2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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A题车灯线光源的优化设计参考答案

A题车灯线光源的优化设计

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。

该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。

请解决下列问题：

（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。

（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。

（3）讨论该设计规范的合理性。

注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

四. 反射光亮区的计算

分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为反射亮点。所有这些亮点的集合即为反射光亮区。亮区的上半部分由下图所示(横坐标为x轴，纵坐标为y轴，单位为mm),下半部分与上半部分是关于x轴对称的。

汽车前照灯线光源的优化设计（2）

汽车前照灯分为"近"和"远"两个档位，"近光"的距离取的是汽车前照灯正前方的一恒定距离（国际通用的标准为25米远）。汽车的配光性能可以通过在接收屏上测光强等手段来衡量。针对一个已经提出配光性能要求的汽车前照灯光源设计问题，本文提出了"双向蒙特卡罗方法"，此方法能够大大节省计算量，使计算量至少降低了一个数量级（具体数据见正文中第五部分的表格）；同时，在具体求解时还根据题目特点，使用了进一步优化计算的逆向蒙特卡罗法。

计算接收屏上定接收点的能量时采用蒙特卡罗光能算法：将光源发出的光束细分为光线后，对每条光线依据反射定理及空间解析几何等有关知识，计算出此条光线最终是否落在屏上的定点，以此统计屏上定点的光线数目。

计算线光源最小功率时建立了优化模型：

线光源能量P等于其功率密度h与长度a的乘积，使其最小是第一个目标，另外一个目标是k＝EB/EC 在大于2倍的前提下与2尽量接近,这里EB、EC分别表示B、C两点上的光能量。在此两个目标值的基础上兼顾到对实际生产有意义的光源长度精度值限制，求出了最优长度为3.90mm。

根据几何光学的光路可逆原理，进行光路的逆转，将原来的线光源与接收屏上的点转变为线接收器与点光源，此时在线光源与接收屏上的点之间建立了"联系"的光线，虽然能量分布产生了变化，但边界点的轨迹是不变的。即：如果把屏上点N当作点光源时没有光线照射到线接收器上，那么线光源发出的光也就不会落在点N上。这样用逆向蒙特卡罗法计算出所有这种点的集合，其补集即为所求亮区域。

本文对模型的计算量简化程度进行了定性分析，验证了模型的合理性，并以此论证了采用双向光路追迹的意义，又对第二个问题进行了扩展，仍然使用双向蒙特卡罗法，求出了总的屏上光能量分布情况，并绘制了等高线描述的光能量分布图，对总光能分布的特点进行了详细的分析。

特别地，本文在最后讨论了模型在实际生产中的应用与变化，从结构、质地、物理性质等方面指出了模型适用性与有待改进的地方，增强了模型的实用性。

汽车前照灯线光源的优化设计（3）

一、问题重述

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。

该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。

请解决下列问题：

（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。

（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。

（3）讨论该设计规范的合理性。

二、模型假设

1、反射面上无能量损耗。

2、根据汽车制造业的惯例，车灯设计中只使用几何光学的光路追迹法，物理光学理论中的干涉衍射及色散等因素对光能量的影响不予考虑。则空间一点的光强度与通过该点的光线数目成正比且不受光程影响。（此段论述参考了2001年广西省南宁市汽车配件一厂的前照灯设计课题中的有关假设）

3、线光源能量分布均匀，功率密度一定时总功率与长度成正比。

三、符号说明

四、问题分析与模型建立

为了便于后面的分析，首先提出以下定理。

引理：光路可逆。

由引理可以推出：

定理1：设从线光源正向光路追迹到屏上点的光线与抛物面上的作用域的范围为∑（若作用域为一个个离散点则∑代表点集），从屏上点发光追迹到线光源的光线与抛物面的作用域的范围为∑'（若作用域为一个个离散点则∑'代表点集），则有

∑＝∑'

定理2：当光源发光光强一定时，接收面上的光强度等于面上各微元面收到的光线数目ｎ之和成正比。

A:问题分析

此问题的难点在于对于抛物面这样一个旋转对称的曲面，只有对称轴上的点才具有这样的对称性，而非轴上点（即线光源上除焦点以外的所有点）对抛物面存在一个离焦的问题。那么如果想从理论上寻找一些简化的光路表达式，不是一件容易的事。因此我们的主要方向在于寻找能够降低计算量的办法。

光路逆向与双向光路追迹的提出

为了确定光线与抛物面的作用轨迹，追迹从线光源发出到达屏上的光线需要在整个旋转抛物面上求解，而若光路逆向（即假设B、C两点为总能量均为K的点光源，而原线光源为长度为a的线接收器，B，C发出的光线经过抛物面反射后部分落在线接收器），由于屏与抛物面相隔距离很远，从屏上点光源发出的光线追迹时只需取空间一个很小的立体角就能够分析完全可能照射到抛物面上的所有光线。则我们初步推测如果能够合理利用逆向追迹的这一特点，就能够对降低计算量做出贡献。

逆向求解时"倒置"了光源，此时光线在全空间的强度分布产生了变化，左边上下两图反映了光源倒置前后的光能分布变化。可见通过O、N两点的光线疏密程度均发生了改变，而从现有数据无法计算出"光源倒置"前后的全空间能量分布具体变化情况，即单独用逆向法不能够得出正确的能量关系，也就不能解决第一问所提出的问题。但又由定理1，此方法能够求解出线光源上的光线与抛物面的作用域∑。（同样，因为第二问只需要求接收屏上的亮区，即线光源上的光线与接收屏的作用域范围，此方法可以用来巧解本文第二问中的有/无光照的分界线）