第2章质点运动学习题解答

第2章质点动力学习题解答

2-1 如图所示，电梯作加速度大小为a 运动。物体质量为m ，弹簧的弹性系数为k ，?求图示三种情况下物体所受的电梯支持力（图a 、b ）及电梯所受的弹簧对其拉力（图c ）。

解：（a ）ma mg N =- )(a g m N += （b ）ma N mg =- )(a g m N -= （c ）ma mg F =- )(a g m F +=

2-2 如图所示，质量为10kg 物体，?所受拉力为变力2132

+=t F （SI ），0=t 时物体静

止。该物体与地面的静摩擦系数为20.0=s μ，滑动摩擦系数为10.0=μ，取10=g m/s 2，求1=t s 时，物体的速度和加速度。

解：最大静摩擦力)(20max N mg f s ==μ

max f F >，0=t 时物体开始运动。

ma mg F =-μ，1.13.02+=-=

t m

mg

F a μ 1=t s 时，)/(4.12s m a =

dt

dv a =

，adt dv =，??+=t v dt t dv 02

01.13.0

t t v 1.11.03+=

1=t s 时，)/(2.1s m v =

2-3 一质点质量为2.0kg ，在Oxy 平面内运动，?其所受合力j t i t F

232+=（SI ），

0=t 时，速度j v 20=（SI ），位矢i r

20=。求：（1）1=t s 时，质点加速度的大小及方向；（2）

1=t s 时质点的速度和位矢。

解：j t i t m F a

+==

22

3 2

2

3t a x =

，00=x v ，20=x ??

=t

v x dt t dv x

020

23，2

3

t v x =

??

?==t

x

t

x dt t dt v dx 03

2

02，28

4+=t x

t a y =，20=y v ，00=y

?

?

=t

v y tdt dv y

02

，22

2

+=t v y

??

?+==t

y

t

y dt t dt v dy 02

0)22(，t t y 26

3+=

（1）1=t s 时，)/(2

32s m j i a

+=

（2）j t i t v

)22(223++=

，1=t s 时，j i v 2521+= j t t i t r

)26

()28(34+++=，1=t s 时，j i r 613817+= 2-4 质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的关系；（2）子弹射入沙土的最大深度。

解：依题意kv f -=，

（1）m kv dt dv a -==

，??-=t v v dt m

k

v dv 0)(0，解得：t m k

e v v -=0 （2）根据动量定理

00

0)(mv kdx dt kv x

t

-=-=-??

，解得： k

m v x 0

=

即子弹射入沙土的最大深度k

m v x 0

=

2-5 一悬挂软梯的气球总质量为M ，软梯上站着一个质量为m 的人，共同在气球所受浮力

F 作用下加速上升。若该人相对软梯以加速度m a 上升，问气球的加速度如何？

解：设气球开始时的加速度为a ，当人相对软梯以加速度m a 上升时的加速度为a '

当人相对软梯以加速度m a 上升时，有：

??

?'+=-'

=--)

(a a m mg T a M T Mg F m 解以上两式可得：m ma a m M g m M F +'+=+-)()(??（1） 开始时刻：a m M g m M F )()(+=+-??（2） 两种（1）（2）式比较可知，a a <'，气球的加速度变小。

2-6 如图所示，在一列以加速度a 行驶的车厢上装有倾角

30=θ的斜面，并于斜面上放一物体，已知物体与斜面间的最大静摩擦系数2.0=S μ，若欲使物体相对斜面静止，则车厢的加速度应有怎样限制？

解：静摩擦力满足：N f s μ<<0

当最大静摩擦力的方向沿斜面向上时，加速度最小。

?

?

?=+=-mg N N ma N N s s θμθθμθsin cos cos sin min

解以上两式得：)/(39.3sin cos )

cos (sin 2min s m g a s s ≈+-=

θ

μθθμθ

当最大静摩擦力的方向沿斜面向下时，加速度最大

?

?

?=-=+mg N N ma N N s s θμθθμθsin cos cos sin min

解以上两式得：)/(80.8sin cos )

cos (sin 2min s m g a s s ≈-+=

θ

μθθμθ

欲使物体相对斜面静止，则车厢的加速度的值应满足2

2

/80.8/39.3s m a s m ≤≤ 2-7 棒球质量为14.0kg ，用棒击打棒球的力随时间的变化关系如图所示。设棒被击打前后速度增量大小为70 m/s ，求力的最大值。设击打时不计重力作用。 解：根据面积法可求出力的冲量

m a x m a x 04.008.02

1

F F I =??=

根据动量定理，有v m mv mv I ?=-=12 代入数据解得：)(245max N F =

2-8 子弹在枪筒中前进时受到的合力可表示为t F 5103

4

500?-

= (SI)，子弹由枪口飞出时的速度为300 m/s ，设子弹飞出枪口时合力刚好为零，求子弹的质量。 解：子弹飞出枪口时合力刚好为零，有：0103

4

5005=?-t ，)(1075.330s t -?= )(94.0103

25002

0500

Ns t t Fdt I t =?-

==

?

(2)根据动量定理mv mv mv I =-=0，计算得

())(1.3101.33g kg v

I

m =?==

-

2-9 有两个质量均为m 的人站在停于光滑水平直轨道的平板车上，平板车质量为M 。当他们从车上沿相同方向跳下后，车获得了一定的速度。设两个人跳下时相对于车的水平分速度均为u 。试比较两个人同时跳下和两个人依次跳下这两种情况下，车所获得的速度的大小。 解：（1）两人同时跳下。

在地面参考系中，设平板车的末速度为v ，则两个人跳下时相对地面的速度为u v - 根据动量守恒，有：)(20u v m Mv -+=

)

2(2m M m u

v +=

（2）一个人跳下，另一个再跳下。

设第一个人跳下车后车的的速度为0v )()(000u v m v m M -++= m

M mu

v 20+=

设另一个再跳下车后车的速度为v ，以车和车上的人为质点系，有： )()(0u v m Mv v m M -+=+ u m

M m

m M m m M mu v m M v )2()(0+++=+++=

2-10 质量为m 的人拿着质量为0m 的物体跳远，设人起跳速度为0v ，仰角为θ，到最高点时，此人将手中的物体以相对速度u 水平向后抛出，问此人的跳远成绩因此而增加多少？ 解：人不向后抛出物体所能跳过的距离为θcos 00t v x =，式中0t 为人跳离地面的时间。

由021sin 2

00=-

=gt t v y o θ可解得：g

v t θsin 200= θcos 00t v x =g

v g v θ

θθ2sin cos sin 22

02

0=

=

在最高点，人若不向后抛出物体，此时速度为θcos 0v v x =，

当人在最高点将手中的物体以相对速度u 水平向后抛出时，设人在水平方向的速度为

x v '，根据动量守恒定律，有：)(cos )(000u v m v m v m m x x -'+'=+θ

000000cos cos )(m m u m v m m u m v m m v x ++

=+++=

'θθ 可见与不抛出物体时相比，人的速度增加了0

0m m u

m v v v x x +=

-'=?

此人增加的跳远距离为g

m m uv m t v l )(sin 20000+=

?

?=θ

2-11 有一正立方体铜块，边长为a ，今在其下半部中央挖去一截面半径为4/a 的圆柱形洞，如图所示，求剩余铜块的质心位置。

解：由质量分布的对称性可知，铜块的质心应在此平面内通过圆洞中心的竖直线上。完整铜块的质心应在丄立方体中心O 处。把挖去的铜柱塞回原处，其质心应在其中心A 处。挖去铜柱后剩余铜块的质心应在AO 连线上，设在B 处。

由于挖去的铜柱塞回后铜块复归完整，由此完整铜块的质心定义应有：

AO m BO m 21=，

其中22)4

(a

a m πρ=为挖去铜柱的质量，

)16

1()4

(3

23

1π

ρπρρ-=-=a a a a m 为挖铜

柱后剩余铜块的质量。

a a AO m m BO 061.04

16/116/12=?-==

ππ 即剩余铜块的质心在正方体中心上方a 061.0处

2-12 用劲度系数为k 的轻质弹簧将质量为1m 和2m 的两物体A 和B 连接并平放在光滑桌面上，使A 紧靠墙，在B 上施力将弹簧自原长压缩l ?，如图所示。若以弹簧、A 和B 为系统，

在外力撤去后，求：（1）系统质心加速度的最大值；（2）系统质心速度的最大值。 解：（1）初始时，系统平衡，系统受到两个外力作

用：墙对A 的支持力N 和外力F ，且l k N F ?==

当撤去外力的瞬时，合外力最大，有：

l k N F ?==max

根据质心运动定律，有：max 21max )(c a m m F +=， 系统质心加速度的最大值为：)

()(2121max max m m l

k m m F a c +?=

+=

（2）撤去力后，物体B 开始运动，此时物体A 仍保持不动。

当B 运动使弹簧恢复到原长位置时，此时有：0=N ，0=A v ，物体B 的速度最大。 根据机械能守恒定律，有

22

2)(2121l k v m B ?=，2

m k l v B ?= 此时系统的动量为2

2210m k

l

m v m v m P B A ?=+=。 此后，系统只受到弹力的作用，系统的动量守恒，即：2

221m k l

m v m v m P B A ?='+'= P v m m c =+)(21 2

221m k

l

m v m v m P B A ?='+'= 系统质心速度的最大值：2

2

12max m k m m l m v c +?=

2-13 人造卫星在地球引力作用下沿椭圆轨道运动，地球中心位于椭圆轨道的一个焦点上。卫星近地点离地面的距离为439km ，卫星在近地点的速度大小为8.12 km/s 。设地球的半径为6370 km ，已知卫星在远地点的速度大小为6.32 km/s 。求卫星在远地点时离地面的距离。 解：卫星在绕地球运动时受到到的引力为万有引力，它对地球中心的力矩为零，因此卫星在运动中角动量守恒。

设卫星在近地点距地心的距离为1r ，速度大小为1v ，在远地点的距离为2r ，速度大小为

2v ，由动量守恒定律，有：2211r mv r mv =

)(874832

.6)

4396370(12.82112km v r v r =+?==

卫星在远地点时离地面的距离：)(237863708748km h =-=

2-14 炮弹的质量为20kg ，出口的速度5000=v m/s ，炮身及支架置于光滑铁轨上，左端连同支架的共同质量为600kg ，火药燃烧时间为001.0s ，弹簧劲度系数为1000k N/m ，求：（1）发射时铁轨约束力的平均值；（2）炮身后座的速度；（3）弹簧的最大压缩量。

解：发射炮弹时内力远大于外力，x 方向上动量守恒。 设炮身后座的速度为v ，有： 0)30cos (0=--Mv v v m

m

M m v v +=

30cos 0

（1）0-=?Mv t F

t Mv F ?=)(1038.8)(30cos 60N t

m M Mmv ?=?+=

（2）)/(97.1330cos 0s m m

M mv v =+=

（3）

222

121kx Mv = )(34.0m k

M

v

x == 2-15 质量为M 的长为L 的长木板，放置在光滑的水平面上，长木板最右端放置一质量为m 小物体，设物体和木板之间静摩擦系数为s μ，滑动摩擦系数为μ。（1）要使小物体相对长

木板无相对滑动，求加在长木板上的最大力1F ；（2）如在长木板上的恒力2F （12F F >）欲把长木板从小物体抽出来，所做功多少？

解：（1）最大静摩擦力mg f s μ=max

要使小物体相对长木板无相对滑动，此时的静摩擦力mg f s μ≤。即g m

f

a s μ≤=

a m M F )(+= g m

M F

a s μ≤+=

∴，即g m M F s )(+≤μ

所以）要使小物体相对长木板无相对滑动，加在长木板上的最大力g m M F s )(1+=μ （2）设木板的加速度为M a ，物体的加速度为m a ，有：

M Ma mg F =-μ2，M

m g

F a M μ-=

2

m ma mg =μ，g a m μ=

L t a t a m M =-222121，g

m M F ML a a L t m M )(2222+-=-=μ 2221

t a F A M ?

=g

m M F mg F L F )()(222+--=μμ 2-16 一质量为m 的质点系在细绳的一端，绳的另一端固定在水平面上。此质点在粗糙的水平面上作半径为r 的圆周运动。设质点最初速率是0v ，当它运动一周时，速率变为2/0v ，求（1）摩擦力所做的功；（2）滑动摩擦系数；（3）在静止以前质点运动的圈数。 解：（1）2020202028

321)2(213121mv mv v m mv mv A f -=-=-=

（2）2

08

3

2mv r mg A f -=?-=πμ

gr

v πμ1632

-=

（3）20202

10832mv Nmv rN mg -=-=?-πμ 3

4

=

N （圈） 2-17 用铁锤把钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比，且锤与铁钉的碰撞为完全非弹性碰撞。第一次敲击，能把钉子打入木板2

100.1-?m ，若第二次打击时，保持第一次打击钉子的速度，则第二次能把钉子打多深？ 解：依题意，kx f -=，k x

E kxdx A ?=-=

?

第一次打击，k x E kxdx A ?=-=?

1

1，

第二次打击，k x x E kxdx A ?=-=

?

2

1

2

两次打击k E ?相同，有：

??

-=-2

1

1

x x x kxdx kxdx

)(4.1212cm x x ==

)(4)(4.012mm cm x x x ==-=?

2-18 一质点在j x i y F 322

+=（SI ）作用下，从原点O 出发，分别沿如图所示的折线Oab

和直线路径Ob 运动到b 点，分别求这两个过程力所做的功。 解：2

2y F x =，x F y 3= ?

?+=dy F dx F A y x

质点沿折线Oab 运动到b 点时

oa 段 0=y ，0=x F ，

x F

y 3=，0=dy

00=a A

ab 段 3=x ，y F x 3=，0=dx

N F y 9=，

)(1892

J dy A ab ==?

)(180J A A A ab oa ab =+=∴

质点沿直线路径Ob 运动到b 点时，其运动轨道为x y 3

2= )(172

998323

202

3

20

20J dy y dx x xdy dx y A b ?

??

?=+=+=

2-19 如图所示，摆长为L ，摆锤质量为m ，起始时摆与竖直方向的夹角为θ。在铅直线上距悬点x 处有一小钉，摆可绕此小钉运动，问x 至少为多少才能使摆以钉子为中心绕一完整的圆周？ 解：

)cos 1(

2

12

0θ-=mgL mv 若摆恰能以钉子为中心绕一完整的圆周，此时绳子受力为

零，在最高点处的向心力为重力。

设摆在最高处的速度为v ，则有：

2022

121)(2mv mv x L mg =+

- x

L v m m g -=2

联立以上三式，解得：L x )cos 5

2

53(θ+= 即L x )cos 5

2

53(θ+

≥才能使摆以钉子为中心绕一完整的圆周。 2-20 劲度系数为k 的轻弹簧，原长为0L ，下端挂一质量为m 物体，?初始时静止于平衡位置。用力拉物体使其下移L ，如图所示，试分别以原长位置和平衡位置为重力势能和弹簧弹性势能为零势能参考位置，写出物体下移L 时系统的总机械能。

解：以原长位置为重力势能和弹簧弹性势能的零参考位置时

)()(212

1L k mg mg L k mg k E +-+=k

g m kL 221222-=

以平衡位置为重力势能和弹簧弹性势能的零参考位置时 m g L KL dx x k mg k E L

P +=+-=

?2

21)(

2222

121kL mgL mgL kL E =-+=

2-21 如图所示，弹簧两端分别连结质量为1m 和2m 的物体，置于地面上，?设12m m >，问：（1）对上面的物体必须施加多大的正压力F ，才能使在力F 撤去而上面的物体跳起来后恰能使下面的物体提离地面？（2）如1m 和2m 交换位置，情况又如何？ 解：（1）平衡位置弹簧压缩

k

g

m x 10=

，加压力F 后又压缩k

F

x =

1。取此位置为重力势能零点，取弹簧原长位置为弹性势能零点。

当弹簧伸长k

g

m x 22=

时，能提起2m 。 根据机械能守恒定律，有：

)(2

1)(211021012

2x x k x x x g m kx +=+++ 解得：g m m F )(21+=

（2）如1m 和2m 交换位置，结果不变。

2-22 质量为m 的地球卫星在离地面高为h 的圆形轨道上做匀速率圆周运动，地球的半径为

R ，求：（1）该卫星的速率；（2）设卫星和地球相距无穷时，系统引力势能为零，求作圆周

运动时系统的机械能。

解：（1） h R v m

h R Mm G +=+2

2

)(， 将2R

M

G g =代入得：h

R gR v +=

2

（2）h R Mm G mv E +-=2

21)(2h R Mm G +-=)

(22h R mgR +-

=