关于普朗克公式的一点讨论 (1)

姆通过实验发现，维恩公式在短波和常温范围内和
实验符合得很好，但在远红外部分有明显的偏离；
在长波长和高温时（即 λT 很大），实验数据却和瑞
利公式一致。
普朗克很快就得知了鲁本斯和库尔鲍姆的实
验结果，他开始想到，既然维恩公式在短波范围正
确，而瑞利公式又与长波数据相符，那么运用数学
上的内插法，也许可以得到一个所有波长都适合的
A = A(r)q(t) ，则得到方程组：
∇2 A(r) + k 2 A(r) = 0
（6）
q&&(t) + ω 2q(t) = 0
（7）
方程（6）只与空间变量有关， k 是一个与 r,t
无关的常数，这是一个亥姆霍兹方程。在边界条件 的限制下，其解为一平面驻波：
1
A(r)
=
4πc 2 V
2
eˆ exp(i
kT
n
kT
这样推导出来公式就应该是：
（13）
ρν
=
8πν c3
2
exp
1 hν kT
−1
+
1 2
hν
，而不是：
ρν
=
8πν c3
2
⋅
hν
exp hν
。事实上，零点能问题一直
− 1
kT
是困扰量子电动力学的一个理论问题，并且也有实 验证明在没有一个光子的真空中存在着巨大的能 量。幸好在这里我们测量的是辐射时能量的增量，
（下转第 47 页）
第3期
章国良 等：基于红外图像编码的运动预测相关算法
47
抽样算法，在压缩比和信噪比上获得较大的改 善。其中的像素抽样算法可以应用于所有的运动 预测补偿环节。
参考文献
[1] 韩客松. 复杂背景下红外点目标检测的预处理[J]. 红 外技术, 1999, 21(4): 36~39.
[2] 彭嘉雄, 等. 弱目标检测的图像流法[J]。红外与激光 工程, 1996, 25 (4): 34~40.
U= n
kT =
hν
∑ exp − nh ν
exp h ν − 1
n
kT
kT
n = 0,1,2,3 ⋅ ⋅ ⋅
（5）
普朗克再结合自己的公式（2），立刻就得出了公式：
M νbb
=
c 4
ρν
=
c ⋅ 8πν 2 4 c3
⋅ hν exp hν −1
kT
=
2πhν 2
c 2 [exp(hν / kT ) −1]
公式：
M λbb
=
C1 λ5
exp −
C2 λT
−
1
−1
（4）
收稿日期 2004-03-01； 修改稿日期 2004-04-05 作者简介 刘凌云（1970-），男。博士研究生。主要从事红外技术的研究。E-mail: frankee33@sohu.com
16
光学与光电技术
第2卷
式中 M λbb 为黑体的半球光谱辐出度， C1, C2 为两个 不同的常数。此处已运用了公式
第2卷 第3期
光学与光电技术
2004 年 6 月
OPTICS & OPTOELECTRONIC TECHNOLOGY
文章编号 1672-3392(2004)03-15-04
关于普朗克公式的一点讨论
Vol. 2, No. 3 June 2004
刘凌云 1 龚荣洲 1 黄德修 2
（1 华中科技大学电子科学与技术系 武汉 430074 2 华中科技大学光电子工程系 武汉 430074）
半经验公式，还缺乏相应的理论解释。为了能解释
他的公式，他提出了这样一个假说：等温空腔里的
谐振子的能量分布不是连续的，而是一个与其频率
ν 成正比的量的整数倍：nhν 。这些振子组成定域
系统，因而服从玻尔兹曼分布，根据这样一个假设，
普朗克很快就推出了谐振子平均能量的公式：
∑ nh ν exp − nh ν
或者用波长表示就是公式（4）：
M λbb
=
c 4
ρλ
=
c ⋅ 8π 4 λ4
⋅ hν exp hν
−1
kT
=
2πhc 2
λ5 [exp(hc / kλT ) −1]
=
C1 λ5
[exp(C 2
/
λT )
−1]
其中 C1 = 2πhc 2 = (3.7415 ± 0.0003 ) × 108W ⋅ m −2 ⋅ um 4 是第 一辐射常数; C2 = hc / k = (1.43879 ± 0.00019) ×104um ⋅ K 是第二辐射常数。
在红外辐射研究中人们早已注意到一个现象， 即善于吸收的吸收体必然善于发射。1859 年，基尔 霍夫严格论证了物体辐射与吸收的关系并提出了 “黑体辐射”的概念。一个等温空腔里的辐射，就 是黑体辐射，腔内的光谱辐射能量密度，就符合所 谓的普朗克辐射公式。
普朗克公式对近代物理产生了巨大的影响，它 的问世，代表了近代物理学的突破和量子论的诞 生。普朗克公式也奠定了红外物理学和激光技术的 物理基础。然而，目前一些红外方面的教科书及物 理教材，对此公式的推导语焉不详或者概念不清 晰，本文就此问题作一些讨论。
M λbb
= πLλbb
=
c 4
ρ λbb
[1]，因为黑体辐射遵守朗伯余弦
定律。
1900 年，普朗克发表了这一公式。鲁本斯把普朗
克公式与他的测量数据做了详细的比较，结果他发现
普朗克的新公式在任何情形下都与实验数据非常精
确地符合。
普朗克在知道鲁本斯的实验结果后大受鼓舞，
原本他的公式只是根据实验数据猜测出来的一个
消去的量。在经过了十多年的艰苦努力后，任何复
归经典理论的企图都失败了，普朗克才相信 h 的引
入确实反映了微观世界的本质。
在我们今天看来，问题的关键是要搞清楚普朗
克的假设是否成立，如果成立，那么他的推导就是
自洽的。问题恰恰就在于，这么多年以来人们始终
心存疑问的是：普朗克所说的振子到底是一些什么
东西？起初人们认为，这些振子就是器壁上原子、
)
λ
电磁场的能量密度： ρ = 1 ( E 2 + B 2 ) ， 8π
利用矢势的正交性 ∫ dτ
A
* λ
⋅ Aλ′
=
4πc 2δ λλ′
，可求得
电磁场的总能量(哈密顿量)：
H
=
1 8π
(∫V
dτ
E
2
+
∫V
dτ
B2)
=
∑ω
2 λ
(qλ
qλ*
λ
+
qλ* qλ )
构造一对正则共轭的新的实变量：
Q& λ = qλ + qλ*
件的分立值。 我们可以看到，每一个模式都对应着一个谐振
子，由量子力学知道，线性谐振子的能量为
H = hν (n + 1 ) ，而且这些模式是可以区分的，因而 2
服从玻尔兹曼分布。这里需要指出的是，有的参考 书[1]上认为这些“振子”服从的是波色－爱因斯坦 分布，但由于通常情况下 hν >> kT ，故而可以近似 用玻尔兹曼分布描述．事实上很容易看出这种观点 的谬误所在，因为我们知道 hν >> kT 正好是维恩公 式成立的条件，如果使用这种近似，推导出来的应 该是维恩公式，而不是在任何条件下都与实验精确 符合的普朗克公式。实际上之所以出现这种错误， 主要是因为作者混淆了模式与光子的区别，把普朗 克振子看作光子了。现在又出现了一个问题，因为
摘 要 对普朗克公式中谐振子的物理意义进行了讨论，认为普朗克在推导其黑体辐射公式时所使用的谐振子模 型实际上就是腔内的电磁波模式。 关键词 红外辐射；普朗克公式；电磁波模式；零点能 中图分类号 O434.3 文献标识码 A
1引言
自从 1800 年英国物理学家威廉·赫谢尔发现 红外线以来，人们就一直没有停止对红外辐射的研 究。科学家们首先证明了红外线也是光，是一种波 长比可见光稍长的光，继而麦克斯韦推断出光也是 一种电磁波。
时却传来了维恩公式与实验结果在长波区域存在
很大误差的消息。1900 年 6 月，英国物理学家瑞利
利用普朗克提出的公式（2），应用统计力学中的能
量均分定理，考虑到谐振子有动能和势能两个平方
项，U = kT ， k 为玻尔兹曼常数，瑞利得出公式：
ρν
=
8πν 2 c3
kT
（3）
1900 年 10 月，德国物理学家鲁本斯和库尔鲍
1
kλ
，则（8）变为：A λ
(r)
=
4πc 2 V
2
eˆ λ
exp(i
kλ
⋅
r) ，
式中V = L3 为体积(实际上对所有腔型都成立)，eˆ 为
Aλ 的极化方向的单位矢，显然 eˆ⋅ k λ = 0 。一个确定 的 k λ 对应电磁场的一个模，每个模包含两个独立的
极化分量。
与 kλ 相 对 应 的 时 间 分 量 的 解
ρν
=
8πν 2 U c3
或 ρλ
=
8π λ4
U
（2）
式中U 为谐振子的平均能量，8πν 2 或 8π 指的
c3
λ4
是空间中任意点在 dν 频率段或 dλ 波长段的波的
模式密度， c 是在此点介质内的光速。普朗克利用
热力学第二定律，很方便地推出了维恩公式。正当
普朗克准备宣布维恩公式是唯一正确的公式时，此
k⋅
r)
（8）
ห้องสมุดไป่ตู้
自从普朗克公式诞生以来，很多人认为他的推 导是不自洽的．普朗克在推导公式时用了两个关键
第3期
刘凌云 等：关于普朗克公式的一点讨论
17
k
=
π L
(l
x
,
l
y
,
l
z
)
lx , l y , lz = 0,±1,±2,⋅ ⋅ ⋅
(lx , l y , lz 不能同时为0)
（9）
每一组 lx ,ly ,lz 对应一个波矢 k ，用下标 λ 来标记为
分子的抽象，普朗克也是如此解释的。然而，随着
人们对微观世界的越来越深入的了解，人们发现这
种说法越来越难以站住脚了，固体里的原子或分子
很难抽象为这一系列无相互作用的有确定能级间
隔 hν 的谐振子，那么这些谐振子到底代表着什么
呢？
我们看到，普朗克使用了公式（2），式（2）
左边项是空间的模密度，那么这些振子是否就是电
2 普朗克公式的由来
1893 年，德国物理学家维恩得到了如下一个关 于等温腔内光谱能量密度的方程：
ρλ
=
C1′ λ5
exp
−
C
′
2
λT
（1）
式中
ρ
λ
为等温空腔内的光谱能量密度，C1′ ,
C
′
2
分别为常数。此公式极好地再现了当时观察到的在 短波域的数据。1899 年，普朗克采用赫兹的谐振子 模型来研究黑体辐射问题，他提出了一个公式：
3 关于普朗克公式的讨论
性的假设：1）辐射是用振子模拟的，振子的能量
是量子化的：U = nhν ；2）振子服从玻尔兹曼分布。
事实上，普朗克一直为自己引入 h 这个常量而深深
不安，一直在做努力，希望证实 h 只是一个代用量，
正如经典统计力学中划分相格的 h 一样，是一个趋
于无穷小的量，或者是一个在进一步的理论中可以
磁波模式呢？我们知道，在库仑规范：
ϕ = 0
∇ ⋅ A = 0 下，电磁波矢势
v A
满足的波动方程（本文采用高斯
单位制）为 ∇2 A− 1 ∂ 2 A = 0 ，运用箱归一化法， c 2 ∂t 2
给这个方程加上周期性边界条件（在一个边长为 L
的 立 方 腔 内 ）。 使 用 分 离 变 量 法 ， 令 矢 势
[3] M. K. Sterliaros, G. R. Martin and R. A. Packwood.
Video object motion representation using run-length codes. Electronics Letters, 1998, 34(6): 543~544. [4] Ut-Va Koc and K. J. Ray Liu. DCT-based motion estimation. IEEE Transcations on Image Processing, 1998, 7(7): 948~965. [5] Fang-Hsuan Cheng and San-Nan Sun. New fast and efficient two-step search algorithm for block motion estimation. IEEE Transcations on Circuits and Systems for Video Technology, 1999, 9(7): 977~983. [6] Mei-Juan Chen,Liang-Gee Chen and Tzi-Dar Chiueh. One-dimensional full search motion estimation algorithm for video coding. IEEE Transcations on Circuits and Systems for Video Technology, 2001, 4(5): 505~509.
}
Pλ
= q&λ
+
q&
* λ
= −iωλ (qλ
− qλ* )
代入（10）式，得
（10） （11）
H
=
1 2
∑ λ
( Pλ2
+
ω
2 λ
Qλ2
)
（12）
由经典力学我们知道(12)式代表的就是一个由无穷
多的线性谐振子所组成的体系，每个振子的频率
ωλ = k λ c, k λ 由式（9）式给出，是一组满足边界条
我们知道，谐振子的能量 H = hν (n + 1 ) ，与普朗克 2
的假设有一个零点能 1 hν 的差别。如果按照这个思 2
想推导，那么谐振子的平均能量就应该是：
(n + 1 )hν
∑ nhν exp(− 2
U= n
kT
(n + 1 )hν
)
=
hν exp( hν
)
−1
+
1 2
hν
∑ exp(− 2 )
由于空间中任何一点的模密度都是 8πν 2 ，零点能 c3
所引起的（13）式的后一项都会在测量中抵消掉， 也就是说，我们测到的能量密度只是有辐射和无辐 射时的差值，零点能的问题在这个过程中完全反映 不出来。普朗克的能级假说虽然与客观真实有点 出，但一点也不影响他的公式的正确性。
4结论
至此我们已经很清楚了，普朗克所说的振子， 实际上就是腔内电磁波的模式，这些模式严格地服
qλ (t) ∝ exp(−iωλ t) ，故 A 的一般解可表为所有
模式解的线性组合：
A(r, t )
=
∑
[qλ
(t)
A
λ
(r)
+
qλ*
(t)
A
* λ
(r)]
，由此得：
λ
E
=
−1 c
∂A ∂t
=
i c
∑ωλ (qλ λ
Aλ −
q
* λ
A
* λ
)
B
=
∇
×
A
=
∑ (qλ ∇
×
Aλ
−
qλ* ∇
×
A
* λ