函数值域求法十种

函数值域的常用求法

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数

x

1y =

的值域。

解：∵0x ≠∴0

x 1

≠

显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞Y

例2. 求函数x

3y -

=的值域。

解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-

≤-∴

故函数的值域是：]3,[-∞

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数

]2,1[x ,5x 2x y 2

-∈+-=的值域。 解：将函数配方得：4)1x (y 2

+-=∵]2,1[x -∈

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，

8y max = 故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数1

3222

2++++=x x x x y 的值域。 分析与解答：因为0432112

2≠+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=++x x x ，原函数变形为：

()()()03222=-+-+-y x y x y （1）

当2=y 时，求得3=y ，所以2≠y 。

当2≠y 时，因为R x ∈，所以一元二次方程（1）有实数根。则：

0≥∆，即：()()()3

102032422

≤

≤⇒≥----y y y y 所以3

10

2≤

4. 分离常数法

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数1e 1e y x

x +-=的值域。

解：由原函数式可得：

1y 1

y e x -+=

∵0e x >∴0

1y 1y >-+

解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-

6. 函数单调性法

例9. 求函数

)10x 2(1x log 2y 35

x ≤≤-+=-的值域。 解：令

1x log y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2，10]上都是增函数 所以

2

1y y y +=在[2，10]上是增函数当x=2时，

81

12log 2y 33min =

-+=-

当x=10时，339log 2y 3

5

max =+=所求函数的值域为：⎥

⎦⎤⎢⎣⎡33,81

例10. 求函数1x 1x y --+=

的值域。

解：原函数可化为：

1

x 1x 2y -++=

令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数 所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数

所以当x=1时，

21y y y +=有最小值2

，原函数有最大值

2

2

2

=

显然0y >，故原函数的值域为]2,0(

7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数1x x y -+=的值域。

解：令t 1x =-，)0t (≥

则1t x 2+=

∵

43

)21t (1t t y 22+

+=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知 当0t =时，1y min = 当0t →时，+∞→y 故函数的值域为),1[+∞ 8.基本不等式法

利用重要不等式ab b a 2≥+，()

+

∈R b a ,求出函数的最值而得出值域

的方法。此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。