中考数学压轴题专题平行四边形的经典综合题及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠.

（1）如图1，若120DAB ∠=︒，且90B ∠=︒，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.

（2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=︒”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.

（3）如图3，若90DAB ∠=︒，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.

【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=

.理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD=12AC ，AB=12

AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题；

（3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题；

试题解析：解：（1）AC=AD+AB ．

理由如下：如图1中，

在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，

∴∠D=90°，

∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ，

∴∠DAC=∠BAC=60°，

∵∠B=90°，

∴AB＝1

2

AC，同理AD＝

1

2

AC．

∴AC=AD+AB．

（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，

∵∠BAC=60°，

∴△AEC为等边三角形，

∴AC=AE=CE，

∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，

∴∠DCB=60°，

∴∠DCA=∠BCE，

∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，

∴△DAC≌△BEC，

∴AD=BE，

∴AC=AD+AB．

（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：

过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，

∴DCB=90°，

∵∠ACE=90°，

∴∠DCA=∠BCE，

又∵AC平分∠DAB，

∴∠CAB=45°，

∴∠E=45°．

∴AC=CE．

又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，

∴△CDA ≌△CBE ，

∴AD=BE ，

∴AD+AB=AE ．

在Rt △ACE 中，∠CAB=45°，

∴AE ＝245AC AC cos ︒＝ ∴2AD AB AC +＝.

2．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 和ACGF ，则图中的两个三角形就是互补三角形．

（1）用尺规将图1中的△ABC 分割成两个互补三角形；

（2）证明图2中的△ABC 分割成两个互补三角形；

（3）如图3，在图2的基础上再以BC 为边向外作正方形BCHI ．

①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI 的面积． ②若△ABC 的面积为2，求以EF 、DI 、HG 的长为边的三角形面积．

【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6

【解析】

试题分析：（1）作BC 边上的中线AD 即可．

（2）根据互补三角形的定义证明即可．

（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．

②平移△CHG 到AMF ，连接EM ，IM ，则AM=CH=BI ，只要证明S △EFM =3S △ABC 即可． 试题解析：（1）如图1中，作BC 边上的中线AD ，△ABD 和△ADC 是互补三角形．

（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．

∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，

∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠EAF+∠BAC=180°，

∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．

∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，

∴∠EAH=∠BAC，

∵AF=AC，

∴AH=AB，

在△AEH和△ABC中，

∴△AEH≌△ABC，

∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．

（3）①边长为、、的三角形如图4所示．

∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，

∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．

②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，

∵AM∥CH，CH⊥BC，

∴AM⊥BC，

∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，

∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，

∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，

∴△AEM≌△DBI，

∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，

∴△DBI和△ABC是互补三角形，

∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，

∴S△EFM=3S△ABC=6．

考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积

3．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．

（1）当点N落在边BC上时，求t的值．

（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．

（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．

（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．

【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）

t=1或

【解析】

试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；

（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．

（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．