双曲线的性质及应用

双曲线的性质及应用

教学目标

(一)知识教学点

使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．

(二)能力训练点

在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．

(三)学科渗透点

使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题．

教学重点：双曲线的几何性质及初步运用．

(解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明．)教学难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．

(解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．)

教学疑点：双曲线的渐近线的证明．

(解决办法：通过详细讲解．)

活动设计

提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结．

教学过程

(一)复习提问引入新课

1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？

请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．

2．双曲线的两种标准方程是什么？

再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．

(二)类比联想得出性质(性质1～3)

引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．<见下页>

(三)问题之中导出渐近线(性质4)

在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计

仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．

接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？

下面，我们来证明它：

双曲线在第一象限的部分可写成：

当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．

现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字

母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字

这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精

再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．

(四)顺其自然介绍离心率(性质5)

由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：

变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．

这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

(五)练习与例题

1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．

由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3．

焦点坐标是(0，-5)，(0，5)．

本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结．

解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：

化简得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

这就是双曲线的标准方程．

由此例不难归纳出双曲线的第二定义．

(六)双曲线的第二定义

1．定义(由学生归纳给出)

平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=

叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．

2．说明

(七)小结(由学生课后完成)

将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．

五、布置作业

1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．

(1)16x2-9y2=144；

(2)16x2-9y2=-144．

2．求双曲线的标准方程：

(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；

(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；

曲线的方程．

点到两准线及右焦点的距离．

作业答案：

距离为7

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