材料力学第13超静定结构[精]
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式（a）即为该超静定问题的变形协调条件。应用叠加原理，Δ 1可视为F单 独作用引起的位移Δ 1F(见图13.6（d）)与X1独作用引起的位移Δ 1X1 (见图 13.6（e）)的叠加，即
式（b）即为该超静定问题的补充方程。根据莫尔定理，欲求Δ 1X1，可在基 本结构的B处沿铅垂方向施加单位力F=1，如图13.6（f）所示。由于变形与 力呈线性关系，若单位力引起的位移用δ 11表示（见图13.6（f））那么有
依据式（13.1），力法正则方程为
应用单位荷载法及莫尔积分求解Δ 1F及δ 11。施加单位荷载后，图13.7（b ）与图13.7（d）中的弯矩方程分别为
依据莫尔积分表达式（12.33），可得
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同理，图13.7(e)与图13.7(f)中的弯矩方程分别为
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同样采用莫尔积分可得
图13.1
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13.1.2超静定问题分类与超静定次数的判定 例如图13.1（b）中的弯梁，由于在B点有多余外部约束力，因而是外力超静 定结构。例如图13.2（c）中的框架结构，结构整体并没有多余的外部约束 力，但结构内部的支撑杆EF带来多余的内部约束力，因此为内力超静定结构 。如在结构外部和内部均存有多余的约束力，即约束力和内力均是超静定的 ，称为外力与内力超静定结构，也称为联合超静定结构，如图13.2（g）所 示。 1）外力超静定次数的判定：根据约束性质确定约束反力的个数，根据结构 所受力系的类型确定独立平衡方程的个数，二者的差即为结构的超静定次数 。例如，图13.1（b）与图13.3分别为一次和二次外力超静定结构。 2）内力超静定次数的判定： 判断结构内力超静定次数，需要用截面法将超 静定结构截开，使其成为静定结构，截面上的未知内力数目即超静定次数。
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第13章 超静定结构
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13.1压杆稳定的概念 13.1.1超静定结构的概念 例如如图13.1（a）所示的曲杆，固定端A处有3个约束力，而独立的静力学 平衡方程有3个，故仅用静力学平衡方程就能解出这3个约束力，此曲杆为静 定结构。由于某些特定的工程需要，例如，提高其强度或刚度，在B处增加 了一个铰支座，如图13.1（b）所示，现在有4个约束力，平衡方程仍然是3 个，这样就多出了一个多余约束、约束力，是超静定结构
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图13.6 然后以未知约束力X1（不能由静力学平衡方程求出的）替代被解除支座的作 用，再加上原来的外力F，得到如图13.6（c）所示结构，称为原结构的相当 结构。之所以称为相当结构，是要求该结构的变形与原结构的变形完全相同 ，截面B的铅垂位移Δ 1为零，即
将式(c)代入式补充方程(b)中，得到
式中X1——约束力； δ 11——单位力F=1引起B处的铅垂位移；
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Δ 1F——原外力F引起B的铅垂位移。 式(13.1)称为力法正则方程，是一次超静定问题补充方程的一般形式。 例13.1如图13.7（a）所示，梁的EI为常数，试求B端的支座反力。
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③解补充方程求出多余约束力。 ④在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形。 例13.2计算如图13.8（a）所示边长为l的正方形桁架各杆中5杆的内力（设 各杆的横截面面积相等均为A且材料相同）。 解图示桁架结构仅内部有一个多余约束，故此桁架属于一次内力超静定。以 bd杆为多余约束，假想在d点处将杆切开，并以多余约束力X1及X′1代替， 相当系统如图13.8（b）所示。由于d点实际为ad，cd及bd三杆铰接点，所以 d点处相对位移应等于零，则依据此变形协调条件可列出补充方程，即
将Δ 1F与δ 11代入正则方程得
从而解得X1=38ql综上所述，力法分析超静定结构的要点如下： ①判定超静定次数，解除超静定结构的多余约束，并以相应的约束力 X1,X2,X3,…代替其作用，得到一个几何不变的静定结构，即原结构的“相 当结构”。 ②原结构已经变成静定结构，其变形与原结构相同，即在多余约束处满足“ 变形几何条件”，建立力法正则方程。
其中，Δ 1P表示d点两侧截面因载荷作用而引起的沿X1及X′1方向的相对位 移，Δ 1X1表示因多余约束力X1及X′1引起的沿X1及X′1方向的相对位移。 依据式（13.1），正则方程为
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表示由单位力引起的沿X1及X′1方向的相对位移。 图13.8应用单位荷载法及莫尔积分求解Δ 1P及δ 11。由求出静定基在P力作 用下及单位荷载作用下(见图13.8(c)及图13.8(d))各杆的内力,分别为
图13.7
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解首先根据前述超静定次数判别方法，系统为一次外力超静定问题。可把B 支座作为多余约束，悬臂梁AB为静定基（见图13.7（b））。在静定基上施 加被解除约束B处的多余反力X1可得相当系统，如图13.7（c）所示。显然， 变形协调条件为B点处挠度为零。利用弯曲变形叠加原理，B点的挠度为
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图13.2
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例如，如图13.2（a）所示的静定刚架，A，B处的3个约束力可通过静力学平 衡方程求出。这样，任一截面（例如图13.2（b）中所示的C截面）的3个内 力也完全可以通过静力学平衡方程求出。现增加一个二力杆EF，如图13.2（ c）中所示，此时D截面又出现一个内力（见图13.2（d）），总共4个内力， 但平衡方程仍然是3个，这样有一个内力不能由静力学平衡方程解出，因而 为一次内力超静定结构。如图13.2（e）所示为静定刚架加EF杆后形成一封 闭刚架结构，这样就有6个内力（见图13.2（f）），其中有3个内力不能由 静力学平衡方程解出，因而为3次内力超静定结构。 对于内力超静定结构，超静定形式及超静定次数有以下常见形式：一个平面 封闭框架为3次内力超静定；平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数 减去两倍的节点数。例如，如图13.4中所示桁架结构为内力二次超静定。
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式（a）即为该超静定问题的变形协调条件。应用叠加原理，Δ 1可视为F单 独作用引起的位移Δ 1F(见图13.6（d）)与X1独作用引起的位移Δ 1X1 (见图 13.6（e）)的叠加，即
式（b）即为该超静定问题的补充方程。根据莫尔定理，欲求Δ 1X1，可在基 本结构的B处沿铅垂方向施加单位力F=1，如图13.6（f）所示。由于变形与 力呈线性关系，若单位力引起的位移用δ 11表示（见图13.6（f））那么有
依据式（13.1），力法正则方程为
应用单位荷载法及莫尔积分求解Δ 1F及δ 11。施加单位荷载后，图13.7（b ）与图13.7（d）中的弯矩方程分别为
依据莫尔积分表达式（12.33），可得
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同理，图13.7(e)与图13.7(f)中的弯矩方程分别为
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同样采用莫尔积分可得
图13.1
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13.1.2超静定问题分类与超静定次数的判定 例如图13.1（b）中的弯梁，由于在B点有多余外部约束力，因而是外力超静 定结构。例如图13.2（c）中的框架结构，结构整体并没有多余的外部约束 力，但结构内部的支撑杆EF带来多余的内部约束力，因此为内力超静定结构 。如在结构外部和内部均存有多余的约束力，即约束力和内力均是超静定的 ，称为外力与内力超静定结构，也称为联合超静定结构，如图13.2（g）所 示。 1）外力超静定次数的判定：根据约束性质确定约束反力的个数，根据结构 所受力系的类型确定独立平衡方程的个数，二者的差即为结构的超静定次数 。例如，图13.1（b）与图13.3分别为一次和二次外力超静定结构。 2）内力超静定次数的判定： 判断结构内力超静定次数，需要用截面法将超 静定结构截开，使其成为静定结构，截面上的未知内力数目即超静定次数。
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第13章 超静定结构
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13.1压杆稳定的概念 13.1.1超静定结构的概念 例如如图13.1（a）所示的曲杆，固定端A处有3个约束力，而独立的静力学 平衡方程有3个，故仅用静力学平衡方程就能解出这3个约束力，此曲杆为静 定结构。由于某些特定的工程需要，例如，提高其强度或刚度，在B处增加 了一个铰支座，如图13.1（b）所示，现在有4个约束力，平衡方程仍然是3 个，这样就多出了一个多余约束、约束力，是超静定结构
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将式(c)代入式补充方程(b)中，得到
式中X1——约束力； δ 11——单位力F=1引起B处的铅垂位移；
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Δ 1F——原外力F引起B的铅垂位移。 式(13.1)称为力法正则方程，是一次超静定问题补充方程的一般形式。 例13.1如图13.7（a）所示，梁的EI为常数，试求B端的支座反力。
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③解补充方程求出多余约束力。 ④在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形。 例13.2计算如图13.8（a）所示边长为l的正方形桁架各杆中5杆的内力（设 各杆的横截面面积相等均为A且材料相同）。 解图示桁架结构仅内部有一个多余约束，故此桁架属于一次内力超静定。以 bd杆为多余约束，假想在d点处将杆切开，并以多余约束力X1及X′1代替， 相当系统如图13.8（b）所示。由于d点实际为ad，cd及bd三杆铰接点，所以 d点处相对位移应等于零，则依据此变形协调条件可列出补充方程，即
将Δ 1F与δ 11代入正则方程得
从而解得X1=38ql综上所述，力法分析超静定结构的要点如下： ①判定超静定次数，解除超静定结构的多余约束，并以相应的约束力 X1,X2,X3,…代替其作用，得到一个几何不变的静定结构，即原结构的“相 当结构”。 ②原结构已经变成静定结构，其变形与原结构相同，即在多余约束处满足“ 变形几何条件”，建立力法正则方程。
其中，Δ 1P表示d点两侧截面因载荷作用而引起的沿X1及X′1方向的相对位 移，Δ 1X1表示因多余约束力X1及X′1引起的沿X1及X′1方向的相对位移。 依据式（13.1），正则方程为
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表示由单位力引起的沿X1及X′1方向的相对位移。 图13.8应用单位荷载法及莫尔积分求解Δ 1P及δ 11。由求出静定基在P力作 用下及单位荷载作用下(见图13.8(c)及图13.8(d))各杆的内力,分别为
图13.7
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解首先根据前述超静定次数判别方法，系统为一次外力超静定问题。可把B 支座作为多余约束，悬臂梁AB为静定基（见图13.7（b））。在静定基上施 加被解除约束B处的多余反力X1可得相当系统，如图13.7（c）所示。显然， 变形协调条件为B点处挠度为零。利用弯曲变形叠加原理，B点的挠度为
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图13.2
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例如，如图13.2（a）所示的静定刚架，A，B处的3个约束力可通过静力学平 衡方程求出。这样，任一截面（例如图13.2（b）中所示的C截面）的3个内 力也完全可以通过静力学平衡方程求出。现增加一个二力杆EF，如图13.2（ c）中所示，此时D截面又出现一个内力（见图13.2（d）），总共4个内力， 但平衡方程仍然是3个，这样有一个内力不能由静力学平衡方程解出，因而 为一次内力超静定结构。如图13.2（e）所示为静定刚架加EF杆后形成一封 闭刚架结构，这样就有6个内力（见图13.2（f）），其中有3个内力不能由 静力学平衡方程解出，因而为3次内力超静定结构。 对于内力超静定结构，超静定形式及超静定次数有以下常见形式：一个平面 封闭框架为3次内力超静定；平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数 减去两倍的节点数。例如，如图13.4中所示桁架结构为内力二次超静定。