 12 ， 位矢为 r12的质点的角动量。
注： Lc 中仅含两个质点的相对位置和相对速度。
4、相对C参照系与相对L参照系的角动量关系 仍考虑两个质点组成的系统： L参照系： r 1 , r 2 , v 1 , v 2 , p1 , p 2 C参照系： r '1, r '2 , v '1, v '2 , p '1, p '2 相对L参照系的角动量为： L r 1 p1 r 2 p 2 （r '1 r c ) ( p '1 m1 v c ) （r '2 r c ) ( p '2 m2 v c ) =0(C系是零动量系) r '1 p '1 r '2 p '2 r c ( p '1 p '2 ) [(m1 r '1 m1 r c ) (m2 r '2 m2 r c )] vc (m1 r m2 r ) vc Lc 0 (m1 m2 ) r c vc Lc r c mvc
m M
α O
x R R+ΔR
在下落时间过程中，人相对于质心运动的距离，即为人 比不抛出物体时多跳过的距离:
y m M
α O
x R R+ΔR
§6.2 质心动能定理
1、质点系在L系中的动能 考虑如图两质点组成的系统，受内力、外力及某瞬时 的速度、运动路径如图示。它们的在L系中的总动能 为：
1 1 2 2 E K m1v1 m2 v2 2 2
1 2
L Lc rc mvc
质点系的总角动量等于质心的角动量与 系统相对质心的角动量之和。
此结果对多质点组成的系统也适用。
wenku.baidu.com
两体问题：
Lc r12 ( v12 )
5、质心的角动量变化定理 以两质点系统为例，设作用在m1、m2上的外力分别 为 F 1 和 F 2 ，在L参照系中，总的外力矩为： M e＝r 1 F 1 r 2 F 2 (r '1 r c ) F 1 (r '2 r c ) F 2 ＝r '1 F 1 r '2 F 2 r c ( F 1 F 2 )
外力相对于质心的总力矩 外力对于质心在L系的总力矩
dL d ( Lc r c P ) dt dt ௘ =0 d Lc d r c d P d Lc P rc rc F e dt dt dt dt
' v1 v1 v c
' v 2 v 2 vc
E Kc
1 m1m 2 2 m 2 m12 2 (v1 v 2 ) 2 2 ( m1 m 2 )
1 m1m 2 2 (v1 v 2 ) 2 ( m1 m 2 )
令 12
1相对2的相对位矢为： r12 r1 r2
m 1 r1 m 2 r2 质心的位矢： rc m1 m 2
每个质点相对质心的位矢为： ' m 1 r1 m 2 r2 m 2 ( r1 r2 ) m 2 r 12 r 1 r 1 r c r1 m1 m 2 m1 m 2 m1 m 2 ' m1 ( r1 r2 ) m 1 r1 m 2 r2 m1 r 12 r 2 r 2 r c r2 m1 m 2 m1 m 2 m1 m 2
质点系相对质心的动能：（以两质点为例）
E Kc 1 1 2 2 m1v '1 m 2 v '2 2 2
m2 m 1 v1 m 2 v 2 ( v1 v 2 ) v1 m1 m 2 m1 m 2 m1 m1v1 m2 v2 v2 (v1 v2 ) m1 m2 m1 m2
m
1 2 R 2
2 2
dS 2 x dy 2 R y dy 1 R m 4 R 2 2 2 2 yC y 1 2 R y d y y R y dy 2 2 m 0 2R R 0
以y为自变量
4 R 2 2 yC y R y dy 2 0 R 2 2 R 2 2 2 R y dy 2 0 R2 R
角动量定理为
d L M＝ dt
2、质点系：n个质点 内力矩矢量和为零 外力矩： d L1 d L2 d Ln ……… M n＝ M 1＝ M 2＝ dt dt dt d dL Li M i＝ d t dt i
3、质点系相对C参照系的角动量 对于两个质点组成的系统：m1、m2，
m 1m 2 m1 m 2
约化质量
v12 v1 v2 两质点的相对速度
则 E Kc 1 2 12 v12 2
即两质点系统相对质心的动能，等于一个质量 为约化质量的质点以相对速度运动时的动能。
两个质点在L系中的动能为：
1 1 2 2 E K ＝ 12 v 12 m v c 2 2
F21 F12 m1 F1 v1 r1 r2
m2 v2 F2
质点系动能的变化等于所有 外力及内力对系统做功之和
E K E K 0 We W I
o
2、质点系在C系中的动能
' ' 两个质点相对L系和C系的速度分别为 v1、 v 2 及 v1、 v 2 系统质心相对L系的速度为 v c v1 v '1 v c , v 2 v '2 v c
重力势能与质心势能 只有在重力场这种恒定势场中，质心的重力势能可 以代表质点系的总势能。
E p＝ m i ghi g m i hi gm hc
i i
hc
m
i
i
hi
m
所以质点系的总势能可以用质心势能表示：
E pc＝ m ghc
§6.3 质心的角动量定理
1、质点的角动量为 L r P r m v
每个质点相对质心的动量为：
' m 1 v 1 v 12
' m 2 v 2 v 12
' v1 v1 vc
m2 v12 m1 m 2
m1 v12 m1 m2
' v 2 v 2 vc
所以质点系相对质心参照系的角动量为：
质心运动定理： 质心的运动等同于一个质点的运动，这 个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质点系所 受的所有外力的矢量和。
说明
1. 适用于惯性系。 2. 质心系是惯性系， 质心系是非惯性系。 3. 动量守恒、功能原理、角动量定理在质心系中成立。 4. 质点系相对惯性系的运动可分解成：
随质心的运动+相对质心的运动。
' ' ' ' L c r1 m 1 v 1 r2 m 2 v 2
m 2 r1 2 m 1 r1 2 v12 v12 m1 m 2 m1 m 2
r12 ( v12 )
质量连续分布的物体：
质量的线分布：
dm 线密度 l dl
单位：kg/m
质量的面分布：
dm 面密度 S dS
单位：kg/m2
质量的体分布：
体密度V
dm dV
单位：kg/m3
质心位矢不是各质点的位矢的几何平均，还需考虑 各质点的质量权重； 一个物体的质心不一定是它的几何中心，均匀物体 的质心是它的几何中心； 对称物体的质心就是物体的对称中心；
[例] 三棱体 C，滑块 A、B，各面 均光滑。已知mC=4mA=16mB ,=30o， =60o。求A下降 h=10cm时三棱体 α C 在水平方向的位移。 水平方向无外力, 质心水平位置不变。
h
C β
mAsin > mBsin C 往右，A, B往左
设三棱体 相对地面位移为
x A和xB为滑块A和B相对与C的位移
L系中的动能为：
2 1 2 1 1 1 2 2 E K m1v1 m 2 v 2 m1 (v '1 v c ) m2 (v '2 v c ) 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 m1v '1 m 2 v '2 ( m1 m 2 )v c ( m1 v '1 m 2 v '2 ) v c 2 2 2 1 1 1 2 2 m1v '1 m 2 v '2 ( m1 m 2 ) v c2 2 2 2
第 6 章 质心力学定理
§6.1 质心 质心动量定理
质点 1. 物体的大小、形状可忽略时 2. 运动过程中，物体各部分运动相同
一、质心
c
三角板各点的运动轨 迹很复杂，但是质心运 动却是一个抛物线。
c c
质心是与质量分布有关的一个代表点，它的 位置在平均意义上代表着质量分布的中心。
设由n个质点组成的质点系, m1 、m2、m3…、mi 分别是各 质点的质量, r1、r2、…、ri分别是各质点的位置矢量, 则 z 质心的位矢： c 分量式： O x y
系统在C系 中的动能 质心在L系中 的动能 系统相对于质心的 总动量，为0
令 E Kc
1 1 2 m1v '1 m 2 v '2 2 2 2
为质点系相对质心运动的动能
E K＝ E Kc
1 2 m vc 2
质点系的运动可分成两部分：一部分是质心的 运动，另一部分是相对质心的运动。 此结论适用于多个质点的系统
[例] 求半径为R的均匀半圆环的质心。 由于上下对称，质心一定在x轴上 O
y R c x dl
质心不一定位于物体内部。
[例]对于质量均匀分布半圆，半径为R, 质量为 m, 求质心.
1 rC m
dS
1 r dm m
y x
r s dS
xC 0
s
x
yC ?
L参照系：
[例] 质量为M的人，手里拿着质量为m的物体，此人用与 地平线成 的速度v0 向前跳去，当他到达最高点时，把物 体以相对于自己以速度 u 向后抛出，问由于物体的抛出， 他跳过的距离与不抛物体时相比可增加多少？ 在C参照系中应用动量守恒定律。
在L参照系中，质心保持原来的轨迹。 在C参照系中，系统的质心是静止 的， 在顶点时，质心系中人和物 y 体的速度分别为 V, v