阿波罗尼斯圆专题汇编(史上最全原创)

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阿波罗尼斯圆性质及其应用

背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一

(人教A 版124页B 组第3题)已知点M 与两个定点O(0,0),A(3,0)点距离的比为1

2,求点M 的轨迹方程。

(人教A 版144页B 组第2题)已知点M 与两个定点M 1,M 2距离的比是一个正数m,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形(考虑m=1和m ≠1两种情形)。

公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下著名结果:到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆.(定值为1时是直线,定值不是1时为圆)

定义:一般的平面内到两顶点A ,B 距离之比为常数λ(λ≠1)的点的轨迹为圆,此圆称为阿波罗尼斯圆

类型一:求轨迹方程

1.已知点M 与两个定点()0,0O ,()0,3A 的距离的比为2

1

,求点M 的轨迹方程

2.已知()02>=a a AB ,()0≥=λλMB

MA ,试分析M 点的轨迹

3.(2006年高考四川卷第6题)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形面积等于()

A.π B. 4π C.8π D.9π

类型二:求三角形面积的最值

4.(2008江苏卷)满足条件AB = 2,AC =2BC的∆ABC的面积的最大值是

5.(2011浙江温州高三模拟)在等腰△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,BD=3,则△ABC面积的最大值为

6.在△ABC中,AC=2,AB=mBC(m>1),恰好当B=π

时△ABC面积的最大,m=

3

类型三:定点定值问题

7. 已知圆O:x2+y2=9,点B(-5,0),在直线OB上存在定点A(不同于点B),满足对于圆O上任意一点P,都有PA

为一常数,试求所有满足条件的点A的坐

PB

标,并求PA

PB

8.(2014湖北文科卷17题)已知圆O:x2+y2=1,点A(-2.0),若定点

B(b,0)(b≠−2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=

λ|MA|,则b = ,λ=

类型四:阿波罗尼斯圆的性质

9. 已知圆C:(x−1)2+(y−1)2=1,定点O(0,0),B(2,0),其中P为圆C上的动点,则√2PO+PB的最小值为

10.已知函数f (α)=2√(cosα+12)2+sin 2α−√cos 2α+(sinα−1

2)2,若集合{α∈R |f (α)>m }≠∅,则实数m 的取值范围为

类型五:阿波罗尼斯圆的应用

阿波罗尼斯圆与向量(阿氏圆+等和线)

11.已知BC =6,AC =2AB ,点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x x+y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y

2(x+y)AC

⃗⃗⃗⃗⃗ ,设f (x,y )=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,若f (x,y )≥f(x 0,y 0)恒成立,则f(x 0,y 0)的最大值为

12.(2018.1湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷17题).设点P 是

ABC ∆所在平面内动点,满足CP CA CB λμ=+,3+42λμ=(,R λμ∈),==PA PB PC .若3AB =,则ABC ∆的面积最大值是 .

阿波罗尼斯圆与三角形

13.(2018.5月宁波模拟16题)已知向量a ,b 满足|b |=3,|a |=2|b −a |,若|a +λb |≥3恒成立,则实数λ的取值范围为

14.(2018.4月杭州市第二次高考科目教学质量检测17题)在△ABC 中,∀λ∈R ,|BA

⃗⃗⃗⃗⃗ −λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立,求c b +b c 的最大值

15.在ABC ∆中,AD 、BE 分别为中线,若b a 35=,则BE

AD

的取值范围 .

阿波罗尼斯圆与几何体

16.(2014二模(理))在等腰梯形ABCD 中,E 、F 分别为底边CD AB ,的中点,把四边形AEFD 沿直线EF 折起后所在平面记为α,α∈P ,设PC PB ,与α所成的角分别为1θ,2θ(1θ,2θ均不为0),21θθ=,则点P 的轨迹为 . A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线

17.在四面体ABCD 中,已知BC AD ⊥,6=AD ,2=BC ,且

2==CD

AC

BD AB ,则BCD A V -的最大值为 .

18.(2018.5月浙江高三五校联考17题)棱长为36的正四面体ABCD 的内切球上有一个动点M ,则MB+1

3MC 的最小值 练习:

1. 已知向量3==3≥恒成立,则实数λ的取值范围为 .

2. (2015湖北理科卷14题)如图,圆C 与x 轴相切与点()0,1T ,与y 轴正半轴交于两点B A ,(B 在A 的上方),2=AB (1)圆C 的标准方程为 . 过点A 任作一条直线与圆1:22=+y x O 相较于N M ,两点,下列三个结论: (2) ①

MB MA NB NA =;②2=-MB MA NA NB ;③22=+MB

MA

NA NB 其中正确结论的序号是 。(写出所有正确结论的序号)

3. BC S '∆为等腰直角三角形, 90='∠CB S ,26='S B ,A 为S B '中点,将BC S '∆沿AC 翻折到SBC ∆位置,且B AC S --为直二面角,P 为空间中一个动点. (1)若SBC P 面∈,且

2=PC

PB

,求PBC ∆面积的最大值; (2)P 在三棱锥ABC S -表面上,E 为BC 中点,M 、N 为线段SE 两个三等分点,H 、G 为空间中的两个动点,2==GN

GM

HN HM ,且334=HG ,求PH PG ⋅的

最小值。

B

A C

N

E

A B

C

S ' S M

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