级数(答案解析)

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复变函数练习题 第四章 级数

系 专业 班 姓名 学号

§1 复数项级数 §2 幂级数

23521

24221

1(1)1(1)sin ()3!5!(21)!

(1)cos 1()

2!4!2!1()

2!!

n n n n n

n z

z z z z z

z z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++

<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞一些重要的级数

一、选择题:

1.下列级数中绝对收敛的是 [ ]

(A)11(1)n i

n

n ∞

=+∑ (B)1(1)[]2n n n i n ∞

=-+∑ (C) 2ln n n i n ∞

=∑ (D

)1(1)2n n

n n i ∞

=-∑ 2.若幂级数

n

n n c z

=∑在12z i =+处收敛,那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ]

(A )绝对收敛 (B )条件收敛 (C )发散 (D )不能确定

()

122i Abel +=

>,由定理易得

3.幂级数1

(1)1n n n z n ∞

+=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] (A) ln(1)z + (B )ln(1)z - (C ) 1ln

1z + (D ) 1

ln 1z

- '

100

'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n n

n n n n

z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z ∞∞+==∞∞++==⎧⎫⎛⎫-=-=⎪⎪ ⎪++⎪⎪⎝⎭⎨⎬⎛⎫⎪⎪

--==+ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎩⎭

∑∑∑∑⎰⎰

二、填空题:

1.设(1)2

n

n i α-=+,则lim n n α→∞

= 0 。

2.设幂级数

n

n n c z ∞=∑的收敛半径为R ,那么幂级数0

(21)n n n n c z ∞

=-∑的收敛半径为

2

R 3.幂级数

0!

n n

n n z n

=∑的收敛半径是 e 。

4.幂级数1n

p n z n

=∑(p 为正整数)的收敛半径是 1 。

三、解答题:

1.判断下列数列是否收敛?如果有极限,求出它们的极限。

(1)211

n i

n i

e n n πα-=++

(1)2,

221

(1)1lim lim 0221lim 0

k n k k k n n i

n k k k k k αα→∞→∞→∞

-==++-==+=当时,由知, 11(1)1

2,

21

(1)1lim 021lim 0

k n k k n n n k i k k αα++→∞→∞

-+=+=+-+=+=当时,由知, (2)12321(1)12n n

n n

i n

α-=+++

123211

lim lim(1)12lim n n n n n n n n e i

e

α-→∞→∞→∞=+=+=由可得,

2.判断下列级数的敛散性。若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛。 判断绝对收敛的两种方法: (1)绝对级数是否收敛

(2)实部和虚部的绝对级数是否收敛 (1)2

3

1,n i i i i ++++

++

lim n n i →∞

由不存在可知,级数发散

(级数收敛的必要条件)

(2)35

(5)(5)53!5!

i i i -+

+

35

21555(53!5!

(21)!

n i n +=+++

+++

21

05(21)!

n n n +∞

=+∑

由级数收敛可知,原级数绝对收敛. (3)

1

sin 3n

n n in

=∑

()()

11

sin ()32323322332n n n

n

n n

n

n

n n n in n e e n n e e n n

e e -∞

∞==-==-

⋅⋅⎛⎫

⋅ ⎪⎝⎭

⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭

∑由级数及级数

收敛,可得原级数绝对收敛

(4)2ln n

n i n

=∑

2111

(1)(1)[]ln ln 2ln(21)(1)(1)

ln 2ln(21)n k k

n k k k

k k i i n k k k k ∞

==∞∞==--=++--+∑∑∑

∑由于和为交错级数,由莱布尼兹准则,

1111

ln 2ln(21)

k k k k ∞

==+∑∑级数收敛,故原级数收敛。又由和发散,

则原级数条件收敛。

3.求幂级数1

(1)(3)

n n n z ∞

+=+-∑的收敛半径,收敛域及和函数,并计算

1

2∞

=∑n n n

之值。。 解:由2

lim

1 1.1

n n R n →∞+==+知,收敛半径

10

=2(1)(1)31n n z n z ∞+=+--<∑当时,原级数成为,为发散级数,

因而原级数的收敛域为.

2'

2

'

1201

2011

1(3)(3)(3)1(3)

112(3)3(3)(1)(3)1(3)13(1)(3)=(3)=1(3)(4)

7372(1)(3)===2

722(4)2n n n n n n n n z z z z z z n z z z n z z z z n z n z ∞

+=∞∞

+===+-+-+

+-+

--⎡⎤=+-+-+++-+

⎢⎥

--⎣⎦

⎡⎤-+--⎢⎥

---⎣⎦-=+--∑∑∑故当时,

4.求幂级数21

n

n n z ∞

=∑的和函数,并计算2

12n n n ∞

=∑之值。

220

1

111'123(1)(1)1n n n

n z z z z z z n z n z z ∞

==+++++-⎛⎫=++++++=+ ⎪-⎝⎭

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