北师大版数学必修4《平面向量的坐标表示及其运算》同步导学练习案附思维导图答案解析

第5课时平面向量的坐标表示及其运算

1.掌握向量的正交分解及坐标表示,理解直角坐标系中的特殊意义.

2.理解向量坐标的定义,并能正确用坐标表示坐标平面上的向量,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系来用坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.

4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.

足球运动员在踢足球的过程中,将球踢出时的一瞬间的速度为υ.能否建立适当的坐标系,表示踢出时的水平速度和竖直速度?能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢?

问题1:平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个的向量的线性表示,叫作向量的正交分解,向量的正交分解是平面向量基本定理的特例,即当基底e1、e2时的情况.

问题2:平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系内,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,a为

坐标平面内的任意向量,如图,以坐标原点O为起点作=a,由平面向量基本定理可知,一对实数x,y,使得= ,因此a=xi+yj.我们把实数对叫作向量a的坐标,记作.

问题3:平面向量在坐标表示下的线性运算

(1)向量和的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= .

即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.

(2)向量差的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b= .

即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.

(3)实数与向量的积的坐标运算:设λ∈R,a=(x,y),则λa= .

即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积.

(4)的坐标表示:若A(x1,y1),B(x2,y2),则=-= .

即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标.

问题4:如何用坐标表示两个平面向量共线?

由向量的共线定理可知:若a,b(b≠0)共线,则存在唯一的实数使得.设

a=(x1,y1),b=(x2,y2)≠0,则(x1,y1)=λ(x2,y2)=,得即

两式相减消去λ得,这就是两个向量平行的条件.由于规定向量可与任一向量平行,所以在应用时可以去掉b≠0,即:当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b 共线.若x2≠0,且y2≠0(也可写作x2y2≠0),则x1y2-x2y1=0可以写成(两向量平行的条件是相应坐标).

1.已知i、j分别为与x轴正方向、y轴正方向相同的两个单位向量,若a=(3,4),则a可以用

i、j表示为().

A.a=3i+4j

B.a=3i-4j

C.a=-3i+4j

D.a=4i+3j

2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=().

A.(-2,-4)

B.(-3,-6)

C.(-4,-8)

D.(-5,-10)

3.设a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ= .

4.(1)设向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,2a+3b.

(2)设a,b,c的坐标分别是(1,-3),(-2,4),(0,5),求3a-b+c的坐标.

平面向量的正交分解

在直角坐标系xOy中,向量a,b的位置如图所示,已知|a|=4,|b|=3,且∠AOx=45°,∠OAB=105°,分别求向量a,b的坐标及A、B点的坐标.

平面向量的坐标运算

已知点A(-1,2),B(2,8)及=,=-,求点C、D和的坐标.

平行向量的坐标运算

已知四边形ABCD的顶点依次为A(0,-x),B(x2,3),C(x,3),D(3x,x+4),若AB∥CD,求x的值.

在平面内以点O的正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系.质点在平面内做直线运动.分别求下列位移向量的坐标.

(1)用向量表示沿东北方向移动了2个长度单位;

(2)用向量表示沿西偏北60°方向移动了3个长度单位;

(3)用向量表示沿东偏南30°方向移动了4个长度单位.

已知A、B、C的坐标分别为A(2,-4)、B(0,6)、C(-8,10),求向量+2-的坐标.

已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?

1.设向量=(-2,-5),若点A的坐标为(3,7),则点B的坐标为().

A.(5,12)

B.(12,5)

C.(2,1)

D.(1,2)

2.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为().

A.(,-)

B.(,-)

C.(-,)

D.(-,)

3.已知边长为单位长度的正方形ABCD,若A与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴正方向上,则向量2+3+的坐标为.

4.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求顶点D 的坐标.

(2013年·陕西卷)已知向量a=(1,m),b=(m,2), 若a∥b,则实数m等于().

A.-

B.

C.-或

D.0

考题变式(我来改编):

答案

第5课时平面向量的坐标表示及其运算

知识体系梳理

问题1:相互垂直垂直

问题2:有且仅有xi+yj (x,y)a=(x,y)

问题3:(1)(x1+x2,y1+y2)(2)(x1-x2,y1-y2)(3)(λx,λy)(4)(x1-x2,y1-y2)

问题4:a=λb (λx2,λy2)λx2λy2x1y2-x2y1=0零=成比例

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1.A a=(3,4)=3i+4j.

2.C由a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,得1×m=2×(-2)⇒m=-4,从而b=(-2,-4),那么2a+3b=2×(1,2)+3×(-2,-4)=(-4,-8).

3.2∵λa+b=(λ+2,2λ+3)与c=(-4,-7)共线,∴(λ+2)×(-7)-(2λ+3)×(-4)=0,解得λ=2.

4.

解:(1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),2 a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2+9,4-15)=(7,-11).

(2)3a-b+c=3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(3+2+0,-9-4+5)=(5,-8).

重点难点探究

探究一:【解析】设a=(a1,a2),b=(b1,b2),

∵∠AOx=45°,∴a1=|a|cos 45°=4×=2,

a2=|a|sin 45°=4×=2,

∴a=(2,2)=,

∴A点的坐标为(2,2).

将b的起点平移至原点,令b的终点为B',

由题意可知∠B'Ox=120°,

所以b1=|b|cos 120°=3×(-)=-,

b2=|b|sin 120°=3×=,

∴b=(-,).

又∵b==-,

∴=b+=(2-,2+).

故a=(2,2),b=(-,),A点的坐标为(2,2),B点的坐标为(2-,2+).

【小结】(1)相等向量的坐标是相同的,而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多问题时,常常需要把始点不在原点的向量移到原点.

(2)起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标,起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标.求终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标.

(3)若已知向量a=(x,y),a的模为|a|,a的方向与x轴正方向的夹角为θ,由三角函数的定义可知,x=|a|cos θ,y=|a|sin θ.要注意公式中的θ是向量a的方向与x轴正方向的夹角.

探究二:【解析】设点C(x1,y1),D(x2,y2),由题意得=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),

∵=,=-,

∴(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2),

(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)=(1,2),

则有和

解得和

∴点C、D的坐标分别为(0,4)和(-2,0), =(-2,-4).

【小结】求点的坐标时,可先设点的坐标,根据题中给出的关系,列出方程组求解即可.

探究三:【解析】∵AB∥CD,∴∥,