第二章 最优化-线性规划

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§2.2 线性规划的标准型 与基本概念
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线性规划的一般形式
min(max) c1x1+c2x2+· · · +cnxn s.t. a11x1+a12x2+· · · +a1nxn≥(或≤,=)b1 a21x1+a22x2+· · · +a2nxn(或≤,=)b2 · · · · · · am1x1+am2x2+· · · +amnxn(或≤,=)bm x1,x2,· · · ,xn≥0
D≠ F 时但目标函数无下界时,称线性规划(LP) 无界或无最优解; D≠ F 时若目标函数有下界,可以证明线性规 划(LP)必有最优解.
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可行域为凸集
定理2.2.1线性规划问题 min cTx (LP) s.t. Ax=b x≥0 的可行域D为凸集.
对任意的a ∈ [0,1],设 z=ax+(1-a)y,则z≥0,且 Az=A(ax+(1-a)y) =aAx+(1-a)Ay =ab+(1-a)b =b 证明 任取x,y ∈ D,则有 因此z ∈ D Ax=b,x≥0, Ay=b,y≥0 D为凸集.
(ii) 若在D内G(x)正定,则f(x)在D内是严格凸函数.
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凸规划
定义2.1.6 设DRn 为凸集,则f(x)为D 上的凸函数,则称 规划问题 min f(x) s.t. x ∈ D 为凸规划问题. 定理2.1.5 (i)凸规划的任一 局部极小点x是整体极小点, 全体极小点组成凸集. (ii)若f(x)是D Rn上的严格 凸函数,且凸规划问题 min f(x) s.t. x ∈ D 的整体极小点存在,则整体 极小点唯一.
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例将线性规划 min y=2x1-x2-3x3 s.t. x1+x2+x3≤7 x1-x2+x3≥2 -3x1-x2+2x3=5 x1, x2≥0, x3是自由变量 化为标准型
解:令x3=x3’-x3’’,得到标 准型 min y=2x1-x2-3x3’+3x3’’ s.t. x1+x2+x3’-x3’’+x4=7 x1-x2+x3’-x3’’-x5=2 -3x1-x2+2x3’-2x3’’=5 x1,x2,x3’,x3’’,x4,x5≥0
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凸函数的判断Leabharlann Baidu
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一阶条件
定理2.1.2 (一阶条件) 设在凸集D Rn上f(x)可微,则f(x)在D上为凸函 数的充要条件是对任意的x,y ∈ D,都有 f(y)≥f(x)+ f (x )T (y -x ) 定理2.1.3 (一阶条件) 设在凸集D Rn上f(x)可微,则f(x)在D上为严格凸 函数的充要条件是对任意的x,y ∈ D, x≠y,都有 f(y)>f(x)+ f(x)T(y-x)
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凸函数的性质
2
1
0
-1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 16
凸函数的判断
定理2.1.1 设f(x)定义在凸集D Rn上,x,y∈D. 令F (t)=f (tx+(1-t)y), t ∈ [0,1],则 (i) f(x)是凸集D上的凸函数的充要条件是对任 意的x,y∈ D,一元函数F (t)为[0,1]上的凸函 数. (ii) f(x)是凸集D上的严格凸函数的充要条件是 对任意的x,y ∈ D(x≠y),一元函数F (t)为[0,1] 上的严格凸函数. 该定理的几何意义是:凸函数上任意两点之间 的部分是一段向下凸的弧线.
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极 点
定义2.1.3 设D为凸集, x∈D.若D中不存在两 个相异的点y,z及某一实数a∈(0,1)使得 x=ay+(1-a)z 则称x为D的极点. 凸 集 极点 凸 集 极点
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极 点
例 D={x ∈Rn| ||x||≤a}(a>0),则||x||=a上的点 均为极点 证明:设||x||=a,若存在y,z ∈D及a∈(0,1),使得 x=ay+(1-a)z.则 a2=||x||2≤a2||y||2+(1-a)2||z||2+2a (1-a)||y||||z||≤a2 不等式取等号,必须||y||=||z||=a, 容易证明y=z=x,根 据定义可知,x为极点.
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例将线性规划 max y=250x1+350x2 s.t. 5x1+6x2 ≥250 8x1+6x2 ≤ 300 10x1+20x2=-700 x1≥0, x2 ≤ 0 化为标准型
解:令x2’= -x2,得到标准 型 min -y=-250x1+350x2’ s.t. 5x1-6 x2’ -x3 =250 8x1-6x2 ’ +x4 = 300 -10x1+20x2’=700 x1 ≥0, x2’ ≥0, x3 ≥0, x4 ≥0
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凸集的性质
(i)有限个(可以改成无限)凸集的交集为凸集. 即:若Dj(j ∈ J)是凸集,则它们的交集 D={x|x ∈ Dj,j ∈ J } 是凸集. (ii)设D是凸集,b是一实数,则下面集合是凸集 b D={y | y =b x, x ∈ D}.
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凸集的性质
(iii)设D1,D2是凸集,则D1与D2的和集 D1+D2={y|y=x+z,x ∈ D1,z ∈ D2}是凸集. 注:和集与并集有很大的区别,凸集的并集未必 是凸集, 而凸集的和集是凸集. 例:D1={(x,0)T|x ∈ R}表示 x 轴上的点, D2={(0,y)T|y ∈R},表示 y 轴上的点. 则D1∪D2表示两个轴的所有点,它不是凸集; D1+D2=R2是凸集
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矩阵-向量形式的标准型
记A=(p1,p2,· · · ,pn),其中pj=(a1j,a2j,· · · ,amj)T,线 性规划(LP)又可以表示为
min cT x ( LP ) s.t . x j p j b
j 1 n
x j 0, j 1, 2,
,n
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线性规划解的情况
满足约束条件的向量x是可行解,全体可行解 构成可行域D. D= F 时,称线性规划无可行解;
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凸 函 数
定义2.1.4 设函数f (x)定义在凸集D Rn上,若
对任意的x,y ∈ D,及任意的a ∈ [0,1]都有
f (a x+(1-a)y) ≤ a f(x)+(1-a) f (y)
则称函数f (x)为凸集D上的凸函数.
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凸 函 数
定义2.1.5 设函数f (x)定义在凸集D Rn上,若 对任意的x,y∈D,x≠y,及任意的a ∈(0,1)都有 f (a x+(1-a)y) < a f(x)+(1-a) f (y) 则称函数f (x)为凸集D上的严格凸函数.
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基本概念
设约束矩阵A的秩为m (行满秩),且m≤n,则A中必 存在m阶非奇异子阵B,不妨设 B=(p1,p2,· · · ,pm) 称B为线性规划问题(LP)的一个基矩阵,或称为基, 基矩阵中的列向量称为基向量, 对应的决策变量称为基变量, 其余变量称为非基变量.
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凸函数的性质
(i)设f(x)是凸集D Rn上的凸函数,实数k≥0,则 kf(x)也是D上的凸函数. (ii)设f1(x), f2(x)是凸集D Rn上的凸函数,实数 m0,则f1(x)+m f2(x)也是D上的凸函数. (iii)设f(x)是凸集D Rn上的凸函数,b为实数, 则水平集S(f,b)={x|x∈D,f(x)≤b }是凸集. 下面的图形给出了凸函数f(x,y)=x4+3x2+y4+y2+xy 的等值线(f(x,y)=2,4,6,8,10,12)的图形.可以看出 水平集为凸集.
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线性规划的标准型
min c1x1+c2x2+· · · +cnxn s.t. a11x1+a12x2+· · · +a1nxn=b1 a21x1+a22x2+· · · +a2nxn=b2 · · · · · · am1x1+am2x2+· · · +amnxn=bm x1,x2,· · · ,xn≥0 其中bi ≥0. 在标准形式中目 标函数一律改为 最大化或最小化， 此处我们统一为 最小化，约束条 件（非负约束条 件除外）一律化 成等式，且要求 其右端项大于等 于零。
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凸
集
从直观上看，没有凹入部分，或没有空洞 的是凸集。 几何解释为：集合D中任两点连线上的每 一点仍在D中，则D为凸集。
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凸集的例
例2.1.2 超球||x||≤r为凸集 证明 设x,y为超球中任意两点, ≤a≤1,则有 ||ax+(1-a)y||≤a||x||+(1-a)||y|| ≤a r+(1-a) r = r, 即点ax+(1-a)y属于超球,所以超球为凸集.
x1 2 x2 3x3 8 x1 2 x2 3x3 x4 8
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一般形式转化为标准型
(iv)若某个约束方程右端项 bi 0 ，则在约束 方程两端乘以（-1），不等号改变方向，然 后再将不等式化为等式。
(v) 若变量xj无非负约束，则引入非负变量 xj’≥0, xj’’≥0, 令xj=xj’-xj‖.
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二阶条件
设在开凸集D Rn上f(x)可微,则 (i) f(x)是D内的凸函数的充要条件为,在D内任 一点x处, f(x)的Hesse矩阵G(x)半正定,其中
2 f x 2 21 f G ( x ) 2 f ( x ) x2 x1 2 f xn x1 2 f x1x2 2 f 2 x 2 2 f x n x 2 2 f x1xn 2 f x 2 x n 2 f 2 x n
将上述定义中的不等式反向,可以得到凹函数 和严格凹函数的定义.
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凸函数的例
例2.1.3 设f (x)=(x–1)2,试证明f(x)在(–∞,+∞)上 是严格凸函数. 证明:设x,y∈ R,且x≠y, a (0,1)都有 f (ax+(1-a)y)-(a f (x) +(1-a)f (y)) =(ax+(1-a)y-1)2-a (x-1)2-(1-a) (y-1)2 = –a (1-a)(x-y)2<0 因此f(x)在(–∞,+∞)上是严格凸函数.
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凸函数的几何性质
对一元函数f (x),在几何上a f (x1)+(1-a)f (x2) (0≤a≤1)表示连接(x1,f(x1)),(x2,f (x2))的线段, f(ax1+(1-a)x2)表示在点ax1+(1-a)x2处的函数 值,所以一元凸函数表示连接函数图形上任 意两点的线段总是位于曲线弧的上方. 对于一元凸函数f(x),可以发现,位于函数曲线 上方的图形是凸集.事实上这一结论对于多元 函数也是成立的,而且是充要条件,即有下面的 定理.
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推论 凸集的线性组合是凸集.
n,i=1,…,k,实数 0, i 定义2.1.2 设 x ∈ R i i k i 1 则 x i xi 称为x1,x2, …,xk的凸组合.
i 1
k
1,
两点的凸组合
三点的凸组合 多点的凸组合
容易证明:凸集中任意有限个点的凸组合仍然 在该凸集中.
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一般形式转化为标准型
(i)极大极小 max f(x) min –f(x)
(ii)若约束条件是小于等于型，则在该约束条 件不等式左边加上一个新变量——称为松弛 变量，将不等式改为等式。 如
x1 2 x2 3x3 8 x1 2 x2 3x3 x4 8
(iii)若约束条件是大于等于型，则在该约束条 件不等式左边减去一个新变量——称为剩余 变量，将不等式改为等式。 如
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矩阵-向量形式的标准型
min cTx (LP) s.t. Ax=b x≥0 其中c=(c1,c2,· · · ,cn)T,x=(x1,x2,· · · ,xn)T,b=(b1,b2,· · · ,bm)T a1n c:价格向量 a11 a12 a21 a22 a2 n A:约束矩阵 A a a a mn b:右端向量 m1 m 2
第二章
线性规划
§2.1 凸集与凸函数
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凸
集
定义2.1.1 设集合D Rn,若对于任意点x,y∈ D, 及实数aa1,都有 ax+(1-a)y ∈ D, 则称集合D为凸集.
常见的凸集:单点集{x}, 空集, 整个欧式空间Rn, 超平面 H={x∈ Rn|a1x1+a2x2+…anxn=b}， 半空间 H+={x∈Rn|a1x1+a2x2+…anxn≥b}，实 心圆，实心球，实心长方体等都是凸集。