数学模型与数学建模 第4章 量纲分析法

fr 2 [ f ][ r 2 ] [K ] m1m2 [ m1 ][ m2 ]

LMT
2 2
L
M
2
L3 M 1T 2
部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如 ［角度］=LL—1=L0
尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).
量纲独立于单位 三. 量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）
Y1 (0 Y2 (0 Y3 (0 Y (1 4 1 1 0 0 0 0)T T 1 0 2 0 0 1) 1 0 1 1 1 0)
T T
2 0 2 1 0 0)
5. 给出4个相互独立的无量纲量 1 lh1 2 lv 2 g (9) 1 3 lv fl 2v 2 1 4 式(9) 与 φ(π1,π2,π3,π4)=0 等价,φ是 未定的函数.两式表达了航船问题中各物 理量之间的全部关系. 为得到阻力f的表达式，由式(1)及式(9)中 π4的式子可写出
2. 合理选择基本量纲 一般，在力学中选取L、M、T即可, 热学问题 加上温度量纲Θ，电学问题加上电量量纲Q). 3. 应根据特定的建模目的恰当地构造基本解. 量纲分析建模方法有如下优缺点: 1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法， 可以得到用其他复杂方法难以得到的结果.
2. 可将无关的物理量去掉. 3.可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量. 4. 方法有局限性，PI定理中的等价方程F(· )=0, 仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量. 5. 物理定律中常见的函数，如三角函数sin(· ), 指数函数exp(· )等是无量纲的, 不可能用量纲分 析法得到.
量纲不变性:无量纲量在模型和原型中保持不变
模型中的各物理量： f , l , h, v , , , g 原型中的各物理量： f , l , h, v, , , g 有
l , v , lv ) f l v ( h lg 2 2
fl v
当无量纲量
l h
任何建模方法都有局限性
4.2.4 无量纲化
例：火箭发射
星球表面竖直发射。初速v, 星球半 径r, 表面重力加速度g 研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律 t=0 时 x=0, 火箭质量m1, 星球质量m2 牛顿第二定律，万有引力定律
x v
m1
0 m2
g
r
m1 m2 m1 k x (x r)2
Buckingham Pi定理：
设有m 个物理量 q1，q2，… qm , 而 f (q1，q2，… qm )=0
(6)
是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1, X2, … , Xn 是基本量纲,其中n≤m，q1，q2，… qm
的量纲可表为
q X
n j i 1
ij i
,
j 1,2, , m
dx xv vx dt 2 2 2 v d x v x x 2 r dt r
r g x (x r)2 x(0) 0, x(0) v
2
1 v , x 2 ( x 1) rg x (0) 0, x (0) 1
特点？
将
dX v V dT v0 d (v0V ) dv dV m m mw 0v0 dt dT d (T w )
0
代入原方程，有
dV K C F x v dT mw 0v0 mw 0v0 mw 0v0
x C v F ( ) ( ) 2 x mw 0 v0 mw 0v0 mw 0 0
解得方程组的一个解为 代入(4)式有
y1 2 y2 0 y3 1 y4 1
t l
2 1
g
2 1
t
l g
或者 F ( ) t l
g 0
(5)
将此例一般化有以下定理
将[ t ]=T, [m]=M, [ l ]=L, [g ]=LT－2 代入得
TM
1 2 3 2 3
L
T
(2)
按照量纲齐次性,有
求解为
1 0 2 3 0 2 1 3
1 1 1 0, 2 , 3 2 2
t l g
代入式(1) 得
续例4.2.1 单摆运动的抽象 设变量关系为 f (t，m，l，g) =0， (3) 假设各变量间的关系如下：
t m l g
y1
y2 y3
y4

(4)
其中y1～y4 是待定常数,π是无量纲量. 各变量的量纲用基本量纲表示如下： [ t ]=L0M0T1, [ m ]=L0M1T0, [ l ]=L1M0T0, [ g ]=L1M0T－2,
(4) 式的量纲表达式为
L
y 3 y4
M T
y2
y1 2 y4
LM T
0
0 0
根据量纲齐次性，有线性方程组成立 y3 y4 0, y2 0, y 2y 0 4 1 y
1
0 0 0 1 1 0 1 0 0 y2 0 AY y 0 1 0 0 2 3 y4 0
g ( x 0) x
km2 r g
2
r g x 2 (x r) x(0) 0, x(0) v
2
x x(t ; r , v, g ) ——3个独立参数
用无量纲化方法减少独立参数个数
变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT-1, [g]=LT-2 用参数r,v,g的组合,分别 构造与x,t具有相同量纲 的xc, tc （特征尺度） 如
Ф(f, l, h, v,ρ,μ, g)=0
(8)
2.这是力学问题,基本量纲选为L、M、T, 各物理量的量纲表示为
[ f ] LMT 2 , [t ] L, h L v LT 1 , L 3 M , L1 MT 1 , g LT 2 ,
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3.写出量纲矩阵
(f) (l) (h) (v) (ρ) (μ) (g)
1 1 1 1 3 1 1 ( L) A37 1 0 0 0 1 1 0 (M ) 2 0 0 1 0 1 2 (T )
4.求解齐次线性方程组 AY=0,因Rank (A)=r=3 方程有m－r=7－3=4个基本解, 可取为
f=l2v2ρψ(π1,π2,π3) 其中ψ表示一个未定函数 用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量 之间的关系，这个结果用通常的机理分析法 难以得到 虽然函数ψ的形式无从知道,但这个表达式 在物理模拟问题中仍有用途. 例4.2.3 物理模拟中的比例模型 利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航 船模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力
= －X－AV+F0 其中，因v0=x0w0 , w0=
K m
K
原方程变形为
dV AV F0 X dT
优点：
1. 减少了参数的个数； 2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中 建立数学模型的一种方法.
对所设问题有一定了解，在实验和经验的 基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之 间的关系. 例4.2.1 单摆运动 将质量为m 的一个小球系在长度为l 的线的 一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用
令
x t x ,t xc tc
—无量纲变量
xc r , t c r / v
x, t
利用新变量 x , t , x x(t ; r , v, g ) 将被简化
xc, tc的不同构造
x t x ,t xc tc
x x(t ; r , v, g ) 的不同简化结果 1）令 xc r , t c r / v x x / r , t vt / r
(7)
与(6) 式等价, 其中F的形式未知.
例4.2.2 航船阻力 长度为l、吃水深度h的船以速度v 航行,若不 考虑风的影响,那么航船受到的阻力f除依赖船 的诸变量l, h, v 以外,还与水的参数—密度ρ, 粘性系数μ,以及重力加速度g有关. 下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量 之间的关系. 1.航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为
矩阵A={ai,j}n×m称为量纲矩阵. 若A的秩
Rank(A)=r
若齐次线性方程组 AY=0 ( y是m维向量)的 m－r个基本解为： ys=(ys1, ys2, …, ysm)T , s=1,2, …,m－r
m
则
s
j 1
ysj qj
为 m－r 个相互独立的无量纲量,且 F(π1, π2, …，πm－r)=0
下(g为重力加速度),做往复摆动. 忽略阻力, 求摆动周期t的表达式. 求解 考虑问题中出现的物理量t、m、l、g， 假设它们之间有关式
t m l
1 2 3
g
(1)
其中α1,α2,α3是待定常数,λ是无量纲的
比例常数.上式的量纲表达式为
t [m]
1
[l ] [ g ]
2
3
在数学的应用中,需处理的往往不是“纯粹的” 数,而是反映事物某一特性的度量. 用数加单位来表示具体度量； 用量纲的概念来表示被度量的特性. 量纲分析法是一种有效的物理建模方法
一.单位 SI 国际单位制（米—千克—秒）； fps 英制单位制（英尺—磅—秒）
一个模型中单位必须统一 二.量纲 基 本 物 理 量 质量（M） 力学中，任何物理量 都可以表示为其组合形 长度（L） 式，称这种组合形式为 时间（T） 物理量的量纲.
模型中有参数：m、K、C
令 x0=x(0) , w0 =
K m
, v0=x0 w0 ,
根据量纲齐次性, 有 [ w0 ]=T－1 ,
[ K ]=MT－2,
[ F ]=MLT－2 , [ C ]= MT－1.
引进无量纲量：
T=w0t , X=x/x0 , V=v/v0
得
dx d ( x0 X ) w0 x0dX v0dX v T dt dT dT d( ) w0
2
x x(t ; r , v, g )
x x (t ; )
为无量纲量
2）令 xc r , t c
r/g
x x(t ; r , v, g )
x x (t ; )
为无量纲量
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量
纲一致的,即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验.
2. 无量纲化方法减少参数个数.
例4.1.2 非线性震荡运动方程
2
dx m Kx C F 2 dt dt
d x
或
dx dt v , m dv Kx Cv F . dt
2 2
l , v , l v ) ( h lg

l , v h lg

v , lv l v

l v
成立时,可得 f l v ) 2 ( lv f
原型航船的阻力可由模型船的阻力及其他 有关量算出. 应用量纲分析法建立数学模型应注意： 1. 正确确定模型中所含物理量 主要靠经验和背景知识, 没有一般的方法可以 保证得到的结果是正确或有效.
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量 纲
ds 例4.1.1 [速度]=[ v ]=[ ] = =LT－1 ; dt [加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律 m1m 2 f K 2 r 中的引力常数K的量纲为