第4章 解析函数的级数表示法

第四章 解析函数的级数表示法
§4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 解析函数的泰勒展开 §4.4 解析函数的罗朗展开 §4.5 孤立奇点
第一节 复数项级数
1. 复数列和复数列的极限 2. 复级数
1. 复数列和复数列的极限
定义4.1 设an(n 1,2,)为一复数列，其中 an n i n .
ak
k 1
k 1
ak
，故有
lim
n
k 1
ak
ak ,
k 1
即 ak ak .
k 1
k 1
利用不等式 an
2 n
2 n
n
n 可以得到下
面的结论 .
推论4.1 设an n in , n 1,2,.则级数 an绝对 n1
收敛的充要条件是级数 n和 n都绝对收敛 .
n1
n1
例4.1 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
n
应
的
部
分
和
数
列S
n
收
敛
于
n1
常 数S， 即
lim
n
Sn
S,
那 么 an称 为 收 敛 的 级 数. n1
数S叫 做 该 级 数 的 和 ， 记 为
an S .
n1
若
lim
n
Sn
不
存
在
，
则
称
n1
an为
发
散
的
级
数.
定理4.2 复级数 an收敛于S的充要条件是实级数 n1
n和 n分别收敛于 和，其中S i，
i 1
和 n分别收敛于 和，从而定理得证 .
定理4.3 复级数 an收敛的必要条件是 n1
lim
n
a
n
0.
证明：由上面定理， an收敛的充要条件是对应 的两个实
n1
级数 n和 n均收敛，其中 an n in (n 1,2,).
n1
n1
高等数学的结论指出： 实级数收敛的必要条件 是其通项
n1
n1
an n i n (n 1,2,).
证明：Sn a1 a2 an
(1 2 n ) i(1 2 n )
n i n ,
n
n
n
其中 n i , n i，它们分别为实级数 i，
i 1
i 1
i 1
n
i的部分和. 那么Sn收敛于S的充要条件是 n
n1
n1
不 等 式 an an 成 立.
n1
n1
证明：记 an n i n，n 1,2,，则有 an
2 n
2 n
.
n1
n1
由于 n
2 n
n2， n
2 n
n2，因此根据实级数的比
较
准则，得知 n和 n均收敛，于是 an是收敛的. 由三角
n1
n1
n1
n
n
n
不等式 ak k 1
证明：如果
lim
n
an
a，则对
0，存在正整数
N，使得当
n N时，有 an a . 从而有 n an a ，所以有
lim
n
n
.
同理有
lim
n
n
.
反之，如果
lim
n
n
，lim n
n
，对
0，存在正整数 N，
使得当n N时，有 n
2
，
n
，所以有
2
an a
n
n
，即
lim
n
an
a.
2. 复级数
设an n in (n 1,2,3,)为一复数列，表达式
an a1 a2 an
n1
称为复数域上的无穷级 数，简称复级数或级数 .
记该级数的前n项部分和为 Sn a1 a2 an , n 1,2,,
Sn 称为该级数的部分和数列.
定 义4.2
若
级
数
a
对
（1）
(3i)n ;
n1 n!
（2）
(1
1 )ei / n;
n1
n
（3）
n1
(1)n n
1 3n
i.
解：(1) (3i)n 3n ，由正项级数的比值判 别法和 (3i)n
n! n!
n1 n!
收敛，可知原级数为绝 对收敛.
(2)因为 lim(1 1 )ei / n 1 0，所以 (1 1 )ei / n发散.
的极限为零 .
于是，有limnຫໍສະໝຸດ n0,lim
n
n
0,
从而得到
lim
n
an
0.
定 义4.3 对 于 复 级 数 an ,若 an 收 敛 ， 则 称 级 数 an
n1
n1
n1
绝 对 收 敛 ； 若 an 发 散 ， 而 an收 敛 ， 则 称 级 数 an
n1
n1
n1
条 件 收 敛.
定 理4.4 如 果 级 数 an绝 对 收 敛 ， 则 an也 收 敛 ， 且
a i为一确定的复数 .如果对任意的正数 ,存在正整
数N ,使得当n N时，有
an a
成立，则称 a为复数列an当n 时的极限，记作
lim
n
a
n
a .并称复数列 an 收敛于 a .
定理4.1 复数列an收敛于a的充分必要条件是：
lim
n
n
，lim n
n
.
其中an n i n，a i .
1. 幂级数的概念
解析函数最重要的性质之一是可以展成幂级数， 而幂级数在它的收敛圆内确定了一个解析函数，所以 解析函数的幂级数表示是解析函数的一种最简单的分 析表达式.
所谓幂级数，是指形如
an ( z z0 )n a0 a1( z z0 ) an ( z z0 )n
n0
的表达式，它的一般项是幂级数an( z z0 )n ,这里 an( n 0,1,)和z0是复常数，而z为复变数.
n
n
(3)因为 (1)n收敛，
n1 n
n1
n1
n
1 收敛，所以原级数收敛 3n
，但
(1)n 为条件收敛，由推论 4.1知原级数为条件收敛 .
n1 n
• 作业 P91习题四 • 2（1）（3）（5）
第二节 幂级数
1. 幂级数的概念 2. 收敛半径和收敛圆 3. 收敛半径的求法 4. 幂级数的运算及性质
给 定z的 一 个 确 定 值z， 则 级 数 为 复 数 项 级 数
an ( z1 z0 )n a0 a1( z1 z0 ) an ( z1 z0 )n
n0
若 上 式 所 表 示 的 级 数 收敛 ， 则 称 幂 级 数 在z1处 收 敛 ， z1称 为 级 数 的 一 个 收 敛 点， 否 则 则 称 为 发 散 点.
若D z | an (z z0 )n收 敛， 则 级 数 在D上 的 和 确 定
n1
一个函数
S(z) a0 a1(z z0 ) an (z z0 )n , z D, 称S(z)为 级 数 的 和 函 数.
为讨论简便，不妨假定 z0 0,这个级数称为
anz n a0 a1z anzn .
n0
通常只要作变化 w z z0即可.
定理4.5 如果幂级数 anz n在z z1( 0)收敛，则对 n0