数学数学杂谈-(数列与级数)
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第一章数列与级数
数学杂谈
一、教学设计理念
本章我们由日常生活中的事物,例如﹕出租车资、火车座位等,引入数列的概念,进而介绍等差数列与等差级数,并发展出等差级数求和的公式。
1-1数列
我们介绍等差数列的相关名词,如首项、公差、项数、末项、第n项等,并藉由实例推导出它们之间的关系,进一步以数学符号形成公式,最后再介绍等差中项。
1-2等差级数
利用堆栈及高斯的小故事建立等差级数求和的方法,再进行符号化的推导,得出等差级数求和公式,并应用于解题。
二、评量注意事项
1. 有关等差数列及等差级数的名词解释,不宜做为考题。
2. 含有根号或文字符号的数列与级数可纳入命题范围,但应注意避免计算难度过高,所占比重亦不宜过高。
3. 等差中项命题时不应过于复杂。
4. 两数列间的关系比较可斟酌命题。
三、相关教学资源
等差级数的和
1. 本教材先导出公式S n =1()2
n n a a +,再将a n =a 1+(n -1)d 代入式中,得出公式S n =1[2(1)]2
n a n d +-。我们也可以利用下列方法反向推导: S n =a 1+a 2+a 3+……+a n -1+a n
=a 1+(a 1+d )+(a 1+2d )+……+〔a 1+(n -2)d 〕+
〔a 1+(n -1)d 〕 .........................○
1 也可写成
S n =〔a 1+(n -1)d 〕+〔a 1+(n -2)d 〕+……+(a 1+2d )+
(a 1+d )+a 1 .................................○
2 ○
1+○2得2S n =n 〔2a 1+(n -1)d 〕 S n =1[2(1)]2
n a n d +- 又因为a n =a 1+(n -1)d ,所以
S n =
1[2(1)]2n a n d +-=11[(1)]2
n a a n d ++-=1()2n n a a + 2. 在等差级数a 1+a 2+a 3+……+a k -1+a k +a k +1……+a n -1+a n 中, (1) 若n 为奇数,则k =12
n +。 a k 为a 1与a n 的等差中项,也是a 2与a n -1、a 3与a n -2、……的等差中项,即
a k =12
n a a +=112n a a -+=122n a a -+=…… S n =1()2n n a a +=n •12
n a a +=n •a k (2) 若n 为偶数,且a k -1、a k 为中间两项,
设a m =12
k k a a -+,则a m 也是a 1与a n 、a 2与a n -1、a 3与a n -2、……的等差中项,即
a m =12
n a a +=212n a a -+=322n a a -+=…… S n =1()2n n a a +=n •12
n a a +=n •a m 故n 项等差级数的总和等于其首项与末项的等差中项乘以项数。