力矩分配法的基本概念
力矩分配法的基本概念
力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法，它不需要建立和求解基本方程，可直接得到杆端弯矩。运算简单，计算方法有一定规律，便于掌握，适合手算。
理论基础：位移法；
计算结果：杆端弯矩；
适用范围：连续梁和无侧移刚架。
一、正负号规定
在力矩分配法中，杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假定对杆端顺时针转动为正。
作用在结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正，而杆端弯矩在结点上表示时逆时针转动为正。
二、转动刚度S
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上等于使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。AB 杆A 端的转动刚度S AB与AB杆的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度如下：
三、传递系数C
杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即：
远端弯矩可表达为：M BA=C AB M AB
等截面直杆的传递系数与远端的支撑情况有关：
远端固定： C=1/2
远端铰支： C=0
远端滑动： C=-1
四、多结点无侧移结构的计算
注意：
①多结点结构的力矩分配法得到的是渐近解。
②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。
③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不出来）；但是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。
④每次要将结点不平衡力矩变号分配。
⑤结点i的不平衡力矩M i等于附加刚臂上的约束力矩，可由结点平衡求得。
例题；用力矩分配法画连续梁的M图，EI为常数。
第6章 材料力学的基本概念
第二篇 材料力学 第6章 材料力学的基本概念 教学提示：材料力学是变形体力学，为设计构件提供有关强度、刚度和稳定性计算的基本原理和方法，是材料力学所要研究的主要内容。本章主要介绍材料力学的任务，基本假设，内力与应力的概念，以及杆件变形的基本形式。 教学要求：明确材料力学的任务和基本假设，掌握应力与应变的概念，了解杆件变形的基本形式。 6.1 材料力学的任务 在生产实际中，各种机械和工程结构得到广泛应用。组成机械的零件和结构的元件，统称为构件。如机械的轴，房屋的梁、柱子等。在机械或工程结构工作时，有关构件将受到力的作用，因而会产生几何形状和尺寸的改变，称为变形。若这种变形在外力撤除后能完全消除，则称之为弹性变形；若这种变形在外力撤除后不能消除，则称之为塑性变形(或永久变形)。为了保证机械或工程结构能正常工作，则要求每一个构件都具有足够的承受载荷的能力，简称承载能力。构件的承载能力通常由以下3个方面来衡量： 构件应具备足够的强度（即抵抗破坏的能力），以保证在规定的使用条件下不致发生破坏。 构件应具备足够的刚度（即抵抗变形的能力），以保证在规定的使用条件下不产生过分的变形。 构件应具备足够的稳定性（即维持其原有平衡形式的能力），以保证在规定的使用条件下不产生失稳现象。 由上述三项构件安全工作的基本要求可以看出：如何合理的选用材料（既安全又经济）、如何恰当的确定构件的截面形状和尺寸，便成为构件设计中十分重要的问题。 材料力学的主要任务是：研究构件在外力作用下的变形、受力和破坏规律，为合理设计构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。 一般说来，强度要求是基本的，只是在某些情况下才提出刚度要求。至于稳定性问题，只是在特定受力情况下的某些构件中才会出现。 材料的强度、刚度和稳定性与材料的力学性能有关，而材料的力学性能主要由实验来测定；材料力学的理论分析结果也应由实验来检验；
预处理子空间迭代法的一些基本概念
CG 算法的预处理技术：、 为什么要对A 进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A 的特征值分布 特征值如影响收敛性：特征值分布在较小的围，从而加速CG 的收敛性 特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页） 求解特征值和特征向量的法：Davidson 法：Davidson 法是用矩阵( D - θI)- 1( A - θI) 产生子空间，这里 D 是 A 的对角元所组成的对角矩阵。θ是由 Rayleigh-Ritz 过程所得到的A 的近似特征值。 什么是子空间法： Krylov 子空间叠代法是用来求解形如Ax=b 的程，A 是一个n*n 的矩阵，当n 充分大时，直接计算变得非常困难，而Krylov 法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi 的迭代形式来求解。这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov 姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A 的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。 如取正定矩阵Mk 为： Span 是什么？:设 ,称它们的线性组合 为向量 的生成子空间，也称为由成的子空间。记为，也可以记为 什么是Jacobi 迭代法： 什么是G_S 迭代法：请见PPT 《迭代法求解线性程组》 什么是SOR 迭代法： 什么是收敛速度：称收敛速度。度，简 为迭代法的渐近收敛速)(ln )(:5定义B B R ρ-= 什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreducible matrix ）和可约矩阵（reducible matrix ）两个相对的概念。 定义1：对于 n 阶阵 A 而言，如果存在一个排列阵 P 使得 P'AP 为一个分块上三角阵，我们就称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵 A 是不可约的。 定义2：对于 n 阶阵 A=(aij) 而言，如果指标集 {1，2，...，n} 能够被划分成两个不相交的非空指标集 J 和 K ，使得对任意的 j ∈J 和任意的 k ∈K 都有 ajk=0, 则称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵 A 是不可约的。 n 阶矩阵A 是不可约的当且仅当与矩阵A 对应的有向图是强连通的。 什么是正交？：在三维向量空间中， 两个向量的积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。换句话说， 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。 什么是正交矩阵？：如果：AA'=E （E 为单位矩阵，A'表示“矩阵A 的转置矩阵”。）或A ′A=E ，则n 阶实矩阵A 称为正交矩阵， 若A 为单位正交阵，则满足以下条件: 1) AT 是正交矩阵 2)（E 为单位矩阵） 3) A 的各行是单位向量且两两正交 4) A 的各列是单位向量且两两正交 5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y ∈R 6) |A| = 1或-1 倒着写的A 和E 都是什么意思啊？：反着的E:谓词逻辑 存在量词 ? x: P(x) 意味着有至
结构力学题库第九章 力矩分配法习题解答
1、清华5-6 试用力矩分配法计算图示连续梁，并画其弯矩图和剪力图。 C 清华 V图 M (kN 解：（1）计算分配系数： 32 0.6 324 4 0.4 324 BA BA BA BC BC BC BA BC s i s s i i s i s s i i μ μ ? === +?+? ? === +?+? （2）计算固端弯矩：固端弯矩仅由非结点荷载产生，结点外力偶不引起固端弯矩，结点外力偶逆时针为正直接进行分配。 33606 67.5 1616 F AB F BA M Pl M = ?? ===? kN m （3）分配与传递，计算列如表格。 （4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。 （5）根据弯矩图作剪力图如图所示。
015 3027.60153032.63517.5 8.756 AB BA AB AB AB BA BA BA BC CB BC CB M M V V l M M V V l M M V V l ++=- =-=++=-=--=+--==-=-=5kN 5kN kN 2、利用力矩分配法计算连续梁，并画其弯矩图和剪力图。 4m 1m 2m 2m 原结构 简化结构 · 解：（1）计算分配系数：,4,34 BA BC BA BC EI i i i S i S i = ====令 430.429 0.5714343BC BA BA BC BA BC BA BC s s i i s s i i s s i i μμ= === ==++++ （2）计算固端弯矩：CD 杆段剪力和弯矩是静定的，利用截面法将外伸段从C 处切开，让剪力直接通过支承链杆传给地基，而弯矩暴露成为BC 段的外力偶矩，将在远端引起B 、C 固端弯矩。 22204101088 154102020828 F F AB BA F F BC CB Pl M M ql m M M ?=- =-=-???=-+=-+=-?=?kN m,=kN m kN m,kN m （3）分配与传递，计算列如表格。 （4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。 （5）根据弯矩图作剪力图如图所示。
力矩分配法
力矩分配法练习题 一、判断题 1-1、力矩分配法是由位移法派生出来的，所以能用位移法计算的结构也一定能用力矩分配法计算。 1-2、已知图示连续梁BC跨的弯矩图，则M AB=C BA M BA=57.85kN.m。 1－3、在图示连续梁中M BA=μBA(－70)= －40kN.m。 1-4、在图示连续梁中结点B的不平衡力矩M B=80 kN.m。 1-5、对单点结点结构，力矩分配法得到的是精确解。 1-6、图示结构可以用无剪力分配法进行计算。 1-7、交于一结点的各杆端的力矩分配系数之和等于1。 1-8、结点不平衡力矩总等于附加刚臂上的约束力矩，可通过结点的力矩平衡条件求 出。 1-9、在力矩分配法中，相邻的结点和不相邻的结点都不能同时放松。
1-10、力矩分配法不需计算结点位移,直接对杆端弯矩进行计算。 二、单项选择题 2-1、等截面直杆的弯矩传递系数C与下列什么因素有关？ A 荷载 B 远端支承 C 材料的性质 D 线刚度I 2-2、传递弯矩M AB是 A 跨中荷载产生的固端弯矩 B A端转动时产生的A端弯矩 C A端转动时产生的B端弯矩 D B端转动时产生的A端弯矩 2-3、已知图示连续梁BC跨的弯矩图，则AB杆A端的弯矩= A 51.4kN.m B －51.4kN.m C 25.7kN.m D －25.7kN.m 2-4、图示杆件A端的转动刚度SAB= A 4i B 3i C i D 0 2-5、图示杆件A端的转动刚度SAB= A 4i B 3i C i D 0 2-6、图示连续梁，欲使A端发生单位转动，需在A端施加的力矩 A M AB=4i B M AB=3i C M AB=i D 3i 静力学基础 静力学是研究物体平衡一般规律的科学。这里所研究的平衡是指物体在某一惯性参考系下处于静止状态。物体的静止状态是物体运动的特殊形式。根据牛顿定律可知，物体运动状态的变化取决于作用在物体上的力。那么在什么条件下物体可以保持平衡，是一个值得研究并有广泛应用背景的课题，这也是静力学的主要研究内容。本章包括物体的受力分析、力系的简化、刚体平衡的基本概念和基本理论。这些内容不仅是研究物体平衡条件的重要基础，也是研究动力学问题的基础知识。 一、 力学模型 在实际问题中，力学的研究对象（物体）往往是十分复杂的，因此在研究问题时，需要抓住那些带有本质性的主要因素，而略去影响不大的次要因素，引入一些理想化的模型来代替实际的物体，这个理想化的模型就是力学模型。理论力学中的力学模型有质点、质点系、刚体和刚体系。 质点：具有质量而其几何尺寸可忽略不计的物体。 质点系：由若干个质点组成的系统。 刚体：是一种特殊的质点系，该质点系中任意两点间的距离保持不变。 刚体系：由若干个刚体组成的系统。 对于同一个研究对象，由于研究问题的侧重点不同，其力学模型也会有所不同。例如：在研究太空飞行器的力学问题的过程中，当分析飞行器的运行轨道问题时，可以把飞行器用质点模型来代替；当研分析飞行器在空间轨道上的对接问题时，就必须考虑飞行器的几何尺寸和方位等因素，可以把飞行器用刚体模型来代替。当研究飞行器的姿态控制时，由于飞行器由多个部件组成，不仅要考虑它们的几何尺寸，还要考虑各部件间的相对运动，因此飞行器的力学模型就是质点系、刚体系或质点系与刚体系的组合体。 二、 基本定义 力是物体间相互的机械作用，从物体的运动状态和物体的形状上看，力对物体的作用效应可分为下面两种。 外效应：力使物体的运动状态发生改变。 内效应：力使物体的形状发生变化（变形）。 对于刚体来说，力的作用效应不涉及内效应。刚体上某个力的作用，可能使刚体的运动状态发生变化，也可能引起刚体上其它力的变化。 例如一重为W 的箱子放在粗糙的水平地面上（如图1-1a 所示），人用力水平推箱子，当推力F 为零时，箱子静止，只受重力W 和地面支撑力的作用。当推力由小逐步增大时，箱子可能还保持静止状态，但地面作用在箱子上的力就不仅 仅是支撑力，还要有摩擦力的作用（如图1-1b ）。随着推力的逐步增大，箱子的运动状态就会发生变化，箱子可能 平行移动，也可能绕A 点转动，或既有移动又有转动。 静力学就是要研究物体在若干个力作用下的平衡条件。为此，需要描述作用于物体上力的类型和有关物理量的定义等。 力系：作用在物体上若干个力组成的集合，记为。 力偶： 一种特殊的力系，该力系只有两个力构成，其中 (大小相等，方向相反)，且两个力的作用线 不重合。有时力偶也用符号表示，如图1-2所示。 BN AN F F ,Bf Af F F ,},,,{21n F F F }',{F F 'F F -=M §7-6 用位移法计算有侧移刚架 例1.求图(a)所示铰接排架的弯矩图。 解：（1）只需加一附加支杆，得基本结构如图(b)所示，有一个基本未知量Z 1。 （2）0 1111=+P R Z r （3）求系数和自由项 2211123l i l i r ==∑ ql R P 4 3 1-= （4）代入方程求未知量 i ql Z 163 1= （5）绘制弯矩图 例2.用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M 图 解：（1）此刚架具有一个独立转角Z 1和一个独立线位移Z 2。在结点C 加入一个附加刚臂和附加支杆， 便得到图(b)所示的基本结构。 （2）建立位移法方程 01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r （3）求各系数和自由项 i i i r 73411=+=， i r r 5.12112-== 16 15434122222i i i r = += 01=P R kN ql R P 60308 3 2-=--= （4）求未知量 Z 87.201=，Z 39.972= （5）绘制弯矩图 例3.用直接平衡法求刚架的弯矩图。 解：（1）图示刚架有刚结点C 的转角Z 1和结点C 、D 的水平线位移Z 2两个基本未知量。设Z 1顺时针方向转动，Z 2向右移动。 （2）求各杆杆端弯矩的表达式 3421+-=Z Z M CA 3221--=Z Z M AC 13Z M CD = 25.0Z M BD -= （3）建立位移法方程 有侧移刚架的位移法方程，有下述两种： Ⅰ.与结点转角Z 1对应的基本方程为结点C 的力矩平衡方程。 ∑=0C M ， 037021=+-?=+Z Z M M CD CA Ⅱ.与结点线位移Z 2对应的基本方程为横梁CD 的截面平衡方程。 ∑=0 x F ， 0 =+DC CA Q Q 取立柱CA 为隔离体(图(d))，∑=0A M ， 33 1 216262121-+-=--- =Z Z ql Z Z Q CA 同样，取立柱DB 为隔离体（(e))，∑=0B M ， 2212 1 65.0Z Z Q DB =--= 代入截面平衡方程得 0312 5 012133121221=-+-?=+-+-Z Z Z Z Z （4）联立方程求未知量 Z 1=0.91 Z 2=9.37 （5）求杆端弯矩绘制弯矩图 将Z 1、Z 2的值回代杆端弯矩表达式求杆端弯矩作弯矩图。 例4.计算图(a)所示结构C 点的竖向位移。 解：解法（一）——用典型方程求解 （1）确定基本未知量。变截面处C 点应作为刚结点，加刚臂及支杆得位移法基本结构如图(b) 所示。其中未知量是C 点角位移Z 1和C 点的竖向线位移Z 2。 （2）位移法典型方程 01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r （3）求各系数和自由项 i i i r 128411=+=， l i l i l i r r 66122112-=+- == 22222361224l i l i l i r =+= , 01=P R , ql R P -=2 第六章 力矩分配法 一 判 断 题 1. 传递系数C 与杆件刚度和远端的支承情况有关.( √ ) 2. 力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比,它与外因无关.( √ ) 3. 力矩分配法所得结果是否正确,仅需校核交于各结点的杆端弯矩是否平衡.( × ) 4. 力矩分配法经一个循环计算后,分配过程中的不平衡力矩(约束力矩)是传递弯矩的代数和.( √ ) 5. 用力矩分配法计算结构时,汇交与每一结点各杆端力矩分配系数总和为1,则表明力矩分配系数的计算绝对无错误.( × ) 6. 在力矩分配法中,分配与同一结点的杆端弯矩之和与结点不平衡力矩大小相等,方向相同.( × ) 7. 力矩分配法是以位移法为基础的渐进法,这种计算方法不但可以获得近似解,也可获得精确解.( √ ) 8. 在任何情况下,力矩分配法的计算结构都是近似的.( × ) 9. 力矩分配系数是杆件两端弯矩的比值.( × ) 10. 图示刚架用力矩分配法,求得杆端弯矩M CB =-16/2 ql ( × ) 题10图 题11图 题12图 11. 图示连续梁,用力矩分配法求得杆端弯矩M BC =—M/2.( × ) 12. 图示刚架可利用力矩分配法求解.( √ ) 13. 力矩分配法就是按分配系数分配结点不平衡力矩到各杆端的一种方法.(× ) 14. 在力矩分配法中,同一刚性结点处各杆端的力矩分配系数之和等于1.( √ ) 15. 转动刚度(杆端劲度)S 只与杆件线刚度和其远端的支承情况有关.( √ ) 16. 单结点结构的力矩分配法计算结果是精确的.( √ ) 17. 力矩分配法仅适用于解无线位移结构.( √ ) 18. 用力矩分配法计算图示结构时,杆端AC 的分配系数29/18=AC μ.(√ ) 第五章位移法和力矩分配法 一、判断题（“对”打√，“错”打） 1.位移法和力矩分配法只能用于求超静定结构的内力，不能用于求静定结构的内力。（） 2.用位移法求解图示结构基本未知量个数最少为 5。（） 3.对于图（a）所示结构，利用位移法求解时，采用图（b）所示的基本系是可以的。（） （a） (b) 4.图示两刚架仅在D点的约束不同，当用位移法求解时，若不计轴向变形则最少未知量数目不等，若计轴向变形则最少求知量数目相等。（） （a） (b) 5.图（a）所示结构的M图如图(b)所 示。 （） （a） (b) 6．某刚架用位移法求解时其基本系如图所示，则其MF图中各杆弯矩为0，所以有附加连杆约束力FR1F=0。 ( ) 7.图a结构用位移法计算的基本系如图b，则其2图如图c所示。（） (a) (b) (c) 8.图示连续梁在荷载作用下各结点转角的数值大小排序为 A>B>C> D. ( ) 9.图示两结构（EI均相同）中MA相 等。 （） （a） (b) 10.下列两结构中MA相 等。 （） （a） (b) 11.图示结构结点无水平位移且柱子无弯 矩。 （） 12.图示结构下列结论都是正确的： . ( ) 13.用位移法计算图示结构，取结点B的转角为未知量，则. ( ) 14.图a对称结构（各杆刚度均为EI）可以简化为图b结构（各杆刚度均为EI）计算。（） （a）(b) 15.图a对称结构可以简化为图b结构计算（各杆刚度不变）。（） （a）(b) 16.图a对称结构可以简化为图b结构计算。（） （a） (b) 17.图（a）所示对称结构，利用对称性简化可得计算简图，如图(b)所示。（） (a） (b) 18.图示结构中有c点水平位移和BE杆B点弯矩（） 力矩分配法练习题答案 第 1 题 力 矩 分 配 法 计 算 得 出 的 结 果 ： A. 一 定 是 近 似 解 ； B. 不 是 精 确 解 ； C. 是 精 确 解 ； D. 可 能 为 近 似 解 ， 也 可 能 是 精 确 解 。 （） 答案( D ) 第 2 题 在力 矩 分 配 法 中 ， 刚 结 点 处 各 杆 端 力 矩 分 配 系 数 与 该 杆 端 转 动 刚 度 （ 或 劲 度 系 数 ） 的 关 系 为 ： A. 前 者 与 后 者 的 绝 对 值 有 关 ； B. 二 者 无 关 ； C. 成 反 比 ； D. 成 正 比 。（） 答案( D ) 第 3 题 在 力 矩 分 配 法 的 计 算 中 ， 当 放 松 某 个 结 点 时 ， 其 余 结 点 所 处 状 态 为 ： A. 全 部 放 松 ； B. 必 须 全 部 锁 紧 ； C.. 相 邻 结 点 放 松 ； D 相 邻 结 点 锁 紧 。 （ ） 答案( D ) 第 4 题 用 力 矩 分 配 法 计 算 时 ， 放 松 结 点 的 顺 序 ： A. 对 计 算 和 计 算 结 果 无 影 响 ； B. 对 计 算 和 计 算 结 果 有 影 响 ； C.. 对 计 算 无 影 响 ； D . 对 计 算 有 影 响 ， 而 对 计 算 结 果 无 影 响 。（） 答案( D ) 第 5 题 图 a所 示 结 构 的 弯 矩 分 布 形 状 如 图 b 所 示 。（） ( ) b 答案( X ) 第 6 题 图示结构，各杆i= 常数，欲使A结点产生单位顺时针转角θA=1, 须在A结点施加的外力偶为数 -8i。（） A 答案( X ) 第 7 题 力 矩 分 配 法 中 的 传 递 弯 矩 等 于 ： A . 固 端 弯 矩 ； B . 分 配 弯 矩 乘 以 传 递 系 数 ； C. . 固 端 弯 矩 乘 以 传 递 系 数 ； D . 不 平 衡 力 矩 乘 以 传 递 系 数 。（） 答案( B ) 第 8 题 图 示 结 构 用 力 矩 分 配 法 计 算 时 分 配 系 数 μBC 为 1 / 8 。（） m A B C D I I I 答案( X ) 结构力学基本概念 第一章绪论 1、建筑物和工程设施中承受 ．．称为工程结构，简称为结构。 ．．．．的部分 ．．、传递荷载 ．．．．而起骨架作用 从几何角度来看，结构可分为三类，分别为：杆件结构、板壳结构、实体结构。 2、结构力学中所有的计算方法都应考虑以下三方面条件： ①力系的平衡条件或运动条件。 ②变形的几何连续条件。 ③应力与变形间的物理条件（或称为本构方程）。 3、结点分为：铰结点、刚结点。 铰结点：可以传递力，但不能传递力矩。刚结点：既可以传递力，也可以传递力矩。 4、支座按其受力特质分为：滚轴支座、铰支座、定向支座、固定支座。 5、在结构计算中，为了简化，对组成各杆件的材料一般都假设为：连续的、均匀的、各向同性的、完全 弹性或弹塑性的。 6、荷载是主动 ．．作用于结构的外力。 狭义荷载：结构的自重、加于结构的水压力和土压力。 广义荷载：温度变化、基础沉降、材料收缩。 7、根据荷载作用时间的久暂，可以分为：恒载、活载。 根据荷载作用的性质，可以分为：静力荷载、动力荷载。 第二章结构的几何构造分析 1、在几何构造分析中，不考虑这种由于材料的应变所产生的变形 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．。 2、杆件体系可分为两类： 几何不变体系------在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能改变的。 几何可变体系------在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是可以改变的。 3、自由度：一个体系自由度的个数 ．．。 ．．．．．．．的个数 ．．．可以独立改变的坐标 ．．．．．．，等于这个体系运动时 一点在平面内有两个自由度（横纵坐标）。 一个刚片在平面内有三个自由度（横纵坐标及转角）。 4、凡是自由度 ．．都是几何可变 ．．．．体系。 ．．．．．的体系 ．．．的个数大于零 5、一个支杆（链杆）相当于一个约束。可以减少一个自由度 ．．．．．．．。 一个单．铰（只连接两个刚片的铰）相当于两个约束。可以减少两个自由度 ．．．．．．．。 一个单．刚结（刚性结合）相当于三个约束，可以减少三个自由度 ．．．．．．．。 6、如果在一个体系中增加一个约束 ．．．．。 ．．．．．．．．．，则此约束称为多余约束 ．．．．．．，而体系的自由度并不因而减少 增加了约束，计算自由度会减少。因为w=s-n . 7、瞬变体系：本来是几何可变 ．．．．、经微小位移 ．．．．的体系称为瞬变体系 ．．．．。 ．．．．后又成为几何不变 8、实铰：两个刚片（地基也算一个刚片），如果用两根链杆给链接上，并且两根链杆能在其中一个刚片上 交于一点，所构成的铰就叫实铰 ．．。 瞬铰：两个刚片（地基也算一个刚片），如果用两根链杆给链接上，两根链杆在两刚片间没有交于一点， 而是在两根链杆的延长线上交于一点，从瞬时微小运动来看，这就是瞬铰 ．．了。两根链杆所起的约束作用等 效于在链杆交点处上面放了一个单铰的约束作用。通常所起作用为转动 ．．。 无穷远处的瞬铰：两个刚片（地基也算一个刚片），如果用两根平行链杆给链接上，两根链杆在两刚片 间没有交于一点，而是沿两根链杆的延长线交于无穷远处的一点，这就是无穷远处的瞬铰 ．．．．．．．了。两根链杆所 起的约束作用等效于在无穷远处的瞬铰所起的约束作用。通常所起作用为平动 ．．。 第三章 线性代数方程组数值解法（迭代法） 迭代法是解线性方程组的另一类方法，特别是适用于解大型稀疏线性方程组，如由某些偏微分方程数值解法中转化来的高阶线性代数方程组。事实上，迭代法是求解多种数值问题的基本方法。 迭代法作为一种求解数值问题的通用方法，其基本思想是针对求解问题预先设计好某种迭代格式，从而产生求解问题的近似解的迭代序列，在迭代序列收敛于精确解的情况下，按精度要求取某个迭代值作为问题解的近似值，这就是求解数值问题的迭代法。在这一章，我们的求解问题是线性方程组，下一章是非线性方程和非线性方程组，在不少其他问题中还会用到。 迭代法的内容包括下述两个主要方面： ① 针对具体问题构造具体的迭代格式。 ② 研究迭代格式(序列)的收敛性并作误差分析。 3.1 解线性方程组迭代法的基本概念和基本迭代公式 解线性代数方程组 b Ax = （3.1.1） (n n R A ?∈非奇异,0),,,(21≠=T n b b b b , T n x x x x ),,,(21 =为解向量 )的迭代法的具体做法是： 把方程组(3.1.1)变形为等价形式 )(x F x = 我们这里只研究如上式的线性的形式 f Bx x +=(其中n n R B ?∈，n R f ∈ ) 例 如 把 A 分 解为 n n R M N M A ?∈-=,则 （ b M Nx M x b x N M 11 )(--+=→=- ） 如果令 N M B 1-=， b M f 1-= 这就是前面的迭代格式 f Bx x +=。 （对应的迭代公式是： ),,2,1,0()() 1(n k f Bx x k k =+=+ 其中每一步迭代值 仅依赖于前一步的迭代值。称为单步迭代。） 如果{) (k x }当 ∞→k 时有极限*x 存在， *) (lim x x k k =∞ →则称迭代公式是收敛 的； 3.2 Jacobi 迭代法/Gauss —Seidel 迭代法 这是解线性方程组的两种基本的方法。 1. Jacobi 迭代公式 设方程组b Ax =中 n n ij R a A ?∈=)(，n i R b b ∈=且 ),,2,1(0n i a ii =≠。 从 第一章 绪论 第一节 材料力学的任务与研究对象 1、 组成机械与结构的零、构件，统称为构件。构件尺寸与形状的变化称为变形。 2、 变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失 的变形，称为塑性变形或残余变形。 3、 在一定外力作用下，构件突然发生不能保持其原有平衡形式的现象，称为失稳。 4、 保证构件正常或安全工作的基本要求：a 强度，即抵抗破坏的能力；b 刚度， 即抵抗变形的能力；c 稳定性，即保持原有平衡形式的能力。 5、 材料力学的研究对象：a 一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件， 称为杆件；b 一个方向的尺寸远小于其它两个方向尺寸的构件，成为板件，平分板件厚度的几何面，称为中面，中面为平面的板件称为板，中面为曲面的板件称为壳。 6、 研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、 刚度和稳定性分析的基本理论与方法。 第二节 材料力学的基本假设 1、 连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、 均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、 各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。 第三节 内力与外力 1、 外力：⑴按作用方式分①表面力②体积力⑵按作 用时间分①动载荷②静载荷 2、 内力：构件内部相连个部分之间有力的作用。 3、 内力的求法：截面法 4、 内力的分类：轴力N F ；剪力S F ；扭矩X M ；弯 矩Y M ，Z M 5、 截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开， 得到分离体②对分离体建立平衡方程，求得内力 第四节 应力 1、 K 点的应力：0lim A F p A ?→?=?；正应力： N 0lim A F A σ?→?=?；切应力：S 0lim A F A τ?→?=?；p =2、 切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。 第五节 应变 1、 正应变：0lim ab ab ab ε→?=。正应变是无量纲量，在 同一点不同方向正应变一般不同。 2、 切应变：tan γγ≈。切应变为无量纲量，切应变 单位为rad 。 第六节 胡克定律 1、 E σε=，E 为（杨氏）弹性模量 第六章力矩分配法 一判断题 1. 传递系数C与杆件刚度和远端的支承情况有关.( √) 2. 力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比,它与外因无关.( √) 3. 力矩分配法所得结果是否正确,仅需校核交于各结点的杆端弯矩是否平衡.( ×) 4. 力矩分配法经一个循环计算后,分配过程中的不平衡力矩(约束力矩)是传递弯矩的代数 和.( √) 5. 用力矩分配法计算结构时,汇交与每一结点各杆端力矩分配系数总和为1,则表明力矩分 配系数的计算绝对无错误.( ×) 6. 在力矩分配法中,分配与同一结点的杆端弯矩之和与结点不平衡力矩大小相等,方向相 同.( ×) 7. 力矩分配法是以位移法为基础的渐进法,这种计算方法不但可以获得近似解,也可获得精 确解.( √) 8. 在任何情况下,力矩分配法的计算结构都是近似的.( ×) 9. 力矩分配系数是杆件两端弯矩的比值.( ×) 10. 图示刚架用力矩分配法,求得杆端弯矩M CB=-16/2ql( ×) 题10图题11图题12图 11. 图示连续梁,用力矩分配法求得杆端弯矩M BC=—M/2.( ×) 12. 图示刚架可利用力矩分配法求解.( √) 13. 力矩分配法就是按分配系数分配结点不平衡力矩到各杆端的一种方法.(× ) 14. 在力矩分配法中,同一刚性结点处各杆端的力矩分配系数之和等于1.( √ ) 15. 转动刚度(杆端劲度)S 只与杆件线刚度和其远端的支承情况有关.( √ ) 16. 单结点结构的力矩分配法计算结果是精确的.( √ ) 17. 力矩分配法仅适用于解无线位移结构.( √ ) 18. 用力矩分配法计算图示结构时,杆端AC 的分配系数 29/18=AC μ.(√ ) 题18图 题19图 题21图 19. 图示杆AB 与CD 的EI,l 相等,但A 端的劲度系数(转动刚度)S AB 大于C 端的劲度系数(转 动刚度) S CD .( √ ) 20. 力矩分配法计算荷载作用问题时,结点最初的不平衡力矩(约束力矩)仅是交于结点各杆 端固端弯矩的代数和.( × ) 21. 若使图示刚架结点A 处三杆具有相同的力矩分配系数,应使三杆A 端的劲度系数(转动刚 度)之比为:1:1:1.( √ ) 22. 有结点线位移的结构,一律不能用力矩分配法进行力分析.( × ) 23. 计算有侧移刚架时,在一定条件下也可采用力矩分配法.( √ ) 24. 有结点线位移的结构,一律不能用力矩分配法进行力分析.( × ) 二 选 择 题 1. 图示结构汇交于A 的各杆件抗弯劲度系数之和为 ∑A S ,则AB 杆A 端的分配系数为: ( B ) A.∑=S A AB AB i /4μ B. ∑=S A AB AB i /3μ C. ∑=S A AB AB i /2μ 力矩分配法的基本概念 力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法，它不需要建立和求解基本方程，可直接得到杆端弯矩。运算简单，计算方法有一定规律，便于掌握，适合手算。 理论基础：位移法； 计算结果：杆端弯矩； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。 一、正负号规定 在力矩分配法中，杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相同，即都假定对杆端顺时针转动为正。 作用在结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正，而杆端弯矩在结点上表示时逆时针转动为正。 二、转动刚度S 转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上等于使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。AB 杆A 端的转动刚度S AB与AB杆的线刚度i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度如下： 三、传递系数C 杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。即： 远端弯矩可表达为：M BA=C AB M AB 等截面直杆的传递系数与远端的支撑情况有关： 远端固定： C=1/2 远端铰支： C=0 远端滑动： C=-1 四、多结点无侧移结构的计算 注意： ①多结点结构的力矩分配法得到的是渐近解。 ②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。 ③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不出来）；但是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。 ④每次要将结点不平衡力矩变号分配。 ⑤结点i的不平衡力矩M i等于附加刚臂上的约束力矩，可由结点平衡求得。 例题；用力矩分配法画连续梁的M图，EI为常数。 第六章 力矩分配法 一 判 断 题 1. 传递系数C 与杆件刚度和远端的支承情况有关.( √ ) 2. 力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比,它与外因无关.( √ ) 3. 力矩分配法所得结果是否正确,仅需校核交于各结点的杆端弯矩是否平衡.( × ) 4. 力矩分配法经一个循环计算后,分配过程中的不平衡力矩(约束力矩)是传递弯矩的代数和.( √ ) 5. 用力矩分配法计算结构时,汇交与每一结点各杆端力矩分配系数总和为1,则表明力矩分配系数的计算绝对无错误.( × ) 6. 在力矩分配法中,分配与同一结点的杆端弯矩之和与结点不平衡力矩大小相等,方向相同.( × ) 7. 力矩分配法是以位移法为基础的渐进法,这种计算方法不但可以获得近似解,也可获得精确解.( √ ) 8. 在任何情况下,力矩分配法的计算结构都是近似的.( × ) 9. 力矩分配系数是杆件两端弯矩的比值.( × ) 10. 图示刚架用力矩分配法,求得杆端弯矩M CB =-16/2 ql ( × ) 题10图 题11图 题12图 11. 图示连续梁,用力矩分配法求得杆端弯矩M BC =—M/2.( × ) 12. 图示刚架可利用力矩分配法求解.( √ ) 13. 力矩分配法就是按分配系数分配结点不平衡力矩到各杆端的一种方法.(× ) 14. 在力矩分配法中,同一刚性结点处各杆端的力矩分配系数之和等于1.( √ ) 15. 转动刚度(杆端劲度)S 只与杆件线刚度和其远端的支承情况有关.( √ ) 16. 单结点结构的力矩分配法计算结果是精确的.( √ ) 17. 力矩分配法仅适用于解无线位移结构.( √ ) 18. 用力矩分配法计算图示结构时,杆端AC 的分配系数 29/18=AC μ.(√ ) 1、清华 5-6 试用力矩分配法计算图示连续梁，并画其弯矩图和剪力图。 kN kN A 20 · A 55 · B i C B C 清华 2i 题9-1b EI EI 题5-6 35 M 图 15 M 图 (kN · m) (kN · m) 5 90 17.5 27.5 8.75 V 图 V 图 32.5 分配系数 0.6 0.4 分配系数 0.5 0.5 固端弯矩 0 (20) 0 固端弯矩 0 (55) 0 67.5 0 45 0 分与传 0 -52.5 -35 -17.5 分与传 0 -50 -50 0 最后弯矩 15 -35 -17.5 最后弯矩 -5 -50 解：（ 1）计算分配系数： s BA 3 2i 0.6 BA s BC 3 2i 4 s BA i s BC 4 i 0.4 BC s BC 3 2i 4 s BA i （ 2）计算固端弯矩： 固端弯矩仅由非结点荷载产生，结点外力偶不引起固端弯矩，结点外力偶逆时针为正直接进行分配。 M AB F 0 M BA F 3Pl 3 60 6 67.5kN m 16 16 （ 3）分配与传递，计算列如表格。 （ 4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。 （ 5）根据弯矩图作剪力图如图所示。 V AB M AB M BA 30 0 15 5kN V AB l 6 27. V BA 0 M AB M BA 30 0 15 5kN V BA l 6 32. V BC V CB M BC M CB 35 17.5 kN l 6 8.75 2、利用力矩分配法计算连续梁，并画其弯矩图和剪力图。 kN kN/m 20kN M 图 15.71 30 20 (kN · m) 7.14 A EI B EI C D 20 2m 2m 4m 1m 题9-1b 原结构 28.93 kN · m 20 N V 图 7.86 kN/m 20k kN A (kN) EI B EI C D 12.14 31.07 kN kN/m A 20kN ·m EI B EI C 分配系数 0.571 0.429 简化结构 固端弯矩 -10 10 -30+10 20 -20 分与传 2.86 5.71 4.29 0 0 最后弯矩 -7.14 15.71 -15.71 20 -20 解：（ 1）计算分配系数： 令 EI , 4 , 3 i BA i i BC S BA i S BC i 4 BA s BA 4i 0.429 BC s BC 3i 0.571 s BA s BC 4i 3i s BA s BC 4i 3i （ 2）计算固端弯矩： CD 杆段剪力和弯矩是静定的，利用截面法将外伸段从 C 处切开，让剪力直接通过 支承链杆传给地基，而弯矩暴露成为 BC 段的外力偶矩，将在远端引起 B 、C 固端弯矩。 F Pl 20 4 kN m, F = 10kN m M AB 8 8 10 M BA M BC F ql 2 m 15 42 10 20kN m,M CB F 20kN m 8 2 8 （ 3）分配与传递，计算列如表格。 （ 4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。 （ 5）根据弯矩图作剪力图如图所示。 力矩分配法计算三跨连续梁1、基本概念和计算要求 在学习力矩分配法时,要注意下列问题： 1）力矩分配法是一种渐近的计算方法，不须解方程即可直接求出杆端弯矩，可以分析连续梁和结点无侧移刚架的内力。 2）力矩分配法是在位移法基础上派生出来的，其杆端弯矩、结点力矩的正负号规定和位移法完全一致。 3）力矩分配法的三大要素：转动刚度、分配系数、传递系数。其中转动刚度在位移法中已经涉及，只是概念稍为变化，传递系数较易理 解和记忆。主要是分配系数，要求熟练掌握其计算方法和特征。 2、基本计算方法 在应用力矩分配法计算具有多个分配结点的连续梁时，其基本原理是在加刚臂和放松刚臂的过程中，完成杆端弯矩的计算。其基本思路为：1）用刚臂约束所有的刚性结点，控制其转角。计算固端弯矩和约束力矩。 2）每次轮流放松一个结点，其它所有结点仍需加刚臂约束。在所放松的结点处进行力矩的分配和传递。 3）将各杆端的固端弯矩分别与各次的分配力矩和传递力矩相叠加（求代数和）即得该杆端的最后弯矩。最后杆端弯矩在每个结点处都应该平衡。 4）根据杆端弯矩和荷载利用叠加法画弯矩图。 3、计算步骤和常用方法 考试要求为应用力矩分配法计算具有两个结点的三跨连续梁，并画出其弯矩图。计算时要注意： 1）计算汇交于同一结点各杆杆端的分配系数后，先利用分配系数之和应等于1的条件进行校核，然后再进行下一步的计算。 2）特别应注意列表进行力矩分配、传递及最后杆端弯矩的计算方法。 3）分配时，要从约束力矩大的结点开始分配，可达到收敛快的效果。 4）应特别注意一定要将约束力矩先变号再进行分配。 5）求约束力矩时，应注意将其他结点传递过来的力矩计算在内。 6）当分配力矩达到所需精度时，即可停止计算（通常可以把精度控制在范围内）。应注意停止计算时只分配不再传递，以免引起邻近结 点出现不平衡力矩。 7）画内力图时，宜利用最后杆端弯矩在每个结点处都应该平衡的条件进行校核。 4、举例 试用力矩分配法作图（a）所示连续梁的弯矩图。 [解]（1）计算固端弯矩 将两个刚结点B、C均固定起来，则连续梁被分隔成三个单跨超静定梁。因此，可由表查得各杆的固端弯矩 其余各固端弯矩均为零。 将各固端弯矩填入图（b）所示的相应位置。由图可清楚看出，结点B、C的约束力矩分别为 （2）计算分配系数 2 迭代法 2.1 迭代法的一般概念 迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。首先取一个精糙的近似值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止。 对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性天收敛速度以及误差估计。这里，主要看看解方程迭代式的构造。 对方程(1.1)，在区间],[b a 内，可改写成为： )(x x ?= (2.1) 取],[0b a x ∈，用递推公式： ) (1k k x x ?=+, Λ,2,1,0=k (2.2) 可得到序列： ∞ ==0210}{,,,,k k k x x x x x ΛΛ (2.3) 当∞→k 时，序列∞=0}{k k x 有极限x ~， 且)(x ?在x ~附近连续，则在式(2.2)两边极限，得， )~(~x x ?= 即，x ~为方程(2.1)的根。由于方式(1.1)和方程(2.1)等价，所以， x x ~ *= 即， *lim x x k k =∞ → 式(2.2)称为迭代式，也称为迭代公式；)(x ?可称为迭代函数。称求得的序列∞ =0 }{k k x 为迭代序列。 2.2 程序和实例 下面是基于MATLAB 的迭代法程序，用迭代格式)(1n n x g p =+，求解方程)(x g x =，其中初始值为0p 。 ************************************************************************** function[p,k,err,P]=fixpt(f1021,p0,tol,max1) % f1021是给定的迭代函数。 % p0是给定的初始值。 % tol 是给定的误差界。 % max1是所允许的最大迭代次数。 % k 是所进行的迭代次数加1。 % p 是不动点的近似值。 % err 是误差。 % P = {p1,p2,…,pn} P(1) = p0; for k = 2:max1 P(k) = feval('f1021', P(k-1)); k, err = abs(P(k) - P(k-1)) p = P(k); if(err理论力学基本概念
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