第四章解析函数的级数表示(3)

合集下载

第四章 解析函数的幂级数表示方法

第四章  解析函数的幂级数表示方法

第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列: 复数序列就是:111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里,n z 是复数,,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。

按照|}{|n z 是有界或无界序列,我们也称}{n z 为有界或无界序列。

设0z 是一个复常数。

如果任给0ε>,可以找到一个正数N ,使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ,或者说{}n z 是收敛序列,并且收敛于0z ,记作0lim z z n n =+∞→。

如果序列{}n z 不收敛,则称{}n z 发散,或者说它是发散序列。

令0z a ib =+,其中a 和b 是实数。

由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出,0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式:,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此,有下面的注解:注1、序列{}n z 收敛(于0z )的必要与充分条件是:序列{}n a 收敛(于a )以及序列{}n b 收敛(于b )。

注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列,于是点列{}n z 收敛于0z ,或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为:任给0z 的一个邻域,相应地可以找到一个正整数N ,使得当n N >时,n z在这个邻域内。

注3、利用两个实数序列的相应的结果,我们可以证明,两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛,并且其极限是相应极限的和、差积、商。

定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑,或n z ∑,其中n z 是复数。

定义其部分和序列为:12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛,那么我们说级数n z ∑收敛;如果{}n σ的极限是σ,那么说n z ∑的和是σ,或者说n z ∑收敛于σ,记作1nn zσ+∞==∑,如果序列{}n σ发散,那么我们说级数n z ∑发散。

4.3 泰勒级数

4.3 泰勒级数
1 2i f (z)
| z | .
n 0


(1 i ) n (1 i ) n n z n!
n 0


( 2 )n nπ n sin z , | z | . n! 4
15
§4.3 泰勒级数
2 f ( z ) sin z 在 z 0 点展开为幂级数。 例 将函数 第 四 2 4 6 1 1 ( 2 z ) ( 2 z ) ( 2 z ) 章 解 sin2 z (1 cos 2 z ) [1 (1 )] 2 2 2! 4! 6! 解 ( 2 z ) 2 ( 2 z )4 ( 2 z )6 析 , | z | . 2 2! 2 4! 2 6! 函 数 的 例 将函数 f ( z ) sin z 在 z 1 点展开为幂级数。 级 数 解 sin z sin[1 ( z 1)] sin1 cos(z 1) cos1 sin(z 1) 表 2n ( z 1 ) 示 sin1 ( 1)n ( 2n)! n 0
a0 a n 1 f (z) n 1 n 1 2 ( z z0 ) ( z z0 ) ( z z0 )
C
R
z0
l D
an a n 1 , z z0
f (z) l d z 0 2π i a n 0 , n 1 ( z z0 ) 1 an 2π i f (z) 1 ( n) l ( z z0 )n1 dz n! f ( z0 ) .
n 1 1 1 ' n ( z i ) (2) 2 n 1 (1 z ) ( 1 i ) 1 z n 1

n 0

第四章、级数

第四章、级数
n=1 +∞
的复变函数项级数,简记为 ∑ f n ( z ) .
17
一、基本概念
2. 复变函数项级数收敛的定义
定义 设 ∑ f n ( z ) 为区域 G 内的复变函数项级数,
n
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 sn ( z ) = ∑ f k ( z ) 为级数 ∑ f n ( z ) 的部分和。
注意 级数在收敛圆的边界上 各点的收敛情况是不一定的。 约定 R = 0 表示级数仅在 z = 0 点收敛;
⇒ lim z n = 0 ,
n→ +∞
7
二、复数项级数
1. 基本概念
定义 设 { z n }n=1 , 2 ," 为一复数序列,
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 ∑ z n = z1 + z 2 + " 为复数项级数, 简记为 ∑ z n .
n =1
+∞
(2) 称 sn = ∑ z k = z1 + z 2 + " + z n 为级数的部分和;
⇒ | an z
n
n | = | a n z0 |⋅
z z0
n
z ≤ Mq , 其中 q = z , 0
n
+∞
n Mq | a z | ≤ ∑ | z | < | z | q < 1 , 当 即得 ∑ n 收敛。 0 时,
n
+∞
n= 0
n= 0
20
二、幂级数
2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理
定理 对于幂级数 ∑ a n z ,有
n→ +∞
第四章 解析函数的级数表示

4.3泰勒级数

4.3泰勒级数

23
n
其收敛半径为1。
注:本题也可用逐项积分法求解. 思考:如何用逐项求导法求1/(1+z)2在z=0处的 泰勒展式.
例3、 求 (1 z)
的解析分支 e ln(z1) 在z=0的泰勒展式(其中a不
是整数).
解:已给解析分支在z=0的值为1,它在z=0的一阶
导数为a,二阶导数为a(a-1),n阶导数为
f (zk ) g(zk )(k 1,2,3,...)
那么在D内,f(z)=g(z)。
定理的证明
证明:假定定理的结论不成立。即在D内,解析 函数F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。显然
F(zk ) 0(k 1,2,...)
设z0是点列{zk}在D内有极限点。由于F(z)在z0 连续,可见
证明:在U内任取一点z,以z0为心,在U内作一 个圆C,使z属于其内区域。我们有
f
(z)

1
2i
C
f

(

) z
d
,
由于当 C 时,z z0 q 1
又因为 1
z0
1 2 ... n ...(| |
n0
... n (z z0 )n ...
是它的和函数f(z)在收敛圆内的泰勒展式,即
0

f (z0 ),n

f (n) (z0 ) (n 0,1,2,...). n!
解析函数幂级数展式的唯一性定理
因此,我们有解析函数的幂级数展式的唯一性 定理:
定理 在幂级数展开式定理中,幂级数的和函数
解析函数的零点
设函数f(z)在z0的邻域U内解析,并且 f (z0 ) 0
那么称z0为f(z)的零点。设f(z)在U内的泰勒展式 是:

第四章解析函数的级数表示(Therepresentationofpower

第四章解析函数的级数表示(Therepresentationofpower
第四章 解析函数的级数表示
(The representation of power series of analytic function)
§4.1 复数项级数
§4.2 复变函数项级数
§4.3 泰勒(Taylo§4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数
f z fnz n1
二、 幂级数
形如:
的复函数项级数称为幂级数,其中 a,c0,c1,
c2 ,…, 都是复常数. 以上幂级数还可以写成如下形式
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn
n0
定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3) 在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆 K:|z-a|<|z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆) 内绝对收敛.
n1 n
n1
n
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, n1 n
(1)n 1收敛,
n1
n
故 原 级 数 仍 发 散.
定理4.3级数 收敛的必要条件是
其中zn xn yn
证明 因为级数 收敛的充分必要条件是
都收敛,再由实级数 收敛的必要条件是
定理4.4若级数 zn n 1
收敛,
则级数
z
n也收敛.
lim
n
zn
z0
.
此时也称复数列{zn }收敛于 z0 .
定理4.1设复数列n an ibn, a ib,则
lim
n
n
的充分必要条件是
证明
那末对于任意给定 0
就能找到一个正数N,
从而有
所以
lim
n
an
a.
同理
lim
n
bn

高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)

高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)

高等数学 第四册(第三版) 数学物理方法 答案(完整版)第一章 复数与复变函数(1)1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。

解:121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。

证明:1230;zz ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。

1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心,1为半径的圆上的三点。

即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

.17.证明:三角形内角和等于π。

证明:有复数的性质得:3213213arg;arg ;arg ;z z z z z z αβγ---=== 21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章 复数与复变函数(2)7.试解方程()4400z a a +=>。

4.1_复常数级数

4.1_复常数级数


n 1

n2 根据比值法判断出 n 收敛。 n 1 2
5
2i
收敛,因为


n2
n1
2i
n
n2 n n1 2

§4.1复数项级数

第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
(4)若 n 发散,但 n 收敛,
n 1

此时称
n

n 1

1 因为 2 , n1 n

1 n 均收敛。 n1 2

3
§4.1复数项级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
(2)等比级数 a bi 收敛
n n 1

当且仅当 a bi a 2 b 2 1
2 i 如 收敛 3 n1
n
1 5i 发散。 2 n 0

n
4
§4.1复数项级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
(3)若 n 收敛,则 n 必收敛,
n 1


此时称

n 1


n 1

n 1
n
绝对收敛。
n
是实常数项级数,故可使用以前
n
2 n
学过的比值法、根植法、极限法等判别。 如
n m m 1
6
§4.1复数项级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
§4.1 复数项级数
一、基本概念 二、性质
1
§4.1复数项级数 第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示
一、常数项级数
1、设复常数列 n

第4章级数

第4章级数
∞ k =1 n
(2)定理 定理: 定理 收敛,则 若 ∑ | z | 收敛 则 ∑ z 也收敛


k =1
n
k =1
n
绝对收敛的级数,本身一定是收敛的 注:绝对收敛的级数 本身一定是收敛的 绝对收敛的级数
4.判级数收敛方法 判级数收敛方法: 判级数收敛方法 1)用必要条件 或充要条件 用必要条件,或充要条件 用必要条件 或充要条件; 2)判绝对收敛 判绝对收敛. 判绝对收敛 判别下列级数的收敛性: 例:判别下列级数的收敛性 判别下列级数的收敛性
收敛半径: 三.收敛半径 收敛半径
1.定义 定义: 定义 ∞ Cn (z1 z0 )n 若存在一个正数R,使得幂级数 若存在一个正数 使得幂级数 ∑
n=1
在|Z-Z0|<R内处处收敛 而|Z-Z0|>R时处处发散 内处处收敛,而 时处处发散, 内处处收敛 时处处发散
Cn (z1 z0 )n 的收敛半径为 的收敛半径为R. 则称 ∑
内复变函数项级数. 为D内复变函数项级数 内复变函数项级数 2.前n项和 S n ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f n ( z ) 项和: 前 项和 3.级数收敛 若lim S n ( z0 ) = S ( z0 ) 存在 则称级数在 z0 处收 级数收敛:若n→∞ 存在,则称级数在 级数收敛 ∞ 就是其和,即 敛. S ( z0 )就是其和 即 ∑ f n ( z0 ) = S ( z0 ) n =1 若级数在D内处处收敛 级数的和是D内一个函数 内处处收敛,级数的和是 内一个函数, 若级数在 内处处收敛 级数的和是 内一个函数 ∞ 即 ∑ fn ( z) = S ( z)

复变函数论第4章

复变函数论第4章

n1
n
当z 2时,
原级数成为
n1
1, n
调和级数,发散.
说明:在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.
首页
上页
返回
下页
结束


例3 求幂级数 (cosin)zn的收敛半径:
n0

因为
cn
cos in

cosh n
1 (en 2
en ),
所以
lim cn1 n cn
n1 n
解 (1) 因为 lim cn1 lim ( n )3 1,
n cn
n n 1

1
lim n
n
cn
lim n n
n3
lim 1 1. n n n3
首页
上页
返回
下页
结束

所以收敛半径 R 1, 即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,


补充求:等比级数
ar n1 的敛散性。
n1
解:等比级数的部分和为:
Sn

n
ar k 1
k 1

a ar n1 r 1 r

a(1 r n ) 1 r
已利用等比数列求和公式:
Sn

a1 anq 1 q
当公比|r|<1时,lim n
Sn

lim
n
a(1 rn ) 1 r
n0
n0



f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
R min( r1, r2 )

09第四章解析函数的级数表示

09第四章解析函数的级数表示

第四章 解析函数的级数表示§1. 复数项级数 一. 复数序列的极限定义: 设{}n z 为一个复数序列,其中n n n y i x z +=, 又设000y i x z +=为一个复定值. 若,0,0>∃>∀N ε使得,N n >∀有不等式ε<-0z z n恒成立,则称复数序列{}n z 收敛于0z ,或称{}n z 以0z 为极限,记作0l i m z z n n =∞→ 或()∞→→n z z n 0.如果对于任意复数0z ,上式均不成立,则称复数序列{}n z 不收敛或发散.定理1 设000y i x z +=,n n n y i x z +=,则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=∞→∞→∞→.lim ,limlim 000y y x x z z n n n n n n 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.二. 复数项级数定义: 设{}n z 为一个复数序列,表达式 +++++n z z z z 321称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列() 2,1321=++++=n z z z z S n n有极限S S n n =∞→l i m (有限复数),则称级数是收敛的,S 称为级数的和;如果{}n S 没有极限,则称级数是发散的. 例1.当1<z 时,判断级数++++++nz z z z 321是否收敛?定理2 级数 ++++n z z z 21收敛的充分必要条件是实数项级数 ++++n x x x 21与 ++++n y y y 21都收敛.定理2说明: 可将复级数的敛散性转化为判别两 个实级数的敛散性.定理3 (级数收敛的必要条件)若级数++++n z z z 21收敛,则0lim =∞→n n z . 定理4 若级数+++++=∑∞=n n n z z z z z 3211收敛,则级数+++++=∑∞=n n nz z z z z3211一定收敛.定义: 若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛, 则称级数++++=∑∞=n n nz z z z 211绝对收敛,若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211发散,而级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛,则称级数 ++++=∑∞=n n nz z z z211条件收敛.例2.判断下列级数的敛散性:(1)∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n n i n ;(2)∑∞=1n nni ;(3)∑∞=12n nn i.§2. 复变函数项级数一. 复变函数项级数定义: 设(){}() ,,n z f n 21=为区域D 内的函数序列,称以()z f n 为一般项的复级数 ()()()()+++++z f z f z f z f n 321为区域D 内的复变函数项级数.该级数的前n 项的和()()()()()z f z f z f z f z S n n ++++= 321称为该级数在D 内的部分和. 设0z 为区域D 内的一个定点,若极限()()00lim z S z S n n =∞→存在,则称该复变函数项级数在0z 点收敛,()0z S 为其和,即()()01z S z f n n=∑∞=.如果该复变函数项级数在D 内处处收敛,则称该复变函数项级数在D 内收敛,由此所定义的函数()z S 称为和函数,记作()∑∞=1n n z f .即 ()()∑∞==1n n z f z S 二. 幂级数定义: 形如()()()()+-++-+-+=-∑∞=nn n nnz z C z z C z z C C z z C 02020100的复变函数项级数称为幂级数,其中n C 与0z 均为复常数. 定理5如果幂级数()∑∞=-00n nn z z C 在点()011z z z ≠ 收敛,则该级数在圆域010z z z z -<-内绝对收敛.推论 如果幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在点2z 发散,则在区域020z z z z ->-内发散.定义:若存在圆R z z <-0,使得幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在此圆内绝对收敛,在此圆外发散,则称该圆为幂级数的收敛圆,称该圆的半径R 为幂级数的收敛半径. 结论:对幂级数()∑∞=-10n nn z z C 而言,一定存在某一圆R z z <-0,使得该幂级数在此圆内绝对收敛,在此圆外发散.达朗贝尔比值判别法——若 λ=+∞→n n n C C 1lim ,则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .柯西根值判别法——若 λ=∞→nnn C lim ,则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .例3. 求级数∑∑∑∞=∞=∞=1210,,n nn nn nn z nzz 的收敛半径. 例4.求级数()∑∞=-11n nnz 的收敛半径.说明:达朗贝尔比值判别法与柯西根值判别法都只是充分条件,而非必要条件. 例5. 把函数z 1表示成形如()∑∞=-02n nn z c 的幂级数. 性质 (1)幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数在收敛圆内一定解析;(2)在收敛圆内,幂级数()∑∞=-00n nn z z C 可以逐项积分或求任意阶导数,所得到的幂级数在该圆内也收敛,且相应的和函数即为对幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数进行积分或求相应阶导数所得的结果.例6 求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数,并计算级数∑∞=122n n n 之值.§3. 泰勒级数定理6 (泰勒定理) 设函数()z f 在区域D 内解析,0z 为D 内的一点,设R 为0z 到D 的边界的距离,则当R z z <-0时,()z f 可展为幂级数()()∑∞=-=00n nn z z C z f 其中()() 2,1,0!10==n z f n C n n .称该幂级数为()z f 在区域D 内以0z 为心的泰勒级数.说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?);, , )( .200z d z d D z f -=αα即之间的距离一个奇点到最近等于则内有奇点在如果4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. 结论:函数在()z f 点0z 解析的充分必要条件是在0z 点()z f 可展成幂级数.根据结论,解析函数()z f 在点0z 可展成泰勒 级数,其展开法分别是直接展开法和间接展开法.直接展开法是指由泰勒展开定理计算系数间接展开法是指借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.例7.将()0==z e z f z在处展开为泰勒级数.例8. 将()0sin ==z z z f 在处展开为泰勒级数.;,0.30级数级数也可称为麦克劳林时当=z,2,1,0,)(!10)(==n z f n c n n .)( 0展开成幂级数在将函数z z f例9.将()z z f -=11在z =0的邻域展开.例10. 求函数()0112=+=z zz f 在的邻域内的泰勒 展开式.例11. 例12. 求函数()21-=z z f 在1-=z 的邻域内的泰勒展开式.例13.将函数()()211z z f -=展开为i z -的幂级数.例14.求对数函数ln (1+z )在z =0处的泰勒展开式.例15. 将函数()ze zf -=11展开为z 的幂级数.§4. 洛朗级数引例 求函数()122-+-=z zz z f 的展开式..0arctan 的幂级数展开式在求=z z定理7 设函数()z f 在环域201R z z R <-<内解析,则()z f 在此环域内一定可以展成()()∑∞-∞=-=n n n z z C z f 0, 其中()()() 2,1,02110±±=-=⎰+n d z f i C C n n ςςςπ.C 为此环域内绕0z 的任意一条简单闭曲线. 称此级数为环域内的解析函数的洛朗级数. 说明:环域201R z z R <-<内的解析函数则()z f 在此环域内一定可以展成惟一的洛朗级数. 例16. 将函数 ()()()211--=z z z f分别在圆环域(1)10<<z ;(2)21<<z ;(3)+∞<<z 2内展开为洛朗级数.例17. 将函数()2z shz z f =在+∞<<z 0内展开为洛朗级数.例18. 试求()211z z f +=以z =i 为中心的洛朗级数.。

复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结

复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结

第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.(定理)复级数收敛的充要条件:实部虚部分别收敛。

2.(定理)复级数收敛的充要条件(用定义):对任给的>0,存在正整数N(),当n>N且p为任何正整数时,注1:收敛级数通项必趋近于零;注2:收敛级数各项必有界;注3:级数省略有限个项不改变敛散性。

3.(定理)收敛4.(定理)(1)绝对收敛的复级数可任意重排,不改变收敛性,不改变和;(2)两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积(柯西积)级数,也绝对收敛于。

5.一致收敛的定义:对任给的>0以及给定的,存在正整数N=N(,z),当n>N 时,有式中6.不一致收敛的定义7.(定理柯西一致收敛准则):级数收敛的充要条件是:任给>0,存在正整数N=N(),使当n>N时,对一切,均有8.(定理’不一致收敛准则):9.(优级数准则):如果有正数列,使对一切,有|)|≤,且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。

10.优级数定义:称为的优级数。

11.(定理)级数各项在点集E上连续,且一致收敛于f(z),则和函数也在E上连续。

12.(定理积分求和符号可交换)级数的各项在曲线C上连续,且一致收敛于f(z),则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛:有界闭集上一致收敛14.(定理)在圆K:|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件:对任意正整数,只要<R,级数在闭圆上一致收敛。

15.(定理魏尔斯特拉斯定理):设(1)函数在区域D内解析;(2)在D内内闭一致收敛于函数f(z):则:(1)f(z)在D内解析;(2)(3)在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.(定理阿贝尔定理):幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K:|z-a|<|-a|(以a为圆心,圆周通过的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛。

2.(推论):幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心,圆周通过的圆周外发散。

复变函数之幂级数

复变函数之幂级数

a z3 r3
x
+∞
+∞
∑ ∑ 定理4(P76)若J = an xn 的收敛半径为= R, 令I an(z − a)n,则
n=0
n=0
(3)若R = 0, 则I 在全平面内除z = a 外处处发散.
(3)的证明用反证法.证明过程与(1)(ii) 的证明过程类似.
若R = 0,假设存在一点z4 ≠ a, 使得I在点 z4 收敛.
第四章 解析函数的级数表示
级数是研究解析函数的又一重要工具, 两种:1. 幂级数 2. 洛朗级数
4.1 幂级数
定义
设有复数列{zn
=
xn
+
i
yn , n
=
1, 2,},其中xn ,
yn

,
+∞
称 ∑ zk = z1 + z2 + z3 + + zk + 为复数项无穷级数. k =1
n
∑ (1)若{zn}部分和复数列Sn = zk = z1 + z2 + + zn , n = 1, 2,有极限 k =1

ak
=
f
(
k)( k!
a
)
,
k ≥ 0.
定理5(P 78)
2)在收敛圆内曲线C上,可以逐项积分:
2n
是否绝对收敛?
∑ ∑ ∑ +∞ (−1)n +∞ 1
解.因为
=
+∞ (−1)n
发散,故
不是绝对收敛.
n=1 n n=1 n
n=1 n
∑ 从而由定理2(P75)知
+∞ (−1)n

解析函数的级数表示PPT课件

解析函数的级数表示PPT课件

k 0
k 0
数学物理方法
性质 3
若级数 wk (z)在区域D(边界 L)上一致收敛,且各项wk (z) k 0
在区域 D 上解析,则
(1)级数和S(z) wk (z)在 D 内解析 k 0
(2)在 D 内级数可逐项求导任意多次:
S (m) (z) w(m)k (z) k 0
数学物理方法
证明:(1).设:z——边界 L 上任意一点,z ——D 中任意
若 zk 收敛而 zk 发散,则称 zk 为条件收敛级数。
k 0
k 0
k 0
数学物理方法
例1 下列级数是否收敛?是否绝对收敛?
1
i
(8i)n
(1)n i
(1) (1 ) (2)
n1 n
n
n0 n!
(3) (
n1
n
2n )

(1)
n1
1 n
发散,
n1
1 n2
收敛,
n1
1 n
数学物理方法
四、一致收敛级数的性质
性质 1
若级数 wk (z)在 D 内一致收敛于S(z),且其各项均为 D k 0
内的连续函数,则S(z)也是 D 内的连续函数。
性质 2
若级数 wk (z)在曲线 L 上一致收敛于S(z),且各项均为 L k 0
上的连续函数,则级数可沿 L 逐项积分:
L s(z)dz L wk (z)dz L wk (z)dz
实质:1.找一个收敛的正项级数 mk(收敛性比较容易判断) k 0
2.将 wk (z) 与mk 比较
(在 D 上所有点)
数学物理方法
判别法 2
已知u(z)在 D(或 L)上是个有界函数,若 wk (z)在 D(或 k 0

4 解析函数的级数表示 (2014)

4 解析函数的级数表示 (2014)

因| z | 1,所以lim | z |n1 0, lim zn1 lim | z |n1 0.
n
n 1 z n |1 z |
有lim zn1 0. n 1 z
lim
n
Sn
lim n
n
zk
k 1
1 1 z
即| z | 1时,1 z z2 ... zn ... 1 . 1 z
lim
n
xn

0和 lim n
yn

0,

立即可得 lim n
zn

0, 从而推出复数项级数
n1
zn收敛的必要条件是
lim
n
zn

0.
11 11
复变函数与积分©变Co换pyright 湖南师大 2006
湖南师范大学工学院电子系 - 课程讲义
§4.1.2 复数项级数
定理4.4
所以
lim
n
zn

z0 .
注解:利用两个实数序列的相应的结果,可以证明两个
收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛,并且其极限
是相应极限的和、差、积、商。
66
复变函数与积分©变Co换pyright 湖南师大 2006
湖南师范大学工学院电子系 - 课程讲义
§4.1.2 复数项级数
复数项无穷级数
设{zn}={xn+iyn}(n=1,2,...)为一复数序列, 表达式
湖南师范大学工学院电子系 - 课程讲义
例:判别下列级数的敛散性.
(1)
(1 i ) n1 n 2n
1+5i n
(2) n0
2

复变函数-总结

复变函数-总结
(sec z )′ = tan z sec z
18
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
f (z +∆z) − f (z) 解:这里 lim ∆z→0 ∆z ( x + ∆x) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi ∆x + 2∆yi = lim = lim ∆z → 0 ∆x + ∆yi ∆z → 0 ∆x + ∆yi
∂u ∂v ∂v ∂u = , =− ∂x ∂y ∂x ∂y
解析 ( 可导) ⇔ u , v 可微且满足C-R方程
若 推论 : u, v在( x, y )处一阶偏导数连续且满足C − R
方程,则f ( z ) = u + iv在 z = x + iy 处可导.
22
§2.2 解析函数与调和函数的关系
y
由 C − R 方程知:
u x = v y = − 2 y u y = − v x = −2 x
u( x 1 y ) =
0
( x, y )
(x,0)
x

( x, y)
∆x + 2∆yi ∆x = lim =1. 取∆z = ∆x → 0 , lim ∆z→0 ∆ +∆ x yi ∆z→0 ∆x ∆x + 2∆yi 2∆y 取∆z = i∆y → 0, lim = lim = 2. ∆z→0 ∆ +∆ x yi ∆z→0 ∆y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则
lim u(x, y) = u0 x→x0 y→y0 lim f (z) = A ⇔ . z→z0 lim x→x0 v(x, y) = v0 y→y0 运算性质:

04_解析函数的幂级数展开

04_解析函数的幂级数展开

可交换性: 绝对收敛级数经改变项的位 置后构成的级数仍绝对收敛,而且与原 级数有相同的和. 若复数项级数 p 与 q 都绝对收敛,其 和分别为S 和 ,则它们的Cauchy乘 积 p q (p q p q ) (p q p q p q ) 也是绝对收敛的,且为S 。
孤立奇点的分类
孤立奇点分类:可去奇点、极点和本性 奇点
极点与零点的关系
第六节 解析函数在无穷远点的性态
定义
若 函 数 f ( z ) 在 无 穷 远 点 z 的 某 邻 域 R | z | 内 解 析 则 称 为 f ( z )的 孤 立 奇 点 .
从 函 数 的 极 值 看 , z 是 f ( z )的 可 去 奇 点 , 极 点 或 本性奇点的充分必要条件分别是:
2内 收 敛
于 f 2 ( z ). D 1与 D 2 有 一 公 共 区 域 , 如 图 所 示 阴 影 区 域 , 且 在 这 个 公 共 区 域 重 两 级 数 相 等 , 所 以 f 2 ( z ) 为 f 1 ( z )的 解 析 延 拓 函 数 .事 实 上 , 它 们 不 过 是 同 一 解 析 函 数 域 中 的 T a ylo r 级 数 而 已 . 1 1 z 在不同
第四章 解析函数的幂级数展开


第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
复数项级数与复变项级数 幂级数 解析函数的Taylor级数展开 解析函数的Laurent级数展开 孤立奇点 解析函数在无穷远点的性态 解析延拓
第一节 复数项级数与复变项级数
复数项级数概念
设有复数列 z ( k

k
k

k
k 1

解析函数的级数展开

解析函数的级数展开
n →∞
定理 4.1.2 (比较判别法) 假设存在自然数N, 使得当 j > N 时
若(实正项)级数
∑M
j =0

| c j |≤ M j .
j
收敛, 则复级数
∑ c 也收敛.
j =0 j

1 + 2i 例 4.1.1 证明级数 ∑ j 收敛. j = 0 ( j + 1)

证明:
1 + 2i 1 + 2i 1 + 2i 1 + 2i ∑ ( j + 1) j = (1 + 2i) + 2 + 9 + 64 + L j =0
称为 f (z ) 在点 z0 处的泰勒级数. 当 z0 = 0 时称其为 f (z ) 的 马克劳林 (Maclaurin) 级数. 由高阶导数的柯西积分公式, 泰勒级数的系数可表示为 z0 点 的邻域内某一简单闭曲线 Γ 上的积分表示. f ( j ) ( z0 ) f (ς ) 1 = ∫Γ (ς − z0 ) j +1 dς j! 2πi
为 S n , 即 S n = ∑ c j . 若部分和序列 {S n }∞=1有极限S, 则称级 n 数收敛于S, 记为 S = ∑ c j . 一个级数若不收敛则称为发散.
j =1
∞ ∞ ∞
n∑ c = ∑ (a源自j =1 j j =1j
+ ib j ) = S = a + ib ⇔ ∑ a j = a, ∑ b j = b.
z → z0
lim ∑ f n ( z ) = f ( z0 ) = ∑ f n ( z0 ) = ∑ ( lim f n ( z )).
n =1 n =1 n =1 z → z0

复变函数第四章

复变函数第四章

使级数对一 切Mzn∈收E敛,有,则|f复n(z函)|≤数M项n (级n=数1,2,…fn)(,z而)在且点正集项E上
n1
绝对收敛且一致收敛.
n1
这样的正项级数
M
称为函数项级数
n
fn
(z)
的优级数.
n 1
n1
定理4.6 设级数 fn(z)的各项在点集E上连续,并
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
且一致收敛于f(z)n,则1 和函数 f (z) fn(z)也在E
上连续.
n1
定理4.7 设级数 fn(z)的各项在曲线C上连续,并 n1
且在C上一致收敛于f(z),则沿C可以逐项积分:
C f (z)dz C fn(z)dz n1
定义4.5 设函数fn(z)(n=1,2,…)定义于区域D内,若 级数(4.2)在D内任一有界闭集上一致收敛,则称此 级数在D内内闭一致收敛.
由定理4.7得 c f (z)dz c fn (z)dz 0 n1
于是,由摩勒拉定理知,f(z)在 K 内解析,即
在 z0 D 解析。由于 z0 D 的任意性,
故f(z)在区域 D 内解析。
(2)设z0的某邻域U的边界圆K也在D内,对于z K ,
n1
(z
fn(z) 一致收敛于
f(z),对于E上的每一点z,级数(4.2)均收敛于f(z),则称
f(z)为级数(4.2)的和函数,记为: f (z) fn(z) n1
定义4.4 对于级数(4.2),如果在点集E上有一个函数
f(z),使对任给的ε>0,存在正整数N=N(ε),当n>N时,对
一致切收的 敛于z∈f(Ez均),有记|作f(z:)-sn(z)|<fεn ,则zz称E 级f z数 (4.,2)在E上其一
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第四章 解析函数的级数表示§1. 复数项级数 一. 复数序列的极限定义: 设{}n z 为一个复数序列,其中n n n y i x z +=,又设000y i x z +=为一个复定值. 若 ,0,0>∃>∀N ε使得,N n >∀有不等式ε<-0z z n恒成立,则称复数序列{}n z 收敛于0z ,或称{}n z 以0z 为极限,记作0lim z z n n =∞→ 或()∞→→n z z n 0.如果对于任意复数0z ,上式均不成立,则称复数序列{}n z 不收敛或发散.定理1 设000y i x z +=,n n n y i x z +=,则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=∞→∞→∞→.lim ,limlim 000y y x x z z n n n n n n 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.二. 复数项级数定义: 设{}n z 为一个复数序列,表达式+++++n z z z z 321称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列() 2,1321=++++=n z z z z S n n有极限S S n n =∞→lim (有限复数),则称级数是收敛的,S 称为级数的和;如果{}n S 没有极限,则称级数是发散的. 例1.当1<z 时,判断级数++++++nz z z z 321是否收敛?定理2 级数 ++++n z z z 21收敛的充分必要条件是实数项级数 ++++n x x x 21与 ++++n y y y 21都收敛.定理2说明: 可将复级数的敛散性转化为判别两 个实级数的敛散性.定理3 (级数收敛的必要条件)若级数++++n z z z 21收敛,则0lim =∞→n n z . 显然,收敛级数的各项一定有界.定理4 若级数+++++=∑∞=n n n z z z z z 3211收敛,则级数+++++=∑∞=n n nz z z z z3211一定收敛.定义: 若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛, 则称级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211绝对收敛,若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211发散,而级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛,则称级数 ++++=∑∞=n n nz z z z211条件收敛.例2.判断下列级数的敛散性:(1)∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n n i n;(2)∑∞=1n nn i ;(3)∑∞=12n n n i .§2. 复变函数项级数一. 复变函数项级数定义: 设(){}() ,,n z f n 21=为区域D 内的函数序列,称以()z f n 为一般项的复级数()()()()+++++z f z f z f z f n 321为区域D 内的复变函数项级数.该级数的前n 项的和()()()()()z f z f z f z f z S n n ++++= 321称为该级数在D 内的部分和. 设0z 为区域D 内的一个定点,若极限()()00lim z S z S n n =∞→存在,则称该复变函数项级数在0z 点收敛,()0z S 为其和,即()()01z S z f n n=∑∞=.如果该复变函数项级数在D 内处处收敛,则称该复变函数项级数在D 内收敛,由此所定义的函数()z S 称为和函数,记作()∑∞=1n n z f .即 ()()∑∞==1n n z f z S二. 幂级数定义:形如()()()()+-++-+-+=-∑∞=nn n nnz z C z z C z z C C z z C 02020100的复变函数项级数称为幂级数,其中n C 与0z 均为复常数.定理5 如果幂级数()∑∞=-00n nn z z C 在点()011z z z ≠ 收敛,则该级数在圆域010z z z z -<-内绝对收敛.推论如果幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在点2z 发散,则在区域020z z z z ->-内发散.定义:若存在圆R z z <-0,使得幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在此圆内绝对收敛,在此圆外发散,则称该圆为幂级数的收敛圆,称该圆的半径R 为幂级数的收敛半径. 结论:对幂级数()∑∞=-10n nn z z C 而言,一定存在某一圆()+∞<<<-R Rz z 00,使得该幂级数在此圆内绝对收敛,在此圆外发散;即幂级数一定存在收敛圆。

达朗贝尔比值判别法——若 λ=+∞→n n n C C 1lim ,则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .柯西根值判别法——若 λ=∞→nnn C lim ,则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .例3. 求级数∑∑∑∞=∞=∞=1210,,n n n n n nn z nz z 的收敛半径. 例4.求级数∑∞=1!n nz n 的收敛半径.说明:达朗贝尔比值判别法与柯西根值判别法都只是充分条件,而非必要条件. 例5. 把函数z 1表示成形如()∑∞=-02n nn z c 的幂级数. 性质 (1)幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数在收敛圆内一定解析; (2)在收敛圆内,幂级数()∑∞=-00n nn z z C 可以逐项积分或求任意阶导数,所得到的幂级数在该圆内也收敛,且相应的和函数即为对幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数进行积分或求相应阶导数所得的结果.例6 求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数,并计算级数∑∞=122n nn之值.§3. 泰勒级数定理6 (泰勒定理) 设函数()z f 在区域D 内解析,0z 为D 内的一点,设R 为0z 到D 的边界的距离,则当R z z <-0时,()z f 可展为幂级数()()∑∞=-=00n nn z z C z f其中()() 2,1,0!10==n z f n C n n .称该幂级数为()z f 在区域D 内以0z 为心的泰勒级数.说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?) ;,, )( .200z R z R D z f -=αα即之间的距离一个奇点到最近等于则内有奇点在如果4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. 结论:函数在()z f 点0z 解析的充分必要条件是在0z 点()z f 可展成幂级数.根据结论,解析函数()z f 在点0z 可展成泰勒级数,其展开法分别是直接展开法和间接展开法. 直接展开法是指由泰勒展开定理计算系数间接展开法是指借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等)求函数的泰勒展开式.例7.将()0==z e z f z在处展开为泰勒级数.;,0.30级数级数也可称为麦克劳林时当=z,2,1,0,)(!10)(==n z f n c n n . )( 0展开成幂级数在将函数z z f例8. 将()0sin ==z z z f 在处展开为泰勒级数.例9.将()z z f -=11在z =0的邻域展开.例10. 求函数()0112=+=z zz f 在的邻域内的泰勒 展开式.例11. 例12. 求函数()21-=z z f 在1-=z的邻域内的泰勒展开式.例13.将函数()()211z z f -=展开为i z -的幂级数.例14.求对数函数ln (1+z )在z =0处的泰勒展开式.例15. 将函数()ze zf -=11展开为z 的幂级数.§4. 洛朗级数引例—双边幂级数.0arctan 的幂级数展开式在求=z z求函数()zz z f 11122-+-=的级数表示式. 定理7(洛朗定理) 设函数()z f 在环域201R z z R <-<内解析,则()z f 在此环域内一定可以展成()()∑∞-∞=-=n n n z z C z f 0, 其中()()() 2,1,02110±±=-=⎰+n d z f i C C n n ςςςπ.C 为此环域内绕0z 的任意一条简单闭曲线. 称此级数为环域内的解析函数()z f 的洛朗级数或洛朗展式.说明:环域201R z z R <-<内的解析函数()z f 在此环域内一定可以展成惟一的洛朗级数.思考:泰勒级数与洛朗级数的关系.例16. 将函数 ()()()211--=z z z f分别在圆环域(1)10<<z ;(2)21<<z ;(3)+∞<<z 2内展开为洛朗级数.例17. 将函数()2z shz z f =在+∞<<z 0内展开为洛朗级数.例18. 试求()211z z f +=以z =i 为中心的洛朗级数.。

相关文档
最新文档