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从算术到代数
（先阅读，再看例，最后尝试练习）
完成时间：建议两天
知识纵横
“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”(algebra) 可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”。

著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言。

”
用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。

字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代表式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。

例题
【例1】(河南省中考题)观察下列等式：
9-1=8,
16-4=12,
25-9=16,
36-16=20,
……
这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来:
____________.
思路点拨在观察给定的等式基础上,寻找数字特点,等式的共同特征, 发现一般规律.
解:(n+2)2-n2=4(n+1)
【例2】(竞赛题)某商品2000年比1999年涨价5%,2001年又比2000年涨价10%, 2002 年比2001年降价12%,则2002年比1999年( )
A.涨价3%
B.涨价1.64%
C.涨价1.2%
D.降价1.2%
思路点拨设此商品1999年的价格为a元,把相应年份的价格用a的代数式表示,由计算作出判断.解:选B.
【例3】(竞赛题)有一张纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的1片分割分4片, 以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片,如此进行下去,试问:
(1)经5次分割后,共得到多少张纸片?
(2)经n次分割后,共得到多少张纸片?
(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么?
思路点拨从简单情形入手,发现纸片数的特点是解本例的关键.
解:(1)因为每分割1次,就要增加3张纸片,所以经5次分割,共得到1+3×5=16 张纸片.
(2)经n次分割,共得到(1+3n)张纸片.
(3)若能分得2003张纸片,则1+3n=2003,3n=2002,无整数解, 所以不可能经若干次分
1319
割后得到2003年纸片.
【例4】 (竞赛题)在右图中有9个方格,要求每个方格填入不同的数,使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等,问:右图上角的数是多少?
思路点拨 虽然要求的只是右上角的数,但是题目的条件还与其他的数有关,因此,需恰当地引进不同的字母表示数,以便充分运用已知条件.
解:提示:如图,设相应方格中的数为x 1,x 2,x 3和x 4,问号处填的数为x,由已知条件得:x+x 1+x 2=x+x 3+x 4=x 1+x 3+13=x 2+19+x 4,这样,前面两个式子之和等于后面的两个式子之和, 即 2x+x 1+x 2+x 3+x 4=13+19+x 1+x 2+x 3+x 4,
∴2x=13+19,得x=16.
练习
1. (福州市中考题)给出下列算式:
12+1=1×2, 22+2=2×3, 32+3=3×4,
……
观察上面一列算式,你能发现什么规律,用代数式子表示这个规律:________.2. (武汉市中考题)已知:2+
=22×,3+=32×,4+=42×……,23233838415415
若10+
=102×(a 、b 为正整数), 则a+b=_________. a b a
b
3. (江苏省竞赛题)若(m+n)人完成一项工程需要m 天,则n 个人完成这项工程需要
________天.(假定每个人的工作效率相同)
4. (河南省竞赛题)某同学上学时步行,回家时坐车,路上一共要用90分钟,若往返都坐车,全部行程只需30分钟,如果往返都步行,那么,需要的时间是________.
5.一项工程,甲建筑队单独承包需要a 天完成,乙建筑队单独承包需要b 天完成, 现两队联合承包,完成这项工程需要( )天. A.
B.+
C.
D.1a b +1a 1b ab a b +1ab
6. (中考题)某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加10%, 三月份比二月份减少10%,那么三月份比一月份( ) A.增加10% B.减少10% C.不增不减 D.减少1%
7.为了绿化环境,美化城市,在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪, 如果两块草坪的周长相同,那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是( )A.S 1>S 2 B.S 1<S 2 C.S 1=S 2 D.无法比较
13
19x 4
x 3x 2x 1x
E
D B G F
C A 8. (江苏省竞赛题)从小明的家到学校,是一段长度为a 的上坡路接着一段长度为b 的下坡路( 两段路的长度不等但坡度相同).已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%,走下坡路时的速度比走平路时的速度快20%,又知小明上学途中花10分钟, 放学途中花12分钟.
(1)判断a 与b 的大小;(2)求a 与b 的比值.
9.观察下列各正方形图形,每条边上有n(n≥2)个圆点,每个图案中圆点的总数是S.
按时规律推断出S 与n 的关系式是__________.(广西中考题)
n=4,s=12
n=3,s=8
n=2,s=4
.......
10. (“希望杯”邀请赛试题)如图,将面积为
a 2的小正方形与面
积为b 2的大正方形放在一起(b>a>0),用a 、 b 表示三角形ABC
的面积为________.
11. (天津市竞赛题)已知17个连续整数的和是306,那么,紧接在
这17个数后面的那17个整数的和为_________.
12. (南昌市中考题)用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所
示的规律,拼成若干个图案:(1)第4个图案中有白色地面砖_________块;(2)第n 个图案中有白色地面砖_________块
.
13. (江苏省竞赛题)下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( )
A.1627384950
B.2345678910
C.3579111300
D.4692581470
14. (重庆市竞赛题)给出两列数:1,3,5,7,9,…2001和1,6,11,16,21,…,2001, 同时出现在这两列数中的数的个数为( )
A.199
B.200
C.201
D.202
15. (山东泰安市中考题)一种商品每件进价为a 元,按进价增加25%定出售价,后因库存积压降价,按售价的九折出售,每件还能盈利( )
A.0125a
B.0.15a
C.0.25a
D.1.25a
16.如果用a 名同学在b 小时内共搬运c 块砖,那么c 名同学以同样的速度搬运a 块砖所需的小时数是( )
A. B. C. D. 22c a b 2c ab 2ab
c
22
a b c 17.将1～16这16个整数填入4×4的正方形表格中,使得每行、每列、 每条对角线上四个数之和都相等，如右图所示，恰有８个小方格中填的数被一个淘气的小朋友擦掉了，请你将擦掉的这８个数设法恢复出来.
参考答案：
1.n 2+n=n(n+1)
2.109
3.
4.150分钟
5.C
6.D
7.B ()
m m n n
+8.(1)a<b,(2)把骑车走平路时的速度作为“1”,则 ,得+=(+),
0.8a 1.2b 56 1.2a 0.8
b
得=.a b 38
9.S=4n-4 10.b 2 11.595 12.(1)18;(2)4n+2
1
2
13.A 设自然数从a+1开始,这100个连续自然数的和为
(a+1)+(a+2)+ …+(a+100)=100a+5050.
14.C 第一列数可表示为2m+1,第二列数可表示为5n+1,
由2m+1=5n+1,得n=
m,m=0,5,10 (10002)
5
15.A
16.D 提示:每一名同学每小时所搬砖头为块,c 名同学按此速度每小时搬砖头块.
c
ab
2c ab 17.提示:设所填表中每行、每列、每条对角线四数之和为Ｓ，则
4S=1+2+3+…16=
,得S=34.1617
2
⨯ 再设左上角所擦的数为x,则左下角擦的数为14-x,右下角擦掉的数为15+x,其余各
格中擦掉的数都可以表示为x 的代数式, 再将主对角线上的数相加应得34, 即30+4x=34,解得x=1.
于是可以依次算出被擦掉的各数,恢复后如图所示.
x
16-x
144
12
5+x 8-x
98
10
10+x
6-x
14-x
3
2
15+x
115
14
4
12
6
7
98
10
11
5
13
3
2
16。