弹性力学-第三章 应力张量 应变张量-1

n3=a3’3
作斜面abc垂直于x’轴，该斜面上的应力矢量为T。T在 旧坐标系下的三个分量为T1， T2 和T3 ，则
由斜面应力(Cauchy)公式
z’ T1
z T3 T
y’
T2
y
x’ x
在新坐标系下，T在新坐标轴上的三个分量即为新系
下该斜面上的三个应力分量
。
因为
简写 同理
统一的变换式
问：是否存在一特定的斜截面，其上应力矢量T与截 面法线同向。即T为该截面上的正应力 ，
而剪应力为零。
设斜截面法线方向余弦为： 应力矢量T在坐标轴上的投影为：
由斜面应力(Cauchy)公式
故 或 将上式展开
当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应 力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正 应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向） 称为主方向。
§5-3 最大剪应力
将三个坐标轴取在三个相互垂直的主应力方向上，称 为应力主轴。
则应力分量为：
由斜面应力公式，斜面上应力矢量T的分量
斜面上的正应力： 斜面上的剪应力：
教材93页公式（3）有误
由
是m，n的函数， 取极值（ 也取极值）的条件是 即
上式第一式除
，第二式除
，得
（1）当
第一组解： 对应主平面，其剪应力为零。 第二组解：
第三章 应力张量 应变张量
参考教材第五章
在给定载荷作用下，物体内的任意斜截面上
应力（应变）的大小和方向是确定的，即一点的 应力状态是确定的。不随所取坐标系的不同而变 化。
一点的应力（应变）状态是用6个应力 （应变）分量来定义，而应力（应变）分量是 在一定的坐标系下确定的，且随坐标系的不同 的变化。
上述方程为
的齐次线性方程组， 且常数项都为
零。因为：
，故
不能同时为零，
所以方程组的系数行列式应为零，即
将行列式展开，得到求解主应力 的三次方程，称为 应力张量 的特征方程。
式中
设特征方程的三个根为 展开后有
比较上两式，有
，则 （特征方程）
对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的，
应力偏量也是一种应力状态，同样存在着不变量。
用
表示。
式中：
可见：应力分量在经坐标变换后，仍保持其对称性
统一的变换式
数学上将满足上式的一组量称为二阶张量，即决定一点 应力状态的9个应力分量 是一个二阶张量，称为应力 张量
§5-2 主应力与应力张量不变量
已知一点的应力分量 ，则任意斜截面上的应力矢量
斜截面上的应力矢量T不仅与该点的应力状态 有 关，且与斜面的方向 有关。
本章重点是讨论坐标变换时应力分量和应 变分量的变化规律。
§5-1 应力分量的坐标变换 应力张量
坐标变换包括平移、旋转和反射。 对右手坐标系，平移和旋转变换后仍保持右
手系，反射变换则变成左手系。
对平移变换，一点的应力分量保持不变。
本节主要讨论坐标旋转变换是应力分量的变化 规律
考察物体内任一点o，设oxyz为旧坐标系，其 单位矢量为e1、e2、e3，相应的应力分量为
对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与主平面成45°）的 平面，
设
，最大剪应力为：
（2）两主应力相等，设 由第二式，得
方程的解为
表示通过oz轴的平面，该组平面上，剪应力为零。
表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组 面上剪应力取最大值。
（3）三个主应力相等
空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面， 剪应力均为零。
不随坐标系的变换而变化。故
是不随坐标系的变换
而变化的量，称为应力张量不变量。
分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。
主应力的重要性质
1. 主应力为实数；
2. 三个主应力相互垂直；
即物体内任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主 平面，及对应的三个主应力。
（1）当
，有3个相互垂直的主应力；
（2）当
球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向 相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状 不变。
应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力 之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变 而形状改变。
静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到 很大值，材料也不产生塑性变形。 故：应力球形张量不产生材料的塑性变形； 应力偏量是产生塑性变形的真正原因。
该应力状态称为均匀受力状态，也称为静水应力状态。
§5-4 应力张量的分解
描述一点应力状态的9个应力分量构成一个对称应力张量
其中
称为应力张量的分量。
引入平均应力 则
应力张量可分解为两个张量之和
简写为 式中
称 为应力偏量， 为应力球形张量， 为单位张量。
球形张量是代表各向均匀拉伸或压缩的应力状态。
，与 垂直的平面上的任意方向都
为主应力方向，即该平面上任意方向都是主方向，且应力
值相同。
（3）当 力值相同。
，空间任意方向都是主方向，且应
3. 主应力的极值性；
（1）最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面 上正应力的最大（或最小）值；
设：
，则
（2）绝对值最大（或最小）的主应力是相应点处任意截 面上全应力T的最大（或最小）值。
设ox’y’z’为新坐标，其单位
矢量为e1’、e2’ 、e3’ 。相应
的应力分量为
z
z’
e3’
e3 e2’
e1
e2
Hale Waihona Puke Baidu
e1’
x’
x
y’ y
新旧坐标系下坐标轴间的方向余弦为
x
y
z
x’
l1=a1’1
m1=a1’2
n1=a1’3
y’
l2=a2’1
m2=a2’2
n2=a2’3
z’
l3=a3’1
m3=a3’2