圆的一般方程(用)

y=-E/2，表示一个点（

D 2
,
E 2
）.
( x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
圆的一般方程：
所以 x x0 4 , y y0 3
整理得
x0
2
2x

4,
2
y0

2y
3.
又因为点A在圆上运动，所以A点坐标满足
y B
AM
o
x
方程，又有（x0+1）2+y02=4
所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4
整理得 (x 3)2 ( y 3)2 1
所以，点Ｍ的2轨迹是以2（ 3，3 ）为圆心，１为半径的圆
解2:设圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 ,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上
待定系数法
圆经过A(1,1),B(2,-2)
a b 1 0
a 3
(1 a)2 (1 b)2 r2 b 2
(2 a)2 (2 b)2 r2 r 5
.
（-1，0） O
.
A(3,0)
x
62 4 (9) 0 该曲线为圆.
直译法
举例
例4. 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0）
由于B点坐标为（4，3），M为AB的中点，
解得43;（2-b）2=r2

r=5
所求圆的方程为：
即（x-4）2+（y+3）2=25
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法一： 几何方法
y
M1(1,1) M2(4,2)
0
x
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）
( A)a 1 2
(B)a 1 2
(C )a

1 2
(D)a 1 2
D
练习
3.圆x2+y2+8x-10y+F=0 与x轴相切,则这
个圆截y轴所得的弦长是
A
( A)6
( B )5
(C )4
( D)3
4. 点A(3,5) 是圆 x2+y2-4x-8y-80=0 的一条
弦的中点,则这条弦所在的直线方程是
动动脑
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
配方可得：
( x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
(1)
当D2+E2-4F>0时,表示以（

D 2
,
E 2
）
为圆心，以( 1 D2 E2 4F ) 为半径的圆.
2
(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2
令 2a D,2b E, a2 b2 r 2 F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
思考
1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
方程表示的曲线是圆呢？ 2.下列方程表示什么图形？ （1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0.
复习 1、圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
2、点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为：
方法三：x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F=0
F=0

D+E+F+2=0
解得

D=-8

4D+2E+F+20=0
方法二： 几何方法
y
M1(1,1) M2(4,2)
0
x
例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-
2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆
的标准方程.
y A(1,1)
弦AB的垂
直平分线
O
x
C
B(2,-2)
l : x y 1 0
圆心：两条直线的交点 半径：圆心到圆上一点
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系： （1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 E 2 4F
2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0； ②没有xy这样的二次项
练习
判断下列方程能否表示圆的方程,若能写 出圆心与半径 (1) x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是

E=6
所求圆的方程为:
x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25
小结
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰 当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标 准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
举例
例2. 已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)
距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，
并画出曲线.
y
解：设(x, y)是所求曲线上的点，则由题意可得：
(x 0)2 ( y 0)2 1 (x 3)2 ( y 0)2 2
M. (x,y)
两边平方化简得： x2 y2 2x 3 0
x y80
举例
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法二： 解：设所求圆的标准方程为：
（x-a）2+（y-b）2=r2
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上
（a）2+（b）2=r2
a=4
（1-a）2+（1-b）2=r2
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且
圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方
程.
解1: ∵A(1,1),B(2,-2)
线 线段 段AABB的 的垂 中直 点平 D(分32 ,线 1C2D),的kA方B 程2为2：11y+13. 1 (x 3). 23 2
小结求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
求半径
列关于a，b，r（或D，E，F）
（圆心到圆上一点的距离）
的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
即：x-3y-3=0
联立直线l,
CD的方程：xx

y 1 0 3y 3 0
,
解得：xy

3 2
∴圆心C(-3,-2)
r AC (1 3)2 (1 2)2 5.
圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ( y 2)2 25.
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
（圆心到圆上一点的距离）
的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
4.1.2 圆的一般方程
动动手
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0
由于a, b, r均为常数
(x a)2 (y b)2 r2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r2 a 2 (7 a)2 (3 b)2 r2 b 3 (2 a)2 (8 b)2 r2 r 5
所求圆的方程为
(x 2)2 (y 3)2 25
待定系数法
例2 方法二 y
A(5,1)
O M
x
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
练一练
1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法一： 解：设所求圆的标准方程为：
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外.
M (x0 , y0 ) O(a, b)
M (x0 , y0 ) O(a, b)
M(x0 , y0 ) O (a, b)
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
解：设所求圆的方程为：
22
小结
1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
x 2 y2 Dx Ey F 0 D2 E 2 4F 0
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
配方
标准方程(圆心,半径)
展开
3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
（x-a）2+（y-b）2=r2
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上
（a）2+（b）2=r2
a=4
（1-a）2+（1-b）2=r2
解得

b=-3
（4-a）2+（2-b）2=r2

r=5
所求圆的方程为：
即（x-4）2+（y+3）2=25
练一练
1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
练习
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),
半径为4,则D,E,F分别等于
D
( A)4,6,3
(B) 4,6,3
(C) 4,6,3
( D)4,6,3
2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是
圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ( y 2)2 25.
小结求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
求半径
列关于a，b，r（或D，E，F）