第一章 1.2 1.2.2 第一课时 函数的表示法

答案：A
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2．已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出．
x f(x)
1 2
2 1
3 1
x g(x)
1 3
2 2
3 1
(1)f[g(1)]＝________；
(2)若g[f(x)]＝2，则x＝________.
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解析：(1)由表知 g(1)＝3， ∴f[g(1)]＝f(3)＝1； (2)由表知 g(2)＝2，又 g[f(x)]＝2，得 f(x)＝2， 再由表知 x＝1.
解析：由于兔子中间睡了一觉，所以有一段路程不变，而 乌龟的路程始终在增加且比兔子早到终点，故选B. 答案：B
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2.函数 y＝f(x)的图象如图， f(x)的定义域 则 是 A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0) ( )
解析：由图象知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
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例：求下列函数的解析式： 1＋x 1＋x2 1 ①已知 f( x )＝ 2 ＋x，求 f(x)； x ②已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)． 1＋x 1 1 解：①法一：(换元法) 令 t＝ x ＝x＋1，得 x＝ ， t－1
1＋x 1＋x2 1 1 则 t≠1.把 x＝ 代入 f( )＝ 2 ＋ ，得 x x x t－1 1 2 1＋ t－1 1 f(t)＝ ＋ ＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. 1 2 1 t－1 t－1 ∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
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法二：(配凑法) 1＋x 1＋x2＋2x－2x 1 ∵f( x )＝ ＋x x2 1＋x 2 1＋x－x ＝( x ) － x 1＋x 2 1＋x ＝( x ) － x ＋1， ∴f(x)＝x2－x＋1. 1＋x 1 又∵ x ＝x＋1≠1， ∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
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(2)已知函数 f(x)按下表给出， 满足 f[f(x)]>f(3)的 x 的值为 ________. x f(x)
[解析]
1 2
2 3
3 1
(1)由题意可知， 一开始速度较快， 后来速度变慢，
所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离 校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为 0.
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解：①在原式中以－x 替换 x，得 af(－x)＋f(x)＝－bx，
afx＋f－x＝bx， 于是得 af－x＋fx＝－bx.
bx 消去 f(－x)，得 f(x)＝ . a－1 b 故 f(x)的解析式为 f(x)＝ x. a－1
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1 1 3 ②在原式中用x替换 x，得 f(x)－2f(x)＝x＋2， 3 1 fx－2fx＝x＋2， 于是有 fx－2f1＝3x＋2. x 1 2 消去 f(x)，得 f(x)＝－x－x－2.
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问题2：实例(2)中的表格能表示两个变量之间存在函数关 系吗？如果能，定义域是什么？值域是什么？ 提示：能．表示浓度是距离的函数．其中，定义域为 {50,100,200,300,500}，值域为{0.678,0.398,0.121,0.05,0.01}．
问题3：实例中的函数关系能否用解析式表示？
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②法一：(换元法) 令 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝(t－1)2， ∴f(t)＝(t－1)2＋2 t－12＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：(配凑法) ∵x＋2 x＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1. 又∵ x＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
8 ∴f(x)＝2x＋ 或 f(x)＝－2x－8. 3
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(2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵f(0)＝1，∴c＝1. 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x. 整理得：2ax＋(a＋b)＝2x. 由恒等式性质知上式中对应项系数相等．
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(2)列表 x y 2 1 3 2 3 4 1 2 5 2 5 „ „
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2 当 x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数 y＝x的一部分，观察 图象可知其值域为(0,1]．
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(3)列表： x y －2 －1 0 －1 0 0 1 3 2 8
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画图象， 图象是抛物线 y＝x2＋2x 在－2≤x≤2 之间的部分．
列表 不通过计算就可以直接看出与自变 它只能表示自变量取较少 法 图象 法 直观形象地表示出函数的变化情况， 只能近似地求出自变量所 有利于通过图形研究函数的某些性 对应的函数值，有时误差 质. 较大.
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函数的表示方法
[例 1] (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累
了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表 示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
1.2
第 一 章
函 数 及 其 表 示
1.2.2
第 一 课 时
函 数 的 表 示 法
1 理解教 材新知 2 突破常 考题型
知识点
题型一
题型二
函数 的表 示法
3 跨越高 分障碍 4 应用落 实体验
随堂即时演练 课时达标检测
1.2
函数及其表示
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1．2.2
函数的表示法
第一课时
函数的表示法
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函数的表示法
2a＝2， ∴ a＋b＝0，
解得 a＝1，b＝－1，
∴f(x)＝x2－x＋1.
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[多维探究] 上例为“已知函数的类型，求函数的解析式”的问题．解 决此类问题的方法是待定系数法，即引入参数设出函数的解析 式， 然后利用条件确定所设的参数的具体值， 即可求出其结果． 对于函数解析式的求解还有如下几种类型，应注意掌握． 1．已知 f(x)的解析式，求 f[g(x)]的解析式 解决此类问题的方法为“直接代入法”，直接代入法主要 解决已知 f(x)的解析式，求 f[g(x)]的解析式的问题，其解法为 用 g(x)替换 f(x)解析式中的所有自变量 x.
解析：设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，则 3f(x＋1)＝3[k(x＋1)＋b]
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2．常见函数图象的画法技巧 (1)对于一次函数的图象，描出与坐标轴的交点，连线即得； (2)对于二次函数的图象，描出与坐标轴的交点、顶点，连 线即得．
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[活学活用] 作出下列函数图象： (1)y＝1－x(x∈Z 且|x|≤2)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
解：(1)因为 x∈Z 且|x|≤2， ∴x∈{－2，－1,0,1,2}． 所以图象为一直线上的孤立点(如图(1))．
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例：已知 f(x)＝2x2＋1，求 f( x＋1)的解析式．
解：因为 f(x)＝2x2＋1， 所以 f( x＋1)＝2( x＋1)2＋1＝2x＋4 x＋3.
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2．已知 f[g(x)]的解析式，求 f(x)的解析式 解 决 此 类 问 题常 见 的方 法 有 “ 整 体代 入 法 ” 和 “ 换 元 法”．“整体代入法”是把 g(x)视为一个整体，将 f[g(x)]的解 析式转化为含 g(x)的表达式，然后直接整体代换 g(x)，即可求 出解析式，此种方法不必求出 x，可以减少运算量．“换元法” 是通过引入参数 t 进行式子的变形，从而得到 f(x)的表达式，这 是解此类型题的通法．
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1 3．已知的式子中含有 f(x)，f(x)或 f(x)，f(－x)形式的函数， 求 f(x)的解析式． 解决此类问题的方法为“方程组法”，即用－x 替换 x，或 1 用x替换 x，组成方程组进行求解．
例：①已知 af(x)＋f(－x)＝bx，其中 a≠± 1， 求 f(x)； 1 ②已知 f(x)－2f(x)＝3x＋2，求 f(x)．
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[随堂即时演练] 1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的 乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终 点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终 点…….用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，)
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(2)由表格可知 f(3)＝1，故 f[f(x)]>f(3)即为 f[f(x)]>1. ∴f(x)＝1 或 f(x)＝2， ∴x＝3 或 1.
[答案] (1)D (2)3或1
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[类题通法] 理解函数的表示法应关注三点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论 用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在 于是否满足函数的定义． (3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可 以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
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(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当 x＝0 时，y＝－3； 当 x＝3 时，y＝3；当 x＝1 时，y＝－5. 所画函数图象如图(2)．
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3.函数解析式的求法
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[典例]
(1)已知函数 f(x)是一次函数，若 f[f(x)]＝4x＋8，求
f(x)的解析式． (2)已知 f(x)是二次函数， 且满足 f(0)＝1， f(x＋1)－f(x)＝2x， 求 f(x)的解析式．
提示：不能．并不是所有的函数都有解析式．
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[导入新知]
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[化解疑难] 三种表示方法的优缺点比较
优 解析 法 点 缺 点 一是简明、全面地概括了变量间的 不够形象、直观，而且并 关系；二是可以通过用解析式求出 不是所有的函数都可以用 任意一个自变量所对应的函数值. 量的值相对应的函数值. 解析式表示． 的有限值的对应关系．
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[解] (1)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又 f[f(x)]＝4x＋8， ∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，