相似三角形——“K字型”相似模型
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相似三角形
——“K 字型”相似模型
教学目标:
1、理解“K 型图”的特征与其中两个三角形相似的条件,
2、利用“K 型图”中两个三角形的相似性解决一些计算、证明等问题;
教学重点难点:
1、在已知图形中观察关键特征——“K 型”;
2、在非“K 型”图形中画辅助线,得到“K 型”图形;
3、在“K 型”图的两个三角形中,探索其相似条件。
教学过程:
一、前测练习
1.如图,在矩形ABCD 中,E 在AD 上,EF ⊥BE ,交CD 于F ,连结BF ,则∆ ∽∆
2.在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ADE=60°, 则∆ ∽∆
二、模型探究
课前完成填空,上课请学生回答答案,根据答案回答以下问题:
问题1判定这两个三角形相似的依据是什么?
学生答:两个角对应相等的两个三角形相似。
问题2图中已知角有什么共同特征?
学生答:图1中顶点共线三角都是直角,图2中顶点共线三角都是60°。
问题3若顶点共线三等角的度数不是90°也不是60°,对应两个三角形还相似吗?
图形演示,提问:此时这两个三角形相似吗?请同学们自己画图并证明。
请学生叙此时述证明过程:
已知: n C ADE B =∠=∠=∠
求证:ABD ∆∽DEC ∆
证明: n B =∠
n ADB BAD -=∠+∠∴180 A
B D E
n ADE =∠
n ADB CDE -=∠+∠∴180
CDE BAD ∠=∠∴
C B ∠=∠
ABD ∆∴∽DEC ∆
(或者依据外角等于不相邻的两内角之和)
展示学生书写,教师分析,该同学找出的两三角形相似的第一个条件是(C B ∠=∠)
第二个条件是(CDE BAD ∠=∠),他是怎么证明这两个角相等呢?方法1、外角等于不相邻的两内角之和;方法2、三角形的内角和等于平角求解,都可行。
问题4若保持共线三等角的度数不变,改变边的长度,对应两个三角形还相似吗?
学生答:相似。因为我们是依据两个角对应相等判定两个三角形相似的。
问题5由此你得到了什么结论?
学生答:只要满足共线三角的度数相等,则这两个三角形相似的。
问题6此图形形如英语字母谁?
学生答:字母K
教师答:我们就把这个基本图形叫做K 字形,这是我们证明两三角形相似的一个基本图形。观察下图,请大家找出图中的对应边,由此可得到怎样的比例式?你能将该式转化为等积式吗?
通过刚才的研究发现,我们利用K 型得相似,利用相似可得出边之间的关系。下面我们就一起来研究K 字形在相似三角形中的应用。
三、模型运用(一)
例1如图,已知点A (0,4)、B (4,1),BC ⊥x 轴于点C ,点P 为线段OC 上一点,且PA ⊥PB .则点P 的坐标为
是否符合K 型特征?
一 线:
三 等 角:
相似三角形:
变式练习1如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB= AD=6,∠ABC=∠C=70°,点E 、F 分别在线段AD 、DC 上,且∠BEF=110°, 若AE=3,求DF 的长 .
处理方式:学生独立完成,请学生回答。
A D
B
C E 变式练习2如图,由8个大小相等的小正方形构成的图案,它的四个顶点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABC
D 的边AB 、BC 、CD 、DA 上。若AB=4cm ,BC=6cm ,求DG 的长 .
DHG ∆∽CGF ∆,相似比为1:2
设DG=x,则CG=4-x,CF=2x
BFE ∆∽CGF ∆,相似比为1:1
CG=BF=4-x
6=+CF BF
624=+-∴x x
2=∴x cm DG 2的长为∴
处理方式:学生独立完成,利用投票器选择答案,利用统计图分析学生的完成情况,请学生回答。
教师总结:当两个三角形K 型相似且相似比为1:1(或表述为有一组对应边相等)时,我们称这两个三角形为K 型全等。
四、模型应用(二)
例2如图,在四边形ABCD 中,已知AD ∥BC ,∠B=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在线段BC 上任取一点E ,连接DE ,作EF ⊥DE ,交直线AB 于点F .若点F 在线段AB 上,且AF=CE ,求CE 的长.
是否符合K 型图特征?
能否根据已知条件构造K 型图?
怎么构造K 型图?
学生答:过点D 作H BC 于点交BC DH ⊥。
为什么这样构造?
学生答:在直线BC 上,
90=∠=∠FED B ,所以过D 作BC DH ⊥,构造出一线三等角。 处理方式:引导学生分析构造K 型图,留时间给学生书写。
变式训练3 如图,在矩形ABCD 中,点E 、F 分别在边CD 、BC 上,且DC=3DE=3a .将矩形沿直线EF 折叠,使点C 恰好落在AD 边上的点P 处,则FP=
是否符合K 型图特征?
能否根据已知条件构造K 型图?
怎么构造K 型图?
为什么这样构造?
处理方式:抽学生回答答案。
变式训练4 (中考改变)如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠ADC =90°,∠B=120°,AD=3,AB=6.在AB 上取点E ,使得∠DEC=120°.则AE 的长是______.
是否符合K 型图特征?
能否根据已知条件构造K 型图? 怎么构造K 型图?
为什么这样构造?
处理方式:抽学生回答答案。