初高中数学教学衔接内容

初中高中教材衔接内容

近阶段发现同学们对一些必要与初中衔接的数学知识及方法,掌握不好,现归纳如下,与同学们共享. 第一讲 十字相乘法

我们在前面研究了222b ab a +±这样的二次三项式，那么对于652++x x ，

101132++x x 这样的二次三项式，各项无公因式，不能用提公因式法，又

不能凑成完全平方公式的形式，应怎样分解？

我们来观察323232)32(65222⨯+++=⨯+++=++x x x x x x x

)3)(2()2(3)2(++=+++=x x x x x

又有在我们学习乘法运算时有：ab x b a x b x a x +++=++)())((2 因此在分解因式中有))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 注意观察上式的系数。

对于一个关于某个字母的二次项系数是1的二次三项式q px x ++2，它的常数项可看作两个数，a 与b 的积，而一次项系数恰是a 与b 的和，它就可以分解为(x+a)(x+b)，也就是令p=a+b ，q=ab 时，

))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++

用此方法分解因式关键在于a 与b 的值的确定。

例1：分解因式： （1）652+-x x

（2）2142--x x

分析：用十字相乘法分解因式时，首先要找准各项的系数和常数项，然后

利用来分系数，使得左边两数乘积为二次项系数，右边两项乘积为常

数项，交叉相乘后结果作和，应与一次项系数同，这样就分解出来了。

解：（1）原式=(x-2)(x-3)

5

23612311-=-->⨯<--

（2）原式=(x+3)(x-7)

4

732113

711-=-->⨯<-

例2：分解因式 （1）8224--x x （2）3)(4)(2++-+b a b a

分析：要想用十字相乘法分解因式，应具备二次三项式的条件，有些多项式可以看作关于某个整体的二次三项式，也可以照上例方法进行因式分解，如（1）可以看作关于2x 的二次三项式（2）可以看作关于（a+b ）的二次三项式。

解：（1）原式)4)(2(22-+=x x

)2)(2)(2(2-++=x x x

2

42812

411-=-->⨯<-

（2）原式=(a+b-1)(a+b-3)

4

31311

311-=-->⨯<--

例3：分解因式 （1）2223y xy x +-

（2）2222242153y a xy a x a --

分析：当多项式中出现两个字母时，分解同前，只不过常数项也会出现字母，如（1）可以看作关于x 的二次三项式，则y 就当作常数处理。（2）应先进行公因式的提取，再分解，记住，提取公因式是分解因式的第一步。

解：（1）原式=(x-2y)(x-y)

y

y y y

y y 32212211-=-->⨯<--

（2）原式)145(3222y xy x a --=

)2)(7(32y x y x a +-= y

y y y y y

5271412

7211-=+-->⨯<-

例4：分解因式：

（1）3722+-x x （2）22224954y y x y x --

分析：当二次项系数不是1时，数的分解不太容易，应不断试一试几种可分的情况，同时注意符号的合理匹配。

解：（1）原式=(x-3)(2x-1)

7

16323112-=-->⨯<-- （2）原式)954(242--x x y

)94)(1(222-+=x x y

)32)(32)(1(22-++=x x x y

5

94941

914-=-->⨯<- 例5：分解因式

（1）8)2(7)2(222-+-+x x x x （2）a ax x x 51522---+

分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十

字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合。

解：（1）原式)82)(12(22-+++=x x x x

)4)(2()1(2

+-+=x x x 7

818

11

8

11-=-->⨯<- 2

42812

411=+-->⨯<- （2）原式)5()152(2a ax x x +--+=

)5()5)(3(+-+-=x a x x )3)(5(a x x --+=

2

531513

511=+-->⨯<-

注：不是所有的二次三项式都能进行因式分解。

第二讲一元二次方程

一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．

1、概念:方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 称为一元二次方程．

2、基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．

3、对于方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即

当△=0时，方程有两个相等的实数根，即

当△＜0时，方程无实数根．

练习：1、只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是_____的

整式方程叫做一元二次方程，它的一般形式是__________.

⒉ 一元二次方程的二次项系数α是______实数.

⒊ 方程ax2+bx+c=0 (a≠ 0，b2－4ac≥0) 的两个

根

，x2=_____.

⒋ 一元二次方程的解法有______, ______, ______, _______等，简捷求解的关键是观察方程的特征，选用最佳方法.

⒌ 应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0 (b2－4ac≥0)时，第一步是把方程的常数项移到等号的右边，得ax2+bx=－c；第二步把方程两边同除以a，得x2+；紧接方程两边同时加上_____，并配方

得________.

⒍ 对于实系数的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠ 0) △=b2－4ac 称为此方程根的判别式且有如下性质：

(1)△>0二次方程有两个________实数根；

(2)△=0二次方程有两个________实数根；

(3)△<0二次方程________实数根.

这些性质在解题中主要的应用如下：(1)不解方程判断_________的情况；

(2)求方程中的参数值、范围或相互关系；

(3)判定二次三项式在实数范围内________分解因式.

⒎ (1)若一元二交方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根为x1,x2，则x

1

+x2=_____，x1x2=_______. （韦达定理）

(2)若x1,x2是方程x2+px+q=0的二根，则p=______, q=_______，以实数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________.

⒏ 根与系数关系主要应用是：

(1)求作________方程；

(2)求含有根有关代数式的值；

(3)确定字母系数_______以及字母系数之间关系.

(4)验根，求根式确定_______符号.

(5)解特殊方程式_________.

⒐ 注意根与系数式关系与根的判别式配合使用.

【学法指要】

例1. 解方程：x2－3x+2=0

思路分析1：此方程左边是二次三项式，它引起我们联想二次三项式的因式分解──十字相乘法，可在这条道路上探索，

找到解题思路.

思路分析2：此方程是一元二次方程的标准形式，因已知a=1, b=－3, c=2，由此可知应用求根公式可解.

观察本例，可发现它的结构符号二次三项式及一元二次方程的标准形式，使我们把陌生的一元二次方程与十字相乘法，

求根公式这些熟知的问题连在一起，化陌生为熟悉.“化陌生为

熟悉”这种重要的数学思维方法，是解决新问题常用方法，当

你遇到新问题时，不妨用此法一试，它确定可助你一臂之力！

一道新问题解决以后，除分享胜利喜悦外，还要静心回忆一下，通过问题解决，我们学习了什么？如本例，

我们学习了