平面向量共线的坐标表示_课件4

B
2 × 6 - 3 × 4 = 0， ∴ AB ∥ AC
∵ 直 线 AB、 直 线 AC有 公 共 点 A，
又
A● 0
∴ x A、 B、 C三 点 共 线 。
已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ， 向量
AB
与
CD
解：∵
AB
CD
平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？ =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) =(2-1，7-5)=(1，2) ∴
2.3.4平面向量共线的 坐标表示
1. 对于平面内的任一向量a，由 平面向量基本定理可得，有且 只有一对实数x、y，使得 a=xi+yj。我们把有序数对（x，
y）叫做向量a的坐标，记作a=
j
y yj a xi
（x，y）
O
i
x
2.
向量的坐标运算： a ( x 1， y 1 )
b ( x 2， y 2 )
P1
O
x
小结: 向量平行(共线)等价条件的两种形式:
(1)a / /b(b ≠ 0)⇔ a =λ b;
(2)a / /b(a = (x 1 ,y 1 ),b = (x 2 ,y 2 ),b ≠ 0) ⇔ x 1y 2 - x 2 y 1 = 0
探究:
解:
如 图 所 示 ， 当 P1P =λPP2时 ， 点 P的 坐 标 是 什 么 ？
若 p 1p =λpp 2 ,则 λ OP = 0P1 + P1P = 0P1 + P 1P 2 1 +λ λ = 0P1 + ( 0P2 - 0P1 ) 1 +λ 1 λ = 0P1 + OP 2 1 +λ 1 +λ x 1 +λ x 2 y 1 +λ y 2 =( , ) 1 +λ 1 +λ x 1 +λ x 2 y 1 +λ y 2 ∴ 点 P的 坐 标 是 ( , ) 1 +λ 1 +λ
y P P1
P2
O
x
2x 1 + x 2 2y 1 + y 2 ∴ 点 P的 坐 标 是 ( , ) 3 3
解法二:
设 点 P的 坐 标 为 （ x,y） 1 1 若 P1P = PP 2 ,则 P1P = P1P 2 2 3 P1P = (x,y)-(x 1,y 1 ) = (x - x 1,y - y 1 ) 1 1 P1P 2 = (x 2 - x 1,y 2 - y 1 ) 3 3 x 2 - x1 y 2 - y1 =( , ) 3 3 即 x 2 - x1 y 2 - y1 (x - x 1,y - y 1 ) = ( , ) 3 3 x= 2x 1 + x 2 3 ,y = 2y 1 + y 2 3
3.平面向量共线定理：
a // b b 0 a b


问题: 如果向量 a ， 共线（其中 b≠ ）， b 那么 ， 满足什么关系？ a b 0
a b
思考: 设 a =(x1，y1), b =(x2，y2)，若向 量 a ，b 共线（其中 b ≠ 0 ），则这两个向 量的坐标应满足什么关系？
y P P1
)
P2
O
)
x
所以，点P的坐标为 (
,
(1)
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（2）
①
1 若 点 P 靠 近 p 1点 则 有 ：1P = PP 2 , P 2 1 OP = 0P1 + P1P = 0P1 + P 1 P 2 3 1 = 0P1 + ( 0P2 - 0P1 ) 3 1 2 = 0P1 + OP 2 3 3 =( 2x 1 + x 2 2y 1 + y 2 , ) 3 3
AB
又 ∵2×2-4×1=0 又∵
AB
∥ CD
AC
=(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6)
=(2， 4)， ∴ 2×4-2×60
AC
∴ ∴
与 AB 不平行 A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 )
y P P1
P2
O
x
解得
∴ 点 P的 坐 标 是 (
2x 1 + x 2 2y 1 + y 2 , ) 3 3
②若点p靠近P2点 时
则 有 ： p1 p = 2 p p 2 ,
y P
P2
x 1 + 2x 2 y 1 + 2y 2 ∴点 P 的 坐 标 是 ( , ) 3 3
例6.
解 ： a / /b ∵
∴ 4y - 2 × 6 = 0
∴ y=3
练习：
已 知 a / /b,且 a = (x,2),b = (2, 1),求 x的 值 .
解 ： a / /b ∵
∴ x - 2 2 = 0
∴ x=4
1.
2.
已 知 向 量 a = (3, 4 ), b = (c o s a , s in a ), 且 a // b , 求 ta n a 的 值 .
C）
12 13 ， 5 13 ）
（ A） （
12 13 12
，） 5
（ B） （
5 12 5 12 5 （ C） （ ， ）或（ ， ） （ D） （ ， ） 13 13 13 13 13 13
4. 已知a=(1, 0), b=(2, 1), 当实数k为何值时,向 量ka－b与a+3b平行? 并确定它们是同向还是 反向. 解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3),
3、 与 a (1 2 , 5 ) 平 行 的 单 位 向 量 是 （
ta n a = 4 3
已 知 向 量 a = ( 2 , 1), b = ( x , - 1), m = a + 2 b , x= - 2 u = 2 a - b , 且 m // u , 求 x的 值 .
。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
解：（1）
1 OP ( O P1 O P2 ) 2 ( x1 x 2 2 , y1 y 2 2
x1 x 2 2 y1 y 2 2
结论: 中b
设 a =(x1，y1), b =(x2，y2),（其 0 ）,当且仅当
x 1y 2 -x 2 y 1 = 0
向量 a 与向量 b 共线。
即 ： / / b ( b 0 ) x1 y 2 x 2 y 1 0 a
探究：
1. 消 去 时 能 不 能 两 式 相 除 ?
y P P1
P2
O
xຫໍສະໝຸດ Baidu
不 能 两 式 相 除 ， y 1 , y 2 有 可 能 为 0， 又 b 0, x 2 , y 2中 至 少 有 一 个 不 为 0
2. 能 不 能 写 成
y1 x1

y2 x2
?
不能,
x1 , x 2 有 可 能 为 0 .
已 知 a / /b,且 a = (4,2),b = (6,y),求 y的 值 ;
a b ( x 1 x 2， y 1 y 2 ) a b ( x 1 x 2， y 1 y 2 ) a ( x , y )
A B ( x 2 x1 , y 2 y 1 ) .

若 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 则
∵ka－b与a+3b平行
这两个向量是反向。
例 7 .已 知 A(-1， 1)， Ｂ (1， 3)， C(2， 5)， 试 判 断 A,B,C三 点 之 间 的 位 置 关 系 .
解法1:
y
●C ●
∵ AB = 1 - - 1） ， 3 - - 1） ）= 2， 4） （ （ （ （ AC = 2 - - 1） ， 5 - - 1） ）= 3， 6） （ （ （ （