高等数学(吉林大学出版社)第2.2节

x
2 x
2
所以 lim arctan x 不存在 x
y 2
O
x
2
因为 x 和 x 时，y的趋势不一致.
定义2.3 见教材P20 已知函数 f ( x)当x 时有定义，当x 时，若 f ( x) A,
则称A为当 x 时函数的极限，
记为 lim f ( x) A 或 f ( x) A x x
x
2 lim x lim x 1,
x x x
x
去绝对值：当 x 0时, x x
lim x lim x 1 ,
x x x
x
去绝对值：当 x 0时, x x
两个单侧极限不相等，故 lim x 不存在. x x
二、当x x0时函数的极限 说明：x x0 是指 x x0 及 x x0 两个方面，
x
如果x 时，f ( x)取值和常数A要多接近就有多接近，我 们称A是 f ( x)当 x 时的极限，记作 lim f ( x) A.
x
这两种极限都称为单侧极限
有结论： lim f (x) A lim f (x) A lim f (x)
x
x
x
看前面例题 y 2 1 x 0，x x
则存在 x0的某个邻域，使得 f x 0或 f x 0.
作业 P22 3, 4 做在草稿纸上 1 ＃
值等于A. 记为
lim f x A
x x0
说明：见教材P 22
说明：若 lim f ( x) A成立 x x0
(1) A是唯一确定的常数；
(2)x x0表示从x0的左右两侧同时趋于x0；
(3)极限A存在与f ( x)在x0处是否有定义无关.
x
x0也有左右极限之分，
lim
x x0
f
(x)
注意： (1)A唯一确定. (即如果函数有极限，则极限值唯一确定)
(2) x 包括 x 及 x
看前面的例题 f x arctan x x
lim arctan x
x
2
lim arctan x
x
2
所以极限不存在
单侧极限概念
如果x 时，f ( x)取值和常数A要多接近就有多接近，我 们称A是 f ( x)当 x 时的极限，记作 lim f ( x) A.
不论 x 还是 x , y 2，
即 lim f ( x) 2 lim f ( x) 所以 lim f ( x) 2
x
x
x
例2.3 观察下列函数的极限： 见P21
1lim 2x 3
x 3x 1
2lim x
x x
解
1lim 2x 3
x 3x 1
2+ 3 lim x
x 3 1
2 3
§2.2 函数的极限 要求：理解函数极限概念
函数的极限比数列极限复杂，因为x ?有六种方式
一、当x 时函数的极限
观察 1 y 2 1 x 0 x
x
不论 x 还是 x , y 2，
所以函数极限存在，且
lim
x
2
1 x
2
再看 2 f x arctan x x
lim arctan x lim arctan x
A称函数在x0处的左极限；
lim
x x0
f (x)
A称函数在x0处的右极限.
同样有结论： lim f (x) A lim f (x) A lim f (x)
xx0
xx0
xx0
此结论用于分段函数求分段点处的极限. 后面有例题
例2.4 观察下列函数在给定条件下函数值的变化趋势：(见P21)
1lim2x 1 x2
x1
x1
x1
x1
所以 lim f ( x) 不存在 x1
三、函数极限的性质
性质1（极限唯一性）若 lim f x A，则极限值唯一. x x0
性质2（局部有界性）若 lim x x0
f
x
A，则存在 x0 的某个邻域，
使得 f x有界.
性质3（局部保号性）若 lim f x A 0或 0, x x0
其中 x x0表示自变量 x 从 x0 的左边无限趋近于x0; x x0表示自变量 x 从 x0 的右边无限趋近于x0 . 如下图:
定义2.5 (P21)设函数 f ( x)在 x0 的某去心邻域内有定义，当x x0
时，若 f ( x) A确定常量，则称当 x x0 时，函数 f ( x)的极限
画出函数Baidu Nhomakorabea形
解 当x 2时,f ( x) 2x 1与3无限接近，lim 2x 1 3 x2
2 lim
x2 1
x 1 x 1
lim
lim x 1
?
2
x1 x 1 x1
x 1
x1
3
f
(
x)
x 2
x
2
1
x 1 x 1
解 分别考虑左右极限
左极限 lim f ( x) lim( x 2) 3 右极限 lim f ( x) lim( x2 1) 0