特别策划1 建立模型进行预测与决策

测 2020 年 6 月份(月份编号为 6)参与竞价的人数．
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二轮提优导学案 ·数学
专题四 统计与概率
【解答】由题意得 t ＝3， y ＝1.04，
5
5
因为 t2i ＝55， tiyi＝18.8，
i＝1
i＝1
5
tiyi－5 t ·y
所以b^＝i＝1
5
＝18.85－5－5×5×3×321.04＝0.32，
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专题四 统计与概率
专题四 统计与概率 特别策划1 建立模型进行预测与决策
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专题四 统计与概率
如图是我国 2013 年至 2019 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(例 1) 注：年份代码 1～7 分别对应年份 2013～2019.
专题四 统计与概率
(2) 建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01)，预测 2021 年我国生活垃圾无害化
处理量．
附 ： 回 归 方 程 y^ ＝ ^a ＋ b^ t 中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 b^ ＝
n
ti－ t yi－ y
i＝1
，^a＝ y －b^ t .
专题四 统计与概率
(2) 某市场调研机构对 200 位拟参加 2020 年 6 月份汽车竞价人员的报价进行了一个
抽样调查，得到如下表所示的频数表：
报价区间
(单位：万 [6,8)
[8,10)
[10,12) [12,14) [14,16) [16,18]
元)
频数
20
60
60
30
20
10
①求这 200 位竞价人员报价的平均值 x 和样本方差 s2(同一区间的报价用该价格区间
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n
tiyi－n t ·y
参考公式及数据：①回归方程y^＝b^t＋^a，其中b^＝i＝1
，^a＝ y －b^ t ；
n
t2i －n t 2
i＝1
5
5
② t2i ＝55， tiyi＝18.8， 6.8≈2.6；③若随机变量 X 服从正态分布 N(μ，σ2)，
i＝1
i＝1
则 P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝
0.997 4.
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专题四 统计与概率
【解答】①根据表中给的数据求得平均值和方差分别为 x ＝22000×7＋26000×9＋26000×11＋23000×13＋22000×15＋21000×17＝11(万元)， s2＝22000×(－4)2＋26000×(－2)2＋0＋23000×22＋22000×42＋21000×62＝6.8. ②竞拍成功的概率为 p＝230107040＝0.158 7，由题意知 X～N(11,6.8)， 因为 P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，所以 P(X≥μ＋σ)＝1－0.2682 6＝0.158 7， 所以预测 2020 年 6 月份的最低成交价为 μ＋σ≈13.6 万元．
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专题四 统计与概率
(2020·海口模拟) 新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐．现 在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策 略，其基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道 参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期 汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额．某人拟参加 2020 年 6 月份的汽车竞 价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近 5 个月参与竞价的人数如下 表所示.
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(1) 由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；
7
7
参考数据： yi＝9.32， tiyi＝40.17，
i＝1
i＝1
7
yi－ y 2＝0.55， 7≈2.646.
i＝1
参考公式：相关系数 r＝
n
ti－ t yi－ y
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专题四 统计与概率
月份
2020.01 2020.02 2020.03 2020.04 2020.05
月份编号 t
1
2
3
4
5
竞拍人数 y(单位：万人)
0.5
0.6
1
1.4
1.7
(1) 由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数 y(单位：万人)与月
份编号 t 之间的相关关系，请用最小二乘法求 y 关于 t 的线性回归方程y^＝b^t＋^a，并预
的中点值代替)；
②假设所有参与竞价人员的报价 X 可视为服从正态分布 N(μ，σ2)，且 μ 与 σ2 可分别
由①中所示的样本平均数 x 及 s2 估计．若 2020 年 6 月份计划提供的新能源车辆数为 3
174，根据市场调研，最低成交价高于样本平均数 x ，请你预测最低成交价(需说明理由)．
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i＝1
7
tiyi－
i＝1
t
7
yi＝40.17－4×9.32＝2.89，所以相关系数
i＝1
r≈2×2.624.869×0.55≈0.99.
因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以 用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系．
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n
ti－ t 2
i＝1
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7
ti－ t yi－ y
【解答】由
y
＝9.732≈1.331
i＝1
及(1)得b^＝
7
ti－ t 2
＝22.889≈0.103，^a＝ y －b^ t
i＝1
≈1.331－0.103×4≈0.92， 所以 y 关于 t 的回归方程为y^＝0.92＋0.10t. 将 2021 年对应的 t＝9 代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×9＝1.82， 所以预测 2021 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨．
t2i －5 t 2
i＝1
则a^＝ y －b^ t ＝1.04－0.32×3＝0.08，
从而得到 y 关于 t 的回归方程为^y＝0.32t＋0.08，当 t＝6 时，y＝2，所以预测 2020 年 6 月份(月份编号为 6)参与竞价的人数为 20 000 人．
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i＝1
＝
n
n
ti－ t 2 yi－ y 2
i＝1
i＝1
n
tiyi－n t y
i＝1
；
n
n
ti－ t 2 yi－ y 2
i＝1
i＝1
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专题四 统计与概率
【解答】由折线图中数据和附注中参考数据得
7
t ＝4， (ti－ t )2＝28，
i＝1
7
yi－ y 2＝0.55.