运筹学课程总结

状态变量集合为： ： 0sk5
4、状态转移方程： sk1 sk xk
5、阶段指标函数：gi(si，xi)表示对第i的项目投入x台机器所获
得的收入值。
3
6、过程指标函数： Vk ,3 gi ( si , xi )
i k
7、动态规划递推模型：fk (sk ) 0mxkaxsk{gk (sk , xk ) fk1(sk1)} 8、边界条件： f4 (s4 ) 0
3、 确定状态变量sk：投资于第k个项目到最后项目的资金额。 状态变量集合为：0 sk 10
4、状态转移方程： sk1 sk xk (s1 10, s2 s1 x1, s3 s2 x2 )
5、阶段指标函数： g1(x1) 4x1
g2 ( x2 ) 9x2
g3( x3 ) 2 x32
（2）状态变量sk：第k次装载时，背包剩余的装载重量。
状态变量集合为：0 sk 10
（3）决策变量xk：第k次装载第k种物品的件数
决策变量集合为：0 xk
sk wk
（4）状态转移方程：sk1 sk wk xk
xk为整数}
（5）阶段指标函数：gk (sk , xk ) ck xk
（6）过程指标函数：Vk ,n
一阶段各个中转站的决定。 xk ∈Xk （4）状态转移方程：Sk+1=xk(sk) 表示从第k阶段某一中转站sk出
发，选择决策xk，达到第k+1阶段中转站sk+1 （5）阶段指标函数： Rk(sk，xk)表示在第k阶段的中转站sk处，
选择决策xk 的距离值。 （6）子过程指标函数：R k，n示表示在第k阶段sk处到终点的距离
3
6、过程指标函数： Vk ,3 g i ( xi ) ik
7、动态规划递推方wk.baidu.com：
fk
(sk
)
max
0xk sk
{gk
(
xk
)
f k 1 ( sk 1 )}
k 3,2,1
8、边界条件： f4 (s4 ) 0
（3）设备分配问题（收益函数是离散的）
• 胜利家具厂拟将某种高效率的设备5台分配给所属的甲、乙、 丙三个车间，各车间若获得这种设备之后，可以为工厂提供 的盈利如表。问这五台设备如何分配给各车间，才能使工厂 得到的盈利最大（特点：收益函数是离散的）。
（1）最短路问题
1
5 B1 3
A
6
3
B2
8 7
6
1
2
C1 6 8
C2 3 5
C3 3 3 8
C4 4
3
D1 2 2
D2 1 2 3
D3 3
E1 3
5 F1 4
E2
5 2
G
6 E3 6
F2
3
4
5
6
解：最短路问题的动态规划模型为：
（1）划分阶段：按中转站空间位置将整体路线划分为6个阶段
（2）设状态变量sk： 表示每一阶段上的中转站个数sk∈Sk 。 （3）设决策变量uk：表示从某一阶段上、某一中转站出发到下
• 问如何分配投资数额才能使总效益最大（特点：收益函数是 连续的）。
• 解：可列出静态规划问题的模型如下
max Z 4 x1 9 x2 2 x32
s.t.
x1 x2 x3 10
xi
0,
(i 1,2,3)
动态规划模型为：
1、分阶段：按投资项目的 个数分为三个阶段，k=1，2，3
2、确定决策变量xk：给第 k个项目投资的资金数。 决策变量集合为： 0 xk sk
用动态规划方法求解背包问题（整数规划）
MaxZ 60x1 40x2 60x3
3x1 2 x2 5x3 10
xi
0且为整数，i
1,2， 3
（特点：决策变量要求取整数）
建立动态规划模型：
设：wk是第k种物品单位重量，ck为第k种物品单位价值 （1）划分阶段k：按可以装入物品的种类划分为3个阶段。
车间
甲
乙
丙
设备 盈利
0
0
0
0
1
3
5
4
2
7
10
6
3
9
11
11
4
12
11
12
5
13
11
12
解：建立动态规划模型
1、分阶段：每个车间作为一个阶段，分为三个阶段，用k表示
2、决策变量xk: 表示分配给第k个车间的设备台数，
决策变量集合为： 0xksk 3、状态变量sk: 表示分配给第k个车间至第3车间的设备台数；
n
gi (si , xi )
（7）动态规划递推方程：fk
ik
( sk
)
max vk (sk , xk ) fk1(sk1)
0 xk
sk wk
（8）边界条件：f4 (s4 ) 0
（5）连续生产控制问题—机器负荷分配
胜利家具厂购进了一批先进的家具制造机器，该机器床 可在高低两种不同负荷下进行生产。
n
Vk,n dk (sk , xk ) ik
（7）基本方程： fk (sk ) min[ dk (sk , xk ) fk1(sk1) k n, n 1, ,2,1)
（8）边界条件： f7 (s7 ) 0
（2）多元投资问题（收益函数是连续的）
• 胜利家具厂现有资金10万元，若投资于3个项目，每个项目的 投资额为xi(i=1,2,3)时，其效益分别为： g1(x1) 4x1 g2 (x2 ) 9x2 g3 (x3 ) 2x32
fk (sk ) min[ dk (sk , xk ) fk1(sk1)
k n, n 1, ,2,1)
边界条件： fn1(sn1) 0或1
3、动态规划的求解目标 最优解 最优策略 最有轨线
4、动态规划的求解方法：逆序法和顺序法两种 5、动态规划7个基本案例
（1）最短路问题 （2）资源分配问题（投资问题、设备分配问题、背包问题） （3）连续生产控制问题（机器负荷分配） （4）生产与存储问题 （5）设备更新问题
k 3,2,1
（4）背包问题（决策变量要求为整数）
有一个人带一个背包上山，其可以携带物品的重量限度为10 公斤。设有3种物品可供选择，物品编号为1，2，3 。已知各 种物品每件重量为3、2、5公斤，且在上山过程中的作用（价 值）是携带数量分别是60、40、60。问此人应如何选择携带 物品（各几件），使所起作用（总价值）最大？（特点：决 策变量要求取整数）
课程总结 （下）
动态规划、图论、网络规划
1、动态规划
1、动态规划的应用条件：无后效性的多阶段决策问题
2、动态规划的基本概念与动态规划模型建立
阶段k
状态变量s（取值范围）
决策变量u（取值范围）
状态转移方程：sk+1=f(sk，xk) 阶段指标函数：有连续型、离散型
过程指标函数：有 和 两种形式
最优指标函数（动态规划方程）：