导数公式的证明.pdf

导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx

Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式

（1）f(x)=x^n

证法一：（n为自然数）

f'(x)

=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx

=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δ

x)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx

=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]

=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)

=nx^(n-1)

证法二：（n为任意实数）

f(x)=x^n

lnf(x)=nlnx

(lnf(x))'=(nlnx)'

f'(x)/f(x)=n/x

f'(x)=n/x*f(x)

f'(x)=n/x*x^n

f'(x)=nx^(n-1)

（2）f(x)=sinx

f'(x)

=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx

=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

=lim cosxsinΔx/Δx

=cosx