中值定理及其应用

即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
A ●
O
a
低了
到 B
●
了
bx
•典型情形的证明思想
y
f (x) f ( )
f (x) f ( )
x
x
fmax
f (x) f ( ) 0 x
●
f (x) f ( ) 0
x
f () 0
A
f ( ) 0
f ( ) 0
结这论说: 明Ro：lle在定极理 假大设函值数或f (极x)满小足值条件： 1.点f (处x)在,函[a,数b]上的连导续; 2.数f (为x)在0.(a,b)内可微; 3.几f (何b) 意f 义(a).是： 那在么至极少值存点在一处点的
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
解: f (x)在[1, 2]上连续, 在(1, 2)上可导, 且 f (1)= f (2); 由罗尔定理: 1 , 使 f (1; 同理, 2, , 使 f (2; 注意到 f (x)=0为二次方程, 它至多有两个实根, 故 1, 2是 f (x)=0 的全部实根.
例2 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1
0
1
x
图3-1-3
(iii) y=f (x)=x, x[1, 2],
f (x)在[1, 2]上满足条件(1), (2),
但不满足条件(3),
y
在(1, 2)内, f (x)=1.
2
1
0
y=x
12
x
图3-1-4
例1 设函数 f (x) = (x1)(x2)(x3), 不求导数,试判 断方程 f x 有几个实根, 它们分别在何区间?
存在什 y 么样的关系?
T 与 l 平行
T
(b, f (b))
y f (x) l
(a, f (a))
y f (a) f (b) f (a) (x a) ba
这样的可能有好多
O
a
bx
一个特殊的例子：假设从A点运动到B点， 那么有许多种走法，首先我们来看一个例 子。
行走的典型路线如下：
y
高了
但不满足条件(1),
在(0,
1)内,
f
(x) 1 2
3
2 1
0
1
x
图3-1-2
(ii) y f (x) | x | x 1,1
f (x)在[-1, 1]上,满足条件(1), (3),
但不满足条件(2),
当 x 时,
y
f (x)= 1.
1
y = |x|
x 时, f (x)= 1.
x=0时, f (0)不存在.
f()
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f ()存在,
f() f(). 只有 f () 0.
注意: 罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必 要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可
能不成立.
.例如, f (x) x, x [0,1] f 在[0,1] 上不满足罗尔定理的条件3),在(0，1)内
切(a线,b)平使得行于AB 的连线f (或) x0轴. .
B
O
a
( ●)
fmin, f ( ) 0
●
bx
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x)在 (1) 闭区间 [a, b]上 连续,(2) 在开区间(a, b)内可导,(3) 且在区间端点的函数 值相等，即 f (a) f (b) ,那末在 (a,b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，
中值定理及其应用
中值定理
• 一、罗尔(Rolle)定理 • 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 • 三、柯西(Cauchy)中值定理
已知条件是 y f（x），x [a, b]. 因此，可得到一条过曲线两个端点的直线
l：y f (a) f (b) f (a) (x a). ba
而与曲线有关的直线应该是每点处Leabharlann Baidu切线. 我们来看看曲线的切线与直线l
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1) 如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续,(2) 在开区间(a, b) 内可导,那末 在(a, b)内至少有一点(a b)，使等式 f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
不存在点,使得f ( ) 0.
又例如,
f
(
x)
sin
1,
x,
x
(0,
x0
]
f 在[0, ]上不满足罗尔定理的条 件1）、3）,但存在点
(0， ), 有f ( ) 0,即罗尔定理的结论成立 .
2
2
1 x 1, x[0, 1) 例如: (i) y=f (x)= 2
1 , x=1 y
f (x)满足条件(2), (3),
则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) M .
f ( x) f (), f ( x) f () 0,
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0; x
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0; x
f()
lim
x 0
f (
x) x
f ()
0;