第四章解析函数的级数表示(3)
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第四章 解析函数的级数表示
§1. 复数项级数 一. 复数序列的极限
定义： 设{}n z 为一个复数序列，其中n n n y i x z +=，
又设000y i x z +=为一个复定值. 若 ,0,0>∃>∀N ε使得,N n >∀有不等式
ε<-0z z n
恒成立，则称复数序列{}n z 收敛于0z ，或称
{}n z 以0z 为极限，记作
0lim z z n n =∞
→ 或()∞→→n z z n 0.
如果对于任意复数0z ，上式均不成立，则称复数序列{}n z 不收敛或发散.
定理1 设000y i x z +=，n n n y i x z +=，则
⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=∞
→∞→∞→.lim ,lim
lim 000y y x x z z n n n n n n 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
二. 复数项级数
定义： 设{}n z 为一个复数序列，表达式
+++++n z z z z 321
称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列
() 2,1321=++++=n z z z z S n n
有极限S S n n =∞
→lim （有限复数），则称级数是收敛的，S 称为级数的和；如果{}n S 没有极限，则称级数是发散的. 例1.
当1 ++++++n z z z z 321 是否收敛？ 定理2 级数 ++++n z z z 21收敛的充分必要条件 是实数项级数 ++++n x x x 21与 ++++n y y y 21都收敛. 定理2说明: 可将复级数的敛散性转化为判别两 个实级数的敛散性. 定理3 （级数收敛的必要条件）若级数 ++++n z z z 21 收敛，则0lim =∞ →n n z . 显然，收敛级数的各项一定有界. 定理4 若级数 +++++=∑ ∞ =n n n z z z z z 3211 收敛，则级数 +++++=∑∞ =n n n z z z z z 3211 一定收敛. 定义： 若级数 ++++=∑∞ =n n n z z z z 211 收敛， 则称级数 ++++=∑∞ =n n n z z z z 211 绝对收敛，若级数 ++++=∑ ∞ =n n n z z z z 211发散，而 级数 ++++=∑∞ =n n n z z z z 211 收敛，则称级数 ++++=∑∞ =n n n z z z z 211 条件收敛. 例2. 判断下列级数的敛散性： （1）∑∞ =⎪⎭⎫ ⎝⎛+121n n i n ；（2）∑∞ =1n n n i ；（3）∑∞ =12n n n i . §2. 复变函数项级数 一. 复变函数项级数 定义： 设(){}() ,,n z f n 21=为区域D 内的函数序 列，称以()z f n 为一般项的复级数 ()()()()+++++z f z f z f z f n 321 为区域D 内的复变函数项级数.该级数的前n 项的和 ()()()()()z f z f z f z f z S n n ++++= 321 称为该级数在D 内的部分和. 设0z 为区域D 内的一个定点，若极限 ()()00lim z S z S n n =∞ →存在，则称该复变函数项级 数在0z 点收敛，()0z S 为其和，即 ()()0 1 z S z f n n =∑∞ =. 如果该复变函数项级数在D 内处处收敛，则 称该复变函数项级数在D 内收敛，由此所定 义的函数()z S 称为和函数，记作()∑∞ =1 n n z f .即 ()()∑∞ ==1 n n z f z S 二. 幂级数 定义：形如 () ()()() +-++-+-+=-∑∞ =n n n n n z z C z z C z z C C z z C 02 020100 的复变函数项级数称为幂级数，其中n C 与0z 均为复常数. 定理5 如果幂级数()∑∞ =-0 0n n n z z C 在点()011z z z ≠ 收敛，则该级数在圆域010z z z z -<-内绝对收敛. 推论 如果幂级数() ∑∞ =-10n n n z z C 在点2z 发散，则在区 域020z z z z ->-内发散. 定义：若存在圆R z z <-0，使得幂级数 () ∑∞ =-1 0n n n z z C 在此圆内绝对收敛，在此圆外发散， 则称该圆为幂级数的收敛圆，称该圆的半径R 为幂级数的收敛半径. 结论：对幂级数() ∑∞ =-10n n n z z C 而言，一定存在某一圆 ()+∞<<<-R R z z 00，使得该幂级数在此 圆内绝对收敛，在此圆外发散；即幂级数一 定存在收敛圆。 达朗贝尔比值判别法—— 若 λ=+∞→n n n C C 1 lim ，则幂级数()∑∞=-1 0n n n z z C 的收敛半径λ1 =R . 柯西根值判别法—— 若 λ=∞ →n n n C lim ，则幂级数() ∑∞ =-1 0n n n z z C 的收 敛半径λ1 =R .