偏微分方程PDECh1

和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研 究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问 题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的 影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了 这门学科的内容。
偏 微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学 物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问 题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶 ，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动 的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了 三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对 偏微分方程的发展的影响是很大的。
由于偏微分方程是一门应用性较强的学科, 当我们利用它 的理论和方法去解决某些实际问题时, 虽然定解问题的适定性 一时还得不到解决, 但经过实践检验, 结果还是可以采用的. 这 时就没有必要墨守先解决适定性方可求解的陈规. 因为, 理论和 实践之间总有一些距离.
简史
《偏微分方程》起源于18世纪，发展于19世纪，丰富于20 世纪。
1.1.3. 偏微分方程的阶
在偏微分方程的研究中, “阶”是一个非常基本的概念. 所谓 偏微分方程的阶, 就是方程中实际所含未知函数的偏导数中的最 高阶数。 前面例子：
一阶偏微分方程 一阶偏微分方程 二阶偏微分方程 二阶偏微分方程 二阶偏微分方程 三阶偏微分方程
1.1.4. 线性偏微分方程
如果方程中关于未知函数及其各阶偏导数都是线性的, 则称 它为线性偏微分方程。
初值问题或边值问题的解或称古典解是指这样的函数: 它在 区域的内部具有方程中出现的一切连续偏微商,而本身在区域的 闭包上连续(有时根据具体问题的性质或边界条件的类型,也要求 有关的偏微商连续到边界), 它满足方程,并且当时间变量趋于初 始时刻时或空间变量趋于区域的边界时它(有时及其有关的偏微 商)连续地取到给定的初始值或边界值。
对于既不是线性也不是拟线性的偏微分方程, 就称它为完全 非线性偏微分方程.
一阶完全非线性偏微分方程
一般地, 我们又把拟线性偏微分方程及完全非线性偏微分方 程, 统称为非线性偏微分方程.
几个经典方程
例1.1.1 弦振动方程 弹性弦的振动问题,是一个很有意义而且十分重要的古典问题。
问题: 给定一根两端固定的拉紧的具有弹性的、均匀的、非常柔软 的细线, 其长为l, 在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动, 求弦上各点的运动规律.
1.3 二阶半线性方程的分类与标准型
在前面的叙述中，我们分别讨论了弦振动方程、热传导方 程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特殊，它们是二阶拟 线性偏微分方程的三个典型代表。一般形式的二阶拟线性偏微 分方程之间的共性和差异，往往可以从对这三类方程的研究中 得到。由于拟线性方程的分类依赖于它的具体解，所以我们讨 论拟线性方程的分类。
方程是
(*)
在适当情况下, 方程中描述空间坐标的自变量数目可以减少. 例如当物体是各向同性的均匀细杆时, 如果它的侧面不产生热交 换(即绝热), 且在同一截面上温度的分布是相同的, 则温度函数u 仅与坐标x及时间t有关, 这时得到的就是一维热传导方程
写成教材上的形式就是
(1.1.3பைடு நூலகம் 如果考虑的是一个薄片的热传导, 当它的侧面绝 热时, 便得到二维的热传导方程
于是我们得到初始数据之间的一个恒等式
③
从③式可以看出, 在函数
中能任意给定的不
超过两个.
①
②
如果是Cauchy问题① , ② 的解, 则沿着曲线Γ可得到关于 的线性方程组
教材及参考资料
教 材：偏微分方程(第三版) ，陈祖墀，高教出版社。 参考书目：
1. 数学物理方程(第二版),谷超豪、李大潜等,高教出版社。 2. 现代偏微分方程导论, 陈恕行, 科学出版社。 3.偏微分方程讲义(俄罗斯数学教材选译)，高教出版社。
1.1 基本概念
1.1.1 什么是偏微分方程
定义. 把含有未知函数(多元函数)及其偏导数的函数方程，称
我们把求一个方程在给定的定解条件下的解, 称做解定解问题 . 一个定解问题, 如果满足下列三个条件, 就称为是适定的:
(1) 存在性：定解问题至少存在一个解； (2) 惟一性：定解问题至多有一个解； (3) 稳定性：当已知的定解条件在某种意义下作微小的变动时 , 相应的定解问题的解也只作微小的变动。
程(1.1.1)的解。
我们知道, 一个常微分方程如果有解, 就必有无穷多个解, 其表现形式是依赖于一个或几个任意常数的通解. 于是自然会 想到偏微分方程的通解也会含有任意元素.
例. 后面我们可以求出偏微分方程
的
通解为
其中
是任意二阶可微函数。
Q. E. F.
令人感到十分遗憾的是，在偏微分方程中, 除了少数几个特 别简单的例子以外, 求通解是很困难的. 而且即使求得了通解, 要 想利用所给的伴随条件将其表达式中的任意元素确定出来, 也是 一件不容易的事情, 甚至是不可能的.
，三维Laplace方程写成
对于函数 Laplace算子
的n维Laplace方程，利用 写成
(1.1.4)
类似地, 若物体内的热源与时间t无关且温度分布趋于定常 时, 我们可导出如下方程
(*)
简记为 我们称这个方程为泊松(Poisson)方程.
二阶线性方程的一般形式是 其算子是
1.2 定解问题 1.2.1 定解条件与定解问题
二阶拟线性偏微分方程分成三类，为什么这样分，有什么 好处,参见百度文库：
http://wenku.baidu.com/view/0dc88c858762caaedd33d446.html
1.3.0. 二阶方程的特征 (1)两个自变量的情形 一般的含有两个自变量的二阶半线性偏微分方程可写成如下 形式:
例子：
一阶线性偏微分方程 二阶线性偏微分方程
在线性偏微分方程中, 不含有u及它的偏导数的项称为自由项 ; 当自由项为零时, 称方程为线性齐次方程。
当自由项不为零时, 称方程为线性非齐次方程。
一般的线性齐次偏微分方程可写为 一般的线性非齐次偏微分方程可写为 其中L是u的某一线性偏微分算子。例如
(Laplace算子) 等等. 所谓线性算子, 是指对任意的函数u, v及常数c, 总有
偏微分方程PDECh1
绪论
偏微分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉的著作 中最早提出了弦振动的二阶方程, 随后不久, 法国数学 家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊 的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。 1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成 的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不 同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开 创了偏微分方程这门学科。
问题: 设函数u (x, y, z, t )为物体G在点(x, y, z)处时刻t的温度, 求u所 满足的方程。
我们可利用能量守恒定律和富里叶(Fourier)热传导定律来建 立数学模型, 导出热传导方程 (略) 。
当f≥0时表示热源, 当f≤0表示热汇。 如果物体内无热源或热汇, 则温度函数u (x, y, z, t )所满足的
我们可利用动量定理来建立数学模型, 导出弦振动 方程(略) (可参见任何一本数学物理方程教材，例如，姜礼尚，陈 亚浙，数学物理方程讲义，高等教育出版社)。
无外力作用
外力作用下
其中f(x, t)表示单位质量在点x处时刻t所受的外力。 最后, 我们指出, 在上述弦振动方程中只含有两个自变量x和
t, 一个自变量x表示位置, 另一个自变量t表示时间. 由于它描述的 是弦的振动或波动现象, 而且又只含有一个空间变量x, 因而它又 称为一维波动方程.
类似地可导出二维波动方程和三维波动方程, 它们 的形式分别为
二维波动方程可视为薄膜的振动所满足的运动规律, 即在平 面上放置一个框架, 对于固定在该框架上作微小横振动的薄膜上 各点的运动规律. 三维波动方程表示的是声波、电磁波的传播所 满足的规律.
类似地，我们可考虑函数
的n维波动方程
例1.1.2 热传导方程 在三维空间中, 考察一均匀、各向同性的物体G, 假定其内部 有热源, 并且与周围介质有热交换, 求物体内部温度的分布和变化 规律。
正如我们在前面所看到的，一个偏微分方程和常微分方程一 样，通常有很多解. 因此我们需要给出某些附加条件来挑出其中 的某个解.
另一方面，对于不同的物理现象, 可归结为不同形式的偏微分 方程，而同一个典型的方程又能代表某些物理过程的共同特点.
如在研究空间中的声波和电磁波的传播时都会出现三维波动 方程：
我们知道, 方程建立以后, 目的就是要求出它的解. 但是, 仅有方程的解还不足以完全确定一个具体的物理过程, 因为对 于一个具体的物理过程, 除了方程本身之外还必须考虑该物理
(4) 若
，其中
是自变量，而
是参数，则
1.1.5. 非线性偏微分方程 我们把不是线性偏微分方程的偏微分方程统称为非线性偏 微分方程。在非线性偏微分方程中， 如果关于未知函数的所有 最高阶偏导数都是线性的, 则称它为拟线性偏微分方程。
二阶拟线性偏微分方程 二阶拟线性偏微分方程 三阶拟线性偏微分方程
在拟线性偏微分方程中, 由最高阶偏导数所组成的那一部 分, 称为方程的主部; 若主部内的系数都是常数或是自变量的 已知函数, 这时方程被称为是半线性的。
①
其中a, b, c都是 x, y的已知函数，F是x, y , u , ux, uy的已知函数. 设Γ是 xoy平面上的一条曲线, 它的参数表 示式为
在其上给定初始数据
②
这时就得到Cauchy问题①, ②. 一个十分自然的问题是: 若在Γ上给定了函数u及其一阶偏导数的值②, 能否利用 这些值和方程①来惟一确定函数的各二阶偏导数在上的 值.
为偏微分方程。
设
实自变量
未知函数
则偏微分方程的一般形式为
其中是F自变量x，未知函数u及u的有限多个偏导数的已知函数. 例如关系式
等都是偏微分方程.
1.1.2. 偏微分方程的解
如果给定一个函数
, 将它及它对自变量的各阶偏导
数代入方程(1.1.1), 能使(1.1.1)成为恒等式, 则称函数是偏微分方
带有这种边界条件的定解问题称为第二边值问题或诺伊曼 (Neumann)边值问题。
第三边界条件:
具有这种边界条件的定解问题称为第三边值问题或或鲁宾 (Robin) 边值问题。
边界条件 初始条件
例1.2.2
1.2.2 定解问题的适定性
设u是一个定义在区域Ω上的函数, 在Ω内u及它出现在方程中 的微商连续且满足方程, 又设函数u以及出现在定解条件中的微商 一直连续到Ω的边界, 并适合已给的定解条件, 那么, 我们称函数u 是这个定解问题的解.
注： 关于初始条件的提法, 只有一种形式。 关于边界条件的提法, 通常有三种形式： 设微分方程中的未知函数u定义在区域 Ω上， Ω的边界是Γ。 第一边界条件: u在Γ上的值给定为已知函数 具有这种边界条件的定解问题称为第一边值问题或狄利克雷 (Dirichlet)边值问题。
第二边界条件: u在Γ上的法向导数给定为已知函数
过程的初始状态以及它所满足的外界条件，这些都是 本段开头所提到的“某些附加条件”。
方程的解必须要满足的事先给定的某些附加条件称为定解条 件。
常见的定解条件有初始条件(也叫Cauchy 条件)和边界条件两 大类, 相应的定解问题叫初值问题(或Cauchy问题)和边值问题。
若定解条件中既有初始条件又有边界条件, 这时称定解问题为 初边值问题或混合问题。
注：Lu可视为线性算子L作用在函数u上。例如
由线性算子的定义，我们可得关于线性方程的如下
叠加原理. 定理. (1)若
是线性齐次方程
的解，则
也是它的解。 (2)若
是线性非齐次方程
的解，则
也是它的解。 (3)若 是线性非齐次方程
是
的解。
的解(i=1,2, …, m)，则
由于积分运算也是一个线性运算，故叠加原理还 有下面的表现形式。
例1.1.3 拉普拉斯(Laplace)方程 在前面所研究的温度分布问题中, 如果经过相当长的时间以后 , 物体内各点的温度随时间的推移而发生的变化已不显著, 这时我 们就说温度分布趋于定常, 数学上可近似地用ut=0表示。这样一 来，热传导方程(*)就变成
它被称为三维Laplace方程。 利用Laplace算子