最新一阶常微分方程初等解法毕业doc

一阶常微分方程初等解法毕业d o c

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

0 前言 (1)

1预备知识 (1)

1. 1变量分离方程 (2)

1. 2恰当微分方程 (2)

1. 3积分因子 (2)

2 基本方法 (2)

2. 1一般变量分离 (3)

2. 2齐次微分方程 (3)

2. 2 .1齐次微分方程类型一 (3)

2. 2. 2齐次微分方程类型二 (4)

2. 3常数变易法 (5)

2.3.1常数变易法一 (5)

2.3.2常数变易法二 (6)

2.4积分因子求解法 (7)

2.5恰当微分方程求解法 (8)

3基本方法的应用 (8)

3. 1一般变量分离方程应用 (8)

3.1.1应用举例 (9)

3.1.2应用举例 (9)

3. 2齐次微分方程应用 (10)

3.2.1类型一应用举例 (10)

3.2.2类型一应用举例 (11)

3.2.3类型二应用举例 (11)

3.2.4类型二应用举例 (12)

3.3常数变易法应用 (13)

3.3.1常数变易法应用举例 (13)

3.3.2伯努利微分方程应用举例 (14)

3. 4利用积分因子求解 (14)

3. 5 利用恰当微分方程求解 (15)

参考文献 (16)

一阶常微分方程初等解法

摘要: 本文对一阶微分方程的初等解法进行归纳与总结,同时简要分析了变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法.并且结合例题演示了如何把常微分方程的求解问题化为积分问题,进行求解.

关键词: 一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子

The Fundamental methods of the first-order ordinary

differential equation

Abstract:In this thesis, we summarize the fundamental methods of the first-order ordinary differential equation. At the same time, we analysis the various types of fundamental methods such as the separation of variables, integrating factor and the exact differential equation. Combined with examples, we show how the ordinary differential equations solve problems by transforming them into the problems of integration.

Key Words: first-order ordinary differential equation; separation of variables; exact differential equation; integrating factor

0 前言

常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20

世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等.

常微分方程的研究还与其他学科或领域的结合而出现各种新的分支,如控制论、种群分析、种群生态学、分支理论、泛函微分方程、脉冲微分方程等.

总之,常微分方程属于数学分析的一支,是数学中与应用密切相关的基础学科,其自身也在不断发展中,学好常微分方程基本理论和实际应用均非常重要.因此本文对一阶常微分方程的初等解法进行了简要的分析,同时结合例题,展示了初等解法在解题过程中的应用.

1预备知识

1. 1 变量分离方程

形如 ()()dy f x y dx

ϕ=, (1.1) 的方程,称为变量分离方程,()f x ,()y ϕ分别是x ,y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.

如果()0y ϕ≠,我们可将(1)改写成

()()

dy f x dx y ϕ=,这样变量就分离开来了.两边积分,得到

()()dy f x dx c y ϕ=+⎰⎰,

c 为任意常数.由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程(1)的解. 1.2 恰当微分方程

将方程

),(y x f dx

dy =, 写成微分的形式,得到

0),(=-dy dx y x f ,

或把x ,y 平等看待,写成下面具有对称形式的一阶微分方程

0),(),(=+dy y x N dx y x M , (1.2)

如果方程)2(的左端恰好是某个二元函数),(y x u 的全微分,即

()()(),,,u u M x y dx N x y dy du x y dx dy x y

∂∂+==+∂∂, 则称方程)2(就是恰当微分方程.

1.3 积分因子

如果存在连续可微函数(),0x y μμ=≠,使得

()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=

为一恰当微分方程,即存在函数u ,使

Mdx Ndy du μμ+=,

则称(),x y μ为方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子.

2基本方法

2.1一般变量分离

()()dy f x y dx

ϕ=, )1.2( 的方程,称为变量分离方程,()f x ,()y ϕ分别是x ,y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.

如果()0y ϕ≠,我们可将)1.2(改写成

()()

dy f x dx y ϕ=,