《解析几何》第二章(吕林根-许子道第四版)

所求方程为
x
22
y
12
z
42
116 .
3
3 9
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以下给出几例常见的曲面.
例 3 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
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例 2 求与原点O 及M 0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2
的点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0
（*）
反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：
(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4
当 A2+B2+C2-4D >0 时, 是球面方程.
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例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
o
x
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y
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抛物柱面
z
y 2 2 px
o
y x
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§2.4 空间曲线的方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
特点：曲线上的点都满足
方程，不在曲线上的点不
能同时满足两个方程.
x
z
S1
S2
C
o
y
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例1
而曲面 S 就叫做方程的图形．
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例 1 已知 A(1,2,3)， B(2,1,4)，求线段 AB的
垂直平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
二、曲面的参数方程
向径 r u,v 的坐标为xu,v, yu,v, z u,v，所以曲面的参
数方程也可写成
x xu,v,
y
y
u,v,
z z u, v.
（2.2－6）
表达式（2.2－6）叫做曲面的坐标式参数方程.
例7 求以z 轴为对称轴，半径为R 的圆柱面的参数方程. 注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于z 轴 的正方向上升（其中 、v 都是常数），那么点 M
构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
z
解
t
o
M
•
x A M
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取时间t为参数，动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点
M 在xoy面的投影M ( x, y,0)
x acost y a sint
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
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由 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
得上、下半球面的方程分别是：
z z0 R2 (x x0)2 ( y y0)2
z z0 R2 (x x0)2 ( y y0)2
由上述方程可得球面的一般式方程为：
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
第一章 向量与坐标
第二章 轨迹与方程 第三章 平面与空间直线
第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程 §2.2 曲面的方程 §2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程 §2.4 空间曲线的方程
§2.2 曲面的方程
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上方法称为截痕法.
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以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨 迹．
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F(x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程，
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
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二、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
空间曲线的参数方程
z z(t)
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
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例 3 如果空间一点M 在圆柱面x 2 y 2 a 2 上以角
三、母线平行与坐标轴的柱面方程
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z
•
•
x2 2y
o
y
o
x
抛物柱面 x
平面
y
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
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平面方程：
y x
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只含 x, y 而缺 z 的方程F ( x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线 C :F ( x, y) 0.
方程组
x2
y2
源自文库
1
表示怎样的曲线？
2x 3z 6
解 x2 y2 1 表示圆柱面，2x 3z 6 表示平面，
x2 y2 1
交线为椭圆.
2x 3z 6
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z a2 x2 y2
例2
方程组
( x
a )2 2
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
解 z a2 x2 y2
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
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二、曲面的参数方程
定义 2.2.2 如果取 u,va u b,c v d 的一切可能取的值，由 r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3,
表示的向径 r u,v 的终点 M 总在一个曲面上；
z vt
y 螺旋线的参数方程
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螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
( t,
螺旋线的重要性质：
b v)
上升的高度与转过的角度成正比．
即 : 0 0 , z : b0 b0 b , 2, 上升的高度 h 2b 螺距
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反过来，在这个曲面上的任意点 M 总对应着以它为终点的向径，
而这向径可由 u,v 的值 a u b,c v d 通过 r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3 完全决定，
那么我们就把表达式 r u,v xu,ve1 y u,ve2 z u,ve3 叫做
曲面的向量式参数方程，其中 u, v 为参数.
（其他类推）
从柱面方程看柱面的特征：
实 例
x2 a2
y2 b2
1
椭圆柱面，
母线// z轴
x2 a2
z2 b2
1
双曲柱面 ，
母线//y 轴
y2 2 px 抛物柱面， 母线//z 轴
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椭圆柱面 z
x2 y2 1
a2 b2
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o x
y
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双曲柱面
z
x2 z2 a2 b2 1