行列式课件详解
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计算行列式的方法总结PPT
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性质
行列式具有以下基本性质
行列式转置不变
行列式的值与其转置行列式的值相 等。
行列式按行（列）展开
行列式的值等于其任意一行（列）元 素与其对应代数余子式的乘积之和。
行列式的倍数性质
行列式中某一行（列）的所有元素 都乘以一个常数k，则行列式的值也 乘以k。
行列式的消元性质
若行列式中两行（列）成比例，则 行列式的值为0。
例题3
利用数学归纳法计算分块矩阵的行列式。对于具有某种递推关系的分块矩阵，可以利用数 学归纳法进行证明和计算。通过假设当n=k时结论成立，进而证明当n=k+1时结论也成 立，从而得出对于任意正整数n结论都成立的结论。
06
特殊类型行列式的计算方法
箭型行列式的计算
箭型行列式的定义
箭型行列式是一种具有特殊形状的行列式，其主对角线上方的元素构成了一个箭头形状。
计算方法
对于 n 阶箭型行列式，可以先将其化为上三角或下三角行列式，然后直接计算对角线元素的乘积。具体步骤包括 ：利用行列式的性质，将第 1 列的 -1 倍加到其他列上，从而将箭型行列式化为上三角或下三角行列式；计算对 角线元素的乘积。
两三角型行列式的计算
两三角型行列式的定义
两三角型行列式是指行列式的上半部分和下半部分分别呈现三角形形状的行列式。
80%
典型方法
拉普拉斯展开定理，将高阶行列 式按某一行（列）展开为低阶行 列式的和。
典型例题解析
例题1
利用数学归纳法计算范德蒙德 行列式。
例题2
计算含有特定元素的行列式， 如含有三角函数、指数函数等 。
例题3
利用归纳法证明某些特殊类型 的行列式具有特定的性质，如 对称性、反对称性等。
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
二章行列式ppt课件
a11x1+a12x2+a13x3=b1
a11 a12 a13
a21x1+a22x2+a23x3=b2
a21 a22 a23
a31x1+a32x2+a33x3=b3
定义3.2 三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
对角线 法则
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
132 1 0 1, 奇排列 负号,
a a a 11
12
13
a a a (1) a a a . 21
22
23
( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
a a a 31
32
33
定义 6 由 n2 个数组成的 n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的 n 个元素的乘积
的代数和
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项, 这恰好就是2!,3!. (2)每项构成: 2阶和3阶行列式的每项分别是位于 不同行不同列的2个和3个元素的乘积. (3)各项符号: 2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶 行列式6项,3正3负.
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
1 4 2 例1 计算行列式 D 3 0 3 .
例4 证明
a11
a12
an1,1 an1
an1,2
a1n
n( n1)
1
a a 2 1n 2,n1
上面的行列式中，未写出的元素都是0。
an1,2an1
证: 行列式的值为
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线性代数PPT行列式
行列式的计算公式是n阶行列式的展开式， 即用代数余子式表示n阶行列式的公式。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
行列式的计算方法(常见)ppt
01
02
03
正确理解行列式的正负 号规则，行列式中元素 的排列顺序会影响符号
。
注意行列式中行和列的 交换对符号的影响，行 和列的交换会导致行列
式的符号发生变化。
正确处理行列式中元素 的正负号，避免因为符 号错误导致计算结果错
误。
理解行列式的几何意义
行列式可以表示一个n维向量的线性变换，理解这一几何意义有助于更好 地理解行列式的计算方法。
征向量。
在求解过程中，行列式用于判断特征值是否存在，以及计算特
03
征值和特征向量的数值。
04
行列式计算的注意事项
避免计算错误
01 仔细核对行列式的元素，确保没有遗漏或错误。 02 使用行列式计算法则时，要确保每一步都符合规
则，避免出现计算错误。
03 多次检查计算过程，确保每一步都正确无误。
注意行列式的符号问题
通过几何意义可以直观地理解行列式的值，以及行列式在几何空间中的作 用。
理解行列式的几何意义有助于更好地理解行列式在解决实际问题中的应用， 例如线性方程组求解、向量空间等。
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在矩阵计算中的应用
行列式在矩阵计算中主要用于计算矩 阵的逆、行列式、转置等。
行列式在矩阵的初等变换中也有应用 ，例如通过行列式值不变的特性，可 以判断矩阵是否可以通过初等行变换 或初等列变换化为单位矩阵。
在特征值和特征向量计算中的应用
01
行列式在特征值和特征向量的计算中起到关键作用。
02
通过行列式与特征多项式的计算，可以求出矩阵的特征值和特
计算方法
根据行列式的性质和已知的行列式值，推导出更高阶行列式的递推 关系式，然后逐步计算出高阶行列式的值。
《工学行列式》课件
在展开过程中，需要注意正负号 的选取，以保证行列式的值不变
。
展开法适用于二阶或三阶行列式 ，对于高阶行列式，需要多次展
开才能得到结果。
递推法
递推法是通过递推关系式来计 算行列式的值的方法。
递推关系式是根据行列式的 定义和性质，将一个高阶行 列式表示为若干个低阶行列
式的乘积或加减。
使用递推法计算行列式的值时 ，需要先求出低阶行列式的值 ，再根据递推关系式逐步求出
2
代数余子式是去掉一个元素后，剩下的元素构成 的子行列式与去掉元素所在行和列元素的代数余 子式的乘积之和。
3
使用代数余子式法计算行列式的值时，需要先计 算所有代数余子式的值，然后根据代数余子式的 定义计算出行列式的值。
展开法
展开法是将行列式按某一行或某 一列展开，将其化为简单的二阶 或三阶行列式，然后
行列式可以用于求解常系数线性微分方程， 通过构造相应的行列式，可以方便地求解微 分方程。
详细描述
在求解常系数线性微分方程时，可以利用行 列式的性质和递推关系，构造相应的行列式 ，从而方便地求解微分方程。例如，欧拉方 法、龙格库塔方法等都是利用行列式来求解 微分方程的常用方法。
向量场的求解
总结词
行列式可以用于求解向量场的雅可比矩阵和 向量场的变化率，从而研究向量场的性质和 行为。
详细描述
在向量场中，行列式可以用来计算雅可比矩 阵，从而研究向量场的变化率和方向。通过 分析行列式的值和符号变化，可以进一步研 究向量场的性质和行为，例如判断奇点、分
析流线等。
05
行列式的历史与发展
行列式的起源与早期发展
高阶行列式的值。
分块法
分块法是将一个大的行列式分成若干 个小行列式，然后分别计算小行列式 的值，最后根据小行列式的值求出大 行列式的值。
《行列式按行展开》课件
对于任意n阶方阵A，其第i 行第j列的代数余子式Aij可 以表示为去掉第i行第j列后 的(n-1)阶子矩阵的行列式值 乘以(-1)^(i+j)。
行列式的性质还包括拉普拉 斯展开定理和克拉默法则等 。
拉普拉斯展开定理指出，一 个n阶行列式等于它的任意 一行的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和；克 拉默法则则指出，如果线性 方程组的系数行列式不为0 ，则方程组有唯一解，且解 可以通过系数行列式和常数 项的代数余子式计算得出。
应的代数余子式相乘，得到最终结果。
行列式按行展开的
04
运算技巧
代数余子式的计算
代数余子式定义
在行列式中，去掉某行和某列后所得到的$n-1$阶行列式，乘以$(-1)^{i+j}$，其中$i$和$j$分别是去 掉的行号和列号，得到的项称为代数余子式。
代数余子式的计算方法
根据代数余子式的定义，可以通过递归的方式计算代数余子式。具体来说，可以将$n$阶行列式拆分 成若干个$n-1$阶子行列式，然后分别计算这些子行列式的代数余子式，最后将它们相加得到原$n$ 阶行列式的代数余子式。
03
总结词
行列式的值可以通过对角线元素计算得出。
05
02
详细描述
行列式是n阶方阵A的行列式，记作det(A)或 |A|，是一个标量，由n!项组成，每一项都是 n个不同行元素的代数余子式。
04
详细描述
行列式的值是由其对应的n阶方阵唯 一确定的，与矩阵的表示方式无关。
06
详细描述
对于一个n阶方阵A，其行列式的值可以通过 对角线元素计算得出，即 det(A)=a11*a22*...*ann。
《行列式按行展开》 ppt课件
目录
行列式的性质.pptx
1 1 c2
1
b
b 1
13
c
c
11
1 d2 d
d
1
1 a2
1 a
11 1 b2 b
11 1 c2 c
11 1 d2 d
0.
第21页/共41页
三、余子式与代数余子式 1 、引例 三阶行列式可用三个相应的 二阶行列式的线性组合表示：
例如 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
其中 1i jn 为自然排列,
t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数.
设排列 p1 pi pj pn 的逆序数为t1, 则有
第4页/共41页
1t 1 t1 ,
故 D1 1 t1a1 p1 aipj a jpi anpn D.证毕
例如 1 7 5 1 7 5 17 5 715 6 6 2 3 5 8 , 6 6 2 6 6 2. 3 5 8 6 6 2 35 8 538
证 明 对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11
0
设为 D1
p11 pkk ;
pk1 pkk
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
第17页/共41页
对
D
的前
k
行作运算
ri
第2页/共41页
故 D DT .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
1
b
b 1
13
c
c
11
1 d2 d
d
1
1 a2
1 a
11 1 b2 b
11 1 c2 c
11 1 d2 d
0.
第21页/共41页
三、余子式与代数余子式 1 、引例 三阶行列式可用三个相应的 二阶行列式的线性组合表示：
例如 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
其中 1i jn 为自然排列,
t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数.
设排列 p1 pi pj pn 的逆序数为t1, 则有
第4页/共41页
1t 1 t1 ,
故 D1 1 t1a1 p1 aipj a jpi anpn D.证毕
例如 1 7 5 1 7 5 17 5 715 6 6 2 3 5 8 , 6 6 2 6 6 2. 3 5 8 6 6 2 35 8 538
证 明 对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11
0
设为 D1
p11 pkk ;
pk1 pkk
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
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对
D
的前
k
行作运算
ri
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故 D DT .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
线性代数行列式课件
行列式与空间向量的关系
总结词
行列式可以用来表示空间向量的方向和大小。
详细描述
在三维空间中，行列式可以用来表示向量的 方向和大小。通过行列式，我们可以计算出 向量的模长以及向量的方向余弦值，从而确 定向量的方向和大小。此外，行列式还可以 用来表示向量的外积和混合积，进一步揭示 了行列式与空间向量的关系。
END
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PART 05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
总结词
行列式在解决线性方程组问题中起到关键作 用，通过克拉默法则，我们可以利用行列式 值来求解线性方程组的解。
详细描述
在解决线性方程组问题时，克拉默法则是一 个重要的工具。该法则指出，如果一个线性 方程组中的系数行列式不为零，则该方程组 有唯一解。通过计算系数行列式和将系数行 列式设置为零，我们可以找到使方程组无解
ONE
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线性代数行列式课件
目 录
• 行列式的定义与性质 • 行列式的展开定理 • 行列式的计算技巧 • 行列式在几何中的应用 • 行列式的应用实例
PART 01
行列式的定义与性质
行列式的定 义
总结词
行列式是n阶方阵所有可能的二阶子 方阵的行列式之积。
详细描述
行列式是由n阶方阵的元素构成的，按 照一定的排列顺序形成的n阶方阵，其 值是一个标量，表示n阶方阵的线性变 换对单位体积的改变量。
行列式的性 质
总结词
行列式的性质包括转置、交换、代数余子式等。
详细描述
行列式的一个重要的性质是转置，即把行列式的行变为列，得到的新的行列式的值与原行列式的值互为转置。交 换行列式的两行，行列式的值变号。代数余子式是去掉一个子行列式后剩下的元素构成的行列式，其值等于原行 列式值的负一倍。
《n阶行列式》课件
转置行列式
n阶行列式等于其主对角线上的元素 的乘积减去副对角线上的元素的乘积 。
将行列式的行和列互换后所得到的行 列式称为原行列式的转置行列式，其 值与原行列式相等。
Laplace展开公式
将n阶行列式展开为若干个n-1阶行列 式的乘积，每个n-1阶行列式与原行 列式中的元素有关。
REPORT
CATALOG
代数余子式的计算方法
直接计算法
01
根据代数余子式的定义，直接计算n-1阶行列式，再乘以-1的相
应指数。
递推法
02
利用行列式的展开性质，将高阶行列式转化为低阶行列式，再
利用已知的低阶行列式计算高阶行列式。
公式法
03
利用已知的代数余子式公式进行计算，可以大公式
行列式展开公式
02
行列式可以用于计算矩阵的某些重要属性，如行列 式的值、矩阵的秩等。
03
行列式和矩阵在数值计算、线性代数等领域中有着 广泛的应用。
行列式与线性变换的关系
1
行列式描述了线性变换对空间的影响，特别是对 空间体积的影响。
2
行列式的值决定了线性变换的性质，如可逆性、 奇异性等。
3
在线性代数中，行列式是研究线性变换的重要工 具之一。
行列式与微积分的关系
01 行列式在微积分中常常用于解决某些积分问题， 如定积分、多重积分等。
02 行列式可以用于计算某些几何量，如体积、面积 等。
03 在微分学中，行列式可以用于计算某些函数的导 数和偏导数。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
特殊行列式介绍
范德蒙德行列式
三阶行列式的几何意 义：表示平行六面体 的体积。
行列式-课件
(1) b (k1 kp kq kn ) 1k1
bpk p
bqkq
bnkn
(1) a (k1 kp kq kn ) 1k1
aqk p
a pkq
ankn
§ 1.2 行列式的性质与计算
(1) a (k1 kp kq kn ) 1k1
a pkq
aqk p
ankn
(1) (1) (k1
DT =
(1) b b (i1i2 in ) i11 i2 2
i1i2 in
binn
(1) a a (i1i2 in ) 1i1 2i2
i1i2 in
anin D 证毕
注1.4 性质1.1表明，行列式中行与列的地位是对等的，因此，凡是对行 列式的行成立的性质，对行列式的列也同样成立，反之亦然.
bq1 bq2
bpn ，
bqn
其中i p, q时，bij aij ;bpj aqj , bqj a pj .
bn1 bn2
bnn
§ 1.2 行列式的性质与计算
即有
a11 a12
a1n
aq1 aq2
aqn
det(bij )
a p1 a p2
a pn
an1 an2
ann
由行列式的定义有 det(bij )
为了简化行列式的计算，本节首先讨论行列式的性质，然后利用这些 性质给出若干计算行列式的典型方法和计算技巧.
1.2.1 行列式的性质 1.2.2 行列式的计算 *1.2.3 拉普拉斯定理
§ 1.2 行列式的性质与计算
，
1.2.1 行列式的性质
前一节介绍了n阶行列式的定义，并利用定义计算了一些特殊的n阶行列式. 但当n较大时，用定义计算一般的n阶行列式并不容易. 为能简便计算行列式，需 要研究行列式的性质. 首先给出行列式的转置行列式及行列式中元素的余子式和 代数余子式的概念.
行列式展开学习.pptx
2.
n
aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
1 ,当 i 第17页/共21页 j， ij 0 ,当 i j.
16
思考题1
设n阶行列式 1 2 3n 1 2 0 0
Dn 1 0 3 0 1 0 0n
a31 a32 a33
第2页/共21页
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一
个代数余子式.
1
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij 与它 的代数余子式的乘积，即 D aij Aij ．
a11 a12 a13 a14
例如 D a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0
ni j1
x1n1
x
n1 2
x
n1 n
证 用数学归纳法
11
D2
第8页/共21页
x x 1
2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
7
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
Dn
1
1
0
x2 x1
0 x2 ( x2 x1 )
0 x2n2 ( x2 x1 )
证
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
第4页/共21页
an1
an2
ann
3
a11 a12
线性代数-行列式(完整版)ppt课件
设 D
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
线性代数行列式的性质与计算课件
=1(-1)1+1 1 3 +0(-1)1+2 1 3 +(-2) (-1)1+3 1 1
31
-2 1
-2 3
=1(-8)+0+(-2)5 =-18.
例1．分别按第一行与第二列展开行列式
1 0 -2 D= 1 1 3
-2 3 1
解：按第一行展开
Da11A11 +a12A12 +a1nA1n =1(-8)+0+(-2)5 =-18.
an1 an2 … ann
推论1 如果行列式的某一行(列)的元素为零，则D＝0. 推论2 如果D中有两行(列)成比例，则D=0.
行列式的性质
性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，
则此行列式可以写成两个行列式之和.即
a11 a12 … a1n
a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n
row (行)
要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进co行lum计n（算列。）
为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：
1)交换行列式的第 i 行与第 j 行，用 ri rj表示 ； 2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示； 3)以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.
为了不引起混淆, 每步最好只进行一个 操作. 例如:
D
1 2 4 2
02 3 3
2 1 3 1
0 1 1 11
1 0 1 5
1 0 1 5
1 0 1 5
r3 2r2
0 r4 r2 0
1 0
3 3
8
0 r3 r4
19
0
1 0
高中数学《行列式》课件
4 2
1 1
100
4 2
1 1
4 2
1 1
200 6 194
18
性质5 (消法)将行列式的某一行(列)的各 元素乘以常数加到另一行(列)的对 应元素上去,则行列式的值不变,即
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 aj1 aj2
ain ai1 ka j1
a jn
a j1
ai2 ka j2 aj2
当 n 1 时， det( A) a11
n
当 n 1 时，det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1)) k 1
n
设 An aij 则 det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1))
k 1
Aij (1)i j det( A(i, j) ) 为 aij 的代数余子式
40
x (n 1)a a a a
x (n 1)a x a a
解
c1ci (i2,3,,n)
Dn x (n 1)a a x a
x (n 1)a a a x 1 a a a 1 x a a [x (n 1)a] 1 a x a
1 a a x 41
1 a a a 0 xa 0 0
rj r1 ( j:2,3,,n)
[x (n 1)a] 0 0 x a 0
0 0 0 xa
[x (n 1)a](x a)n1
42
例2 计算 n 阶行列式（两道一点）
a1 b1
a2 b2
Dn
an1 bn1
bn
an
解 Dn a1a2 an (1)n1bnb1b2 bn1
a1a2 an (1)n1b1b2 bn1bn
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a11 a1k
0
例4
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 det(aij )
, D2 det(bij )
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 D D1D2 .
证明
对 D1 作运算ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
证明 设行列式
b11 b12 b1n
D1
b21 b22 b2n ,
bn1 bn2 bnn
是由行列式 D de变t a换ij 两行i得, j到的,
即当 k i, j 时, bkp akp; 当 k i, j 时,
bip a jp , bjp aip,
于是
ห้องสมุดไป่ตู้D1
1 tb1 p1 bipi bjp j bnpn
1 b b b
1 a b b
a (n 1)b 1 b a b
1 b b a
1b b b
ab
a (n 1)b
0 a b
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
例3
a a D a a
b ab 2a b 3a b
c abc 3a 2b c 6a 3b c
d abcd 4a 3b 2c d 10a 6b 3c d
an2
a1n a2n ann
行列式 D称T 为行列式 的D 转置行列式.
性质2 行列式与它的转置行列式相等.
证明 记 D det aij 的 转 置 行 列 式
b11 b12 b1n DT b21 b22 b2n ,
bn1 bn2 bnn
即 bij a ji i, j 1,2, , n, 按定义
p11 设 为 D1
pk1
0 p11 pkk;
pkk
对 D2 作运算ci kcj , 把 D2 化为下三角形行列式
q11 设 为 D2
qn1
0 q11 qnn .
pnk
对 D 的 前 k 行作 运算ri krj，再对 后n 列作 运 算 ci kcj , 把 D 化为 下三角形 行列式
D
1 2 32
6 0 62
3111
例2
1311
D
1131
1113
a b b b
b a b b
ex1. 计算 n阶行列式 D b b a b
b b b a 解 将第 2,3,都,n加到第一列得
a n 1b b b b a n 1b a b b D a n 1b b a b
a n 1b b b a
第一章
第一章 行列式
第五节 行列式的性质
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一、行列式的性质
性质1 在行列式中若有一行或一列为零则行列式为零.
定义: 行列式的转置 a11 a12 a1n
记 D a21 a22 a2n an1 an2 ann
a11 a21 an1
DT a12 a22
1 c
1
1 d2
1 d
0.
DT
1 tb1 p1b2 p2 bnpn
1 t a p11a p2 2 a pnn .
又因为行列式D可表示为 D 1 t ap11ap2 2 apnn .
故 D DT .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质3 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
故 D1 1 t1a1 p1 aipj a jpi anpn D.证毕
[注] 交换i，j 两行，记作 ri rj ; （row 行） 交换i，j 两列，记作 ci c j ; （column 列）
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D D,
p11
0
D
pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
思考题 计算 4 阶行列式
a2
1 a2
a
1 a
1
D
b2
1 b2
c2
1 c2
b c
11 b 11 c
d
2
1 d2
d
1 d
1
已知 abcd 1
思考题解答
a21 a2i k a2 j a2 j
an1 ani anj anj
a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n
ci
kcj
a21
(a2i ka2 j )
a2 j
a2 j
an1 (ani kanj ) anj anj
二、例题与练习
2 1 41
例１
3 1 2 1
D 0.
性质4 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k，等于用数 乘k 此行列式.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
[注] 行的变换，记作 ri k ; 列的变换，记作 ci k ;
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质6若行列式的某一列（行）的元素都是两数之
和，
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
D a21 a22 (a2i a2 i ) a2n
an1 an2 (ani an i ) ann
则D 等于下列两个行列式之和：
1 t a1p1 a jpi aip j anpn
1 ta1 p1 aipj a jpi anpn ,
其中1 i j n 为自然排列,
t为 排 列p1 pi p j pn 的 逆 序 数.
设 排 列p1 pi p j pn 的 逆 序 数 为t1, 则有
1t 1 t1 ,
a11 a1i a1n a11 a1i a1n D a21 a2i a2n a21 a2i a2n
an1 ani ann an1 an i ann
性质7把行列式的某一列（行）的各元素乘以同
一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列 式不变．
例如
a11 a1i a1 j a1n
解
a2 a 1 1
a
b2 b 1 1
D c2
c
b 1
1
c
d2 d 1 1
d
1
1
a2 a a 1
1
1
b2 b b 1
1
1
c2 c c 1
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1 1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
11 1 b2 b
1
1 c2
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
性质5 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零．
证明 a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain
k 0.
kai1 kai2 kain