现代数值计算方法第一章ppt

措施：小数加在前
0.3684676 0.6327544 10 7 0.4932001 0.4800100 0.3684676 0.4932001 0.4800100 0.6327544 10 7 0.6327545 10 7
2. 下列值如何计算更合理？（给出计算公式）
Er ( x1 x2 )
x1 x2 x x Er ( x1 ) x x Er ( x2 ) 1 2 1 2
（2） 乘除运算
x1 1 x1 x1 E ( ) E ( x1 ) E ( x2 ) [ Er ( x1 ) Er ( x2 )] 2 x2 x2 ( x2 ) x2
的值。 算法1：直接计算，乘法次数： 算法2：
n(n 1) 次 2
p( x) (((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
乘法次数： n 次
记Vk ((an x an1 ) x ank 1 ) x ank
则Vk Vk 1 x an k， 设V0 a0， 按此公式迭代， 更节约存储单元
一、两个基本概念
（1）数值计算问题：
离散的初始数据→ 问题离散的数值型的解
例如：1、求一元二次方程：ax
2
bx c 0
的根 x1 , x2
a、b、c
x1 , x2
(数值计算问题）
2、求解线性代数方程组
改写成矩阵-向量形式：Ax b
其中,来自百度文库

（数值计算问题）
需要注意的是，并非所有的数学问题都是 数值计算问题。
例如：已知函数 y y ( x) 满足如下微分方程：
y 2 x 3 x [0, a] y(0) 0
求解该微分方程。 （一阶常微分方程初值问题）
2，3, x 0, y 0
y x
2
3x
（非数值计算问题）
（2）数值计算方法：
在计算机上用于求解数值问题的系列计算公式。
问题1：如何确定一个近似值具有几位有效数字？
答：若近似值为对准确值四舍五入得到，则只需从近似 值最后一位往前数到第一位非零数字，共有几位数字， 就具有几位有效数字。 若近似值不是对准确值四舍五入得到，则需借助于 等价定义进行判断。 问题2：给定一准确值,如何通过四舍五入给出其具有 n位有效数字的近似值？ 练习：已知e=2.71828182…,分别写出其具有3位、4 位、5位有效数字的近似值。
练习：
1、为计算 ( 2 1) 6 ，取 2 1.414 ，依据数值计算的 基本准则，如下哪个计算公式最好？
1 ( 2 1)
1 (3 2 2 )
3
6
(3 2 2 ) 3
99 70 2
(3)防止大小相近的两个数相减。
(4)绝对值太小的数不宜做除数。
(5)防止大数“吃”小数。
因此有必要研究如何利用计算机来解决工农业生产和国防尖 端技术领域中的计算问题(科学计算），建立适用于计算机的计 算方法。由此在大量的计算实践和理论分析基础上，产生了数学 学科的一个独立分支，即计算方法。
（2）研究对象：在计算机上求解各种数值计算问题的数值
计算方法及理论。 （3）主要任务：为求解各种数学问题构造算法 和分析算法。 （4）特点: 计算方法属于计算数学的范畴,是一门既注重理论性，又注重实 践性，与计算机应用紧密结合的数学课程。
（3）数值算法 是解数值问题的整个过程，不仅包含解题的 数值方法，还包括解题的思想、步骤、目的及 数据的输入和输出要求。
二、算法的构造
1、在计算机上实际可行：
可直接执行的运算 参与运算的数据 +、— 、× 、 ÷ 有限位小数 四则运算及逻辑运算
运算的次数
有限次运算
计算机不能直接进行的运算（指数、对数、开方、 三角、求导、积分） →计算机可执行的运算 无理数、大多数有理数→计算机允许的有限位小数 无穷次运算求得精确解→有限次运算求得近似解
例1、指数运算：e
x
x
x x e 1 x 2! n!
2
n
x x e 1 x 2! n!
x
2
n
2、 算法的计算复杂性好
时间复杂度：算法包含的运算次数的多少
计算复杂性
空间复杂度：算法占用的存储空间的大小
虽然计算机的运算速度很快，存储信息 量大，但并不能因此就降低对算法计算复杂 性的要求。尤其在处理大型数值计算问题时， 算法计算复杂性的好坏会直接影响计算的效 率和结果的可靠性！
| η, 则称 η 为近似值 x
2、相对误差与相对误差限
设 相对误差：
x
x x 是近似值 E r ( x) x
实际计算时，常用
是精确值，x 是其近似值，则称

x

的相对误差 。
x x 相对误差限：若 | Er ( x) || | x
x x Er ( x) x
，则称
为近似值
x

的相对误差限。
3、有效数字:
例： 3.1415926 对其进行四舍五入，取3位近似值，得： 3.14
1 | E ( ) || | 0.0015926 0.005 10 2 2
*
取5位近似值，得： 3.1416
*
作业，P19， 3，4，6，11
计算方法
任课教师:
蔡静 授课班级: 20110711、20110712
第一章 数值计算中的误差分析
1.1 计算方法的研究对象、任务与特点 1.2 误差的相关概念与误差估计 1.3 选用和设计算法时应遵循的原则
1.1 计算方法课程的研究对象、任务与特点
（1）产生背景：
计算机诞生之前，在求解各种数学问题的过程中，人们逐 渐积累了一些算法，所能解决的问题也仅局限于一些小型的、 简单的计算问题。 随着科学技术的突飞猛进，在工程设计、气象预报、水利建 设以及武器研制、火箭卫星发射等等，在这些领域都出现了大量 复杂大型的计算问题急待解决。
例如：
0.3684676 0.6327544 10 7 0.4932001 0.4800100 0.0000000 10 7 0.6327544 10 7 0.0000000 10 7 0.0000000 10 7 0.6327544 10 7
1.3 算法设计的若干原则
(1) 选择数值稳定的算法。

数值稳定的算法：初始数据所带有的误差在计 算的过程中能得到有效控制，不至于因误差的 过度增长影响计算结果的精度。
P11，例
（2）尽量减少运算次数和节约存储空间。
例如:给定x的值,计算多项式
p( x) a n x n a n1 x n1 a1 x a0
例如，用 Cramer 法则求解一个 20阶的线性代数 2 方程组，总共需要进行 20!(20 1) 20 次乘除法 若使用每秒可进行一亿次乘除法运算的计算机， 则要连续工作 30多万年。
而用Gauss消去法，只需2660次乘除法。
由此可见，对于同一问题，采用不同的算法，计 算复杂性大不一样，因此在设计算法时，应设法减 少运算次数、节约存储空间，以提高计算的效率。 三、算法的分析：误差分析、稳定性、收敛性分析
(1) (2) (3) (4)
1 cos 1
2
ln( 30 30 1) N 1 1 N 1 x 2 dx ( N充分大) 1 cos x ( x充分小) sin x
基本要求
1、了解计算方法的研究对象和主要任务。 2、掌握误差的基本概念 3、能依据算法设计准则设计计算公式
1 | E ( ) || | 0.0000074 0.00005 10 4 2
若近似值
x
*
的误差绝对值不超过某一位数字的半个
单位，则称近似值准确到这一位。 有效数字定义：若从近似值所准确到的那一位数字到 近似值的第一位非零数字共有n位，则称近似值具有 n位有效数字。
规格化浮点数：
1.2 误差的相关概念与误差估计
误差的来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差
（1）误差的基本概念：
1、绝对误差与绝对误差限 绝对误差：设

x 是精确值，x
*
是其近似值，则称
E ( x) x x
是近似值
x 的绝对误差，简称误差。

绝对误差限：若 | E ( x) || x x 的绝对误差限。
x (0.a1a2 an ) 10
其中m为整数，a1
m
0, a2 a3 为介于0到9之间的整数。
m
书本P7，有效数字的等价定义：如果近似值
x (0.a1a2 an ) 10
满足：


1 | E ( x) || x x | 10 mn , 2
则称近似值具有n位有效数字。
x 10 0.a1a2 an 则
m

10
m 1
a1 | x | 10

m1
(a1 1)
（1）若 x 具有n位有效数字，则
1 | E ( x) || x x | 10 mn , 2

1 10 m n | x x | 1 n 1 2 | Er | 10 m 1 |x | a1 10 2a1
误差在运算中的传播规律：P9， (1.2.5) (1.2.6) （1）加减运算: 设 x
其相对误差分别为 则
1 ， 2 分别是精确值
x
x1，x 2 的近似值，
Er ( x1 )，Er ( x2 )
x1 x2 Er ( x1 ) Er ( x2 ) x1 x2 x1 x2
4、有效数字与相对误差限的关系 （1）若 x 具有n位有效数字，则 x 的相对误差 Er 1 n 1 | E | 10 满足： r 2a1 E （2）若 x 的相对误差 r 满足：
1 n | E | 10 2(a1 1)
r

则 x 至少具有n位有效数字。 证明：
的相对误差 E （2）若 x r 满足： 1 | Er | 10 n 2(a1 1)

1 | x x || Er | | x | 10 n 1 (a1 1) 10 m 1 2(a1 1)

1 x P8 ，例 1 mn 则 至少具有 n 位有效数字。 10 , 2