3-4.函数概念及三要素(学案)

( ) 这个答案不对，视频中是按照上面那个答案给的，但是第三行有问题，应该是
y
=
ìïïí146t,+0
£ 5
t t
£4 -4
,4
<
t
£
6
ï ïî26
+
7(t
-
6)
,t
>
6
（3）根据题意，16 5t 4 24 ，解得 t 5.6 .所以，要使 1 月份缴纳的水费不超过 24 元，该用户最多可以
【解析】（1）由已知， t 5.2 时，水费为 4 4 5.2 4 n 22 ，解得 n 5；
当 t 8 时，水费为 4 4 25 8 6 7 40 ;
4t, 0 t 4
（2）由题意，水费
y
（元）与用水量
t
（吨）之间的函数关系为
y
16
5t
4
,
4
t
6
;
26 t 6,t 6
B.（-3，-7）
C.（-6，-4）
D.（- 3 , 7 ） 22
答案：B
x
解析：
x
2 2
y y
5, 2,
x
y
3, 7.
x 2. 函数 y x 的图像是图中的（ ）
x
【解析】C.
当 x 0 时， y x x x 1；当 x 0 时， y x x x 1 ，满足要求的只有 C 选项中的函数图象，故选
（2）二次Βιβλιοθήκη Baidu数 y ax2 bx c
(a≠0)的定义域是
R，当
a>0
时，值域
B
y
y
4ac 4a
b2
；当
a﹤0
时，
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值域
B
y
y
4ac 4a
b
2
。
（3）反比例函数 y k (k 0) 的定义域是x x 0 ，值域是y y 0 。
x
3. 函数的三要素：定义域、值域和对应法则 4. 函数的表示方法（初中学过） ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
移动的路程为 x，ΔPAC 的面积为 y．
（1）求函数 y 的解析式；
（2）画出函数 y 的图像；
（3）求函数 y 的取值范围．
【解析】（1）根据 P 点所在的不同位置进行分段
①当点 P 在线段 AB 上移动，即 0 x 2 时， y 1 AP BC x ； 2
②当点 P 在线段 BC 上移动，即 2 x 4 时， y 1 PC AB 1 4 x 2 4 x ；
x12
x22
x1
x2
2
2x1x2
10
，根据对称轴表达式和韦达定理可得
b 2a
b a
2
2
2
3 a
10
，解得
a b
1
，
4
所以 f x x2 4x 3 .
例 5：求下列函数的定义域：
（1） f (x) 4 x 2 x 1
（2） f (x) x2 3
例 6：求下列函数的值域
（1）y=3x+2(-1 x 1)（答案：[-1，5]）
X
…
30
40
45
50
…
y
…
60
30
15
0
…
⑶图象法：把一个函数定义域内的每个自变量 x 的值和它对应的函数值 f x 构成的有序实数对 x, f x 作为 点的坐标，所有这些点的集合就称为函数 y f x 的函数图像，即 F p(x, y) y f (x), x A ，这种用图
（2）g x 2 2x 3 ，那么设 t x 2 ，那么 x t 2 ，则 g t 2t 2 3 2t1 ，所以 g x 2x 1.
【课后作业】
1.设（x、y）在映射 f 下的象是（ x y , x y ）,则(-5,2)在 f 的原象是（ ） 22
A.（-10，4）
例如，s=60t2，A= r2，S=2rl ,y=ax2+bx+c(a 0),y= x 2 (x 2)
⑵列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法
例如：某商场经营一批进价为 30 元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价 x 元与销售量 y 件之间有
如下表所示的关系：
意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x) 和它对应，那么称 f: A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数
（function），记作： y f (x), x A ，其中，x 叫自变量，x 的取值范围 A 叫作定义域（domain），与 x 的值对
应的 y 值叫函数值，函数值的集合{ f (x) | x A} 叫值域（range）。显然，值域是集合 B 的子集。 （1）一次函数 y=ax+b (a≠0)的定义域是 R，值域也是 R；
答案：⑴是；⑵不是，因为 A 中元素 0 没有倒数；⑶不是，因不满足唯一性，若对应法则改为“求平方”，则是； ⑷是. 例 2：设集合 A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从 A 到 B 的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。 答案：8 个
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例 3：集合 A=N，B={m|m= 2n 1 ,n∈N},f:x→y= 2x 1 ，x∈A，y∈B.请计算在 f 作用下，象 9/11，11/13 的原
3-4．【必修一预习】函数概念及三要素
【知识要点归纳】 一、 映射的概念及性质
引入：电影座位，数对与点的坐标，名字与人等，一种特殊的对应：映射
开平方
3
9
3
2
4
2
1
1
1
求正弦
1
30
2
45
2
60
2
3
90
2
1
求平方
1
1
1
2
2
4
3
3
9
乘以 2
1
1
2
2
3
4
3
5
6
（1）
（2）
（3）
分析以上三个实例，说明对应法则，对应形式分别是什么
二．函数的概念及表示方法 1.初中定义：设在某变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定了一个 x 值，相应地确定唯一的一个 y 值，那么 就称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。 2. 用映射刻划的函数定义：设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任
（2）设二次函数 f x 满足 f x 2 f 2 x 且 f x 0 的两实根平方和为10 ，图象过点 0,3 ，求 f x
的解析式.
【解析】（1）设 f x ax b （ a 0 ），则可得：
3 f x 1 2 f x 1 3 a x 1 b 2 a x 1 b ax 5a b 2x 17 ，根据对应项系数相等的
(D) B 中两个不同元素的原象可能相同
答案：A
2.已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x，则 f(x)=
；
答案：设 f(x)=ax2+bx+c(a 0)，∵f(0)=1,∴c=1，又 f(x+1)-f(x)=2x，∴a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-ba-1=2x，即
2
2
③当点 P 在线段 CD 上移动，即 4 x 6 时， y 1 PC AD 1 x 4 2 x 4 ；
2
2
④当点 P 在线段 DA 上移动，即 6 x 8 时， y 1 AP CD 1 8 x 2 8 x
2
2
x, x 0, 2
可得函数解析式为
y
4 x
x, 4,
x
x
C.
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3.下列四个图形中，不可能表示函数 y f (x) 的图象的是（ ）
【解析】D. 对于选项 A、B 和 C 中的图象，每一个自变量均有唯一的函数值与之对应，符合函数的要求，但是 D 选项中，存 在自变量对应两个数值，不符合函数定义的要求，故选 D.
2ax+a+b=2x，比较系数得 2a=2 且 a+b=0，∴a=1，b=-1，∴f(x)=x2-x+1.
3.将长为 a 的铁丝折成矩形，面积 y 关于边长 x 的函数关系是 ，其定义域是
；
答案：设矩形的长为 x，则宽为(a-2x)/2，∴y=x[(a-2x)/2]=ax/2-x2,定义域是(0,a/2).
原则，得到方程组
a 2 5a b
17
，解之可得
a b
2
，所以
7
f
x
2x
7
.
（2）设 f x 的解析式是 f x ax2 bx c（ a 0 ），因为图象过点 0,3 ，所以有 f 0 c 3，故 c 3；
又 因 为 f x 满 足 f x 2 f 2 x 且 f x 0 的 两 实 根 平 方 和 为 10 ， 可 得 对 称 轴 x 2 且
（4）
1. 映射 （1）定义：一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个 元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f : A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 记作： f : A B 。其中与 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象，a 叫做 b 的原象.
4.下列四组中的 f (x), g(x), 表示同一个函数的是
（A） f (x) 1, g(x) x0
(B) f (x) x 1, g(x) x2 1 x
(C) f (x) x2 , g(x) ( x)4 (D) f (x) x3 , g(x) 3 x9
答案：D 5. 某市居民生活用水按阶梯价收费，标准如下：
用 5.6 吨水．
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【能力提高】
1. 用 mina,b, c 表示 a,b, c 三个数中的最小值设 f x min x2, x 2,10 x ( x 0 ),则 f x 的最大值
为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】C.
绘制函数图像如右图所示，可知，函数的最大值
在 y x 2 和 y 10 x 的交点处取到，计算可知，
x x
2, 4,
4 6
8 x, x 6,8
（2）函数图象如右图所示：
（3）根据函数图像可知，函数的值域为0, 2
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【课堂练习】
1、从集合 A 到 B 的映射中，下列说法正确的是
(A) B 中某一元素 b 的原象可能不只一个 (B) A 中某一元素 a 的象可能不只一个
(C) A 中两个不同元素的象必不相同
形表示的方法叫做图像法。
三．函数的解析式
四．函数的定义域
1.定义：是指在一个函数关系中，能使函数有意义(包括
和
)的所有自变量的集合
2.求函数定义域时，需要关注的限制条件是
、
、
、
3. 定义域是函数的灵魂,在解决
函数问题时都要考虑函数的定义域,要形成"
"的函数观念.
五．函数的值域 1. 定义：y 的取值范围叫做这个函数的值域
2n 1
2x 1
象分别是多少.
分析：求象 9/11 的原象只需解方程（2x-1）/（2x+1）=9/11 求出 x 即可.同理可求 11/13 的原象.
答案：象 9/11，11/13 的原象分别是 5，6.
例 4：（1）已知 f x 是一次函数，且满足 3 f x 1 2 f x 1 2x 17 ，求 f x ；
两函数的交点是 x 4 ，此时的函数值为 y 6 ，故选 C.
2. （1）若 f x 1 x2 2x 5 ，则 f x
.
（2）若 f x 2x 3， g x 2 f x ，则 g x
.
【解析】（1）设 t x 1，那么 x t 1，则 f t t 12 2 t 1 5 t 2 4t 8 ，所以 f x x2 4x 8
（2） f (x) 5x 3 ， x 1,3（答案： [9 ,4] ）
3x 1
4
（3）求函数 y x2 4x 10 的值域
（4） y 2x 4 1 x 的值域（答案：y≤4，换元法）
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例 7：在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点 P，从点 A 出发沿折线 ABCD 移动一周后，回到 A 点．设点 A
【经典例题】 例 1：已知下列集合 A 到 B 的对应，请判断哪些是 A 到 B 的映射？并说明理由：
⑴ A=N，B=Z，对应法则：“取相反数”； ⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”； ⑶A={1，2，3，4，5}，B=R，对应法则：“求平方根”；
⑷A={ |00 900}，B={x|0 x 1}，对应法则：“取正弦”.
（2）形式：一对一、多对一（没有一对多）
⒉映射的性质 ⑴任意性：映射中的两个集合 A，B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等； ⑵有序性：映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射； ⑶存在性：映射中集合 A 的每一个元素在集合 B 中都有它的象； ⑷唯一性：映射中集合 A 的任一元素在集合 B 中的象是唯一的； ⑸封闭性：映射中集合 A 的任一元素的象都必须是 B 中的元素，即 A 中元素的象集是 B 的子集.