机器人学第六章(机器人运动学及动力学)

第六章 机器人运动学及动力学
6.1 引论
到现在为止我们对操作机的研究集中在仅考虑动力学上。

我们研究了静力位置、静力和速度，但我们从未考虑过产生运动所需的力。

本章中我们考虑操作机的运动方程式——由于促动器所施加的扭矩或作用在机械手上的外力所产生的操作机的运动之情况。

机构动力学是一个已经写出很多专著的领域。

的确，人们可以花费以年计的时间来研究这个领域。

显然，我们不可能包括它所应有的完整的内容。

但是，某种动力学问题的方程式似乎特别适合于操作机的应用。

特别是，那种能利用操作机的串联链性质的方法是我们研究的天然候选者。

有两个与操作机动力学有关的问题我们打算去解决。

向前的动力学问题是计算在施加一组关节扭矩时机构将怎样运动。

也就是，已知扭矩矢量τ，计算产生的操作机的运动Θ、Θ和Θ。

这个对操作机仿真有用，在逆运动学问题中，我们已知轨迹点Θ、Θ和Θ，我们欲求出所需要的关节扭矩矢量τ。

这种形式的动力学对操作机的控制问题有用。

6.2 刚体的加速度
现在我们把对刚体运动的分析推广到加速度的情况。

在任一瞬时，线速度矢量和角速度矢量的导数分别称为线加速度和角加速度。

即
B
B Q Q B
B
Q Q 0V ()V ()d V V lim dt t t t t t
∆→+∆-==∆ （6-1）
和
A
A Q Q A
A
Q Q 0()()d lim dt t t t t t
∆→Ω+∆-ΩΩ=Ω=∆ （6-2）
正如速度的情况一样，当求导的参坐标架被理解为某个宇宙标架{}U 时我们将用下面的记号
U A AORG V V = （6-3）
和
U A A ω=Ω （6-4）
6.2.1 线加速度
我们从描述当原点重合时从坐标架{}A 看到的矢量B
Q 的速度
A
A B A A Q B Q B B V V B
R R Q =+Ω⨯ （6-5）
这个方程的左手边描述A
Q 如何随时间而变化。

所以，因为原点是重合的，我们可以重写（6-5）为
A A
B A A B B Q B B d ()V dt
B B R Q R R Q =+Ω⨯ （6-6） 这种形式的方程式当推导对应的加速度方程时特别有用。

通过对（6-5）求导，我们可以推出当{}A 与{}B 的原点重合时从{}A 中看到的B
Q 的
加速度表达式
A
A B A A A A Q B Q B B B B d d V (V )()dt dt
B
B R R Q R Q =
+Ω⨯+Ω⨯ （6-7） 现在用（6-6）两次── 一次对第一项，一次对最后一项。

（6-7）式的右侧成为：
A B A A A A B
Q B B Q B B A
A
A
A B B
Q B B
V ()
+Ω⨯+Ω⨯+Ω⨯+Ω⨯B B B
B
R R V R Q
R V R Q （6-8）
把相同两项合起来
A
B A A A A B
Q B B Q B B A
A
A
B B B
V 2 ()
+Ω⨯+Ω⨯+Ω⨯Ω⨯B B
B
R R V R Q
R Q （6-9）
最后，为了推广到原点不重合的情况，我们加上一项给出{}B 的原点的线加速度的项，得到下面的最后的一般公式
A B A A A A BORG B Q B B Q B B A
A
A
B B B
V 2 ()
++Ω⨯+Ω⨯+Ω⨯Ω⨯A
B B
B
V R R V R Q
R Q （6-10）
对于我们将在本章上考虑的情况，我们总是有B
Q 为不变，或
B
Q Q V 0==B V （6-11）
所以，（6-10）简化为
A
A A A A A Q BORG
B B B B B V ()=+Ω⨯Ω⨯+Ω⨯A B B
V R Q R Q （6-12）
我们将用这一结果来计算操作机杆件的线加速度。

6.2.2 角加速度
考虑{}B 以A B Ω相对于{}A 转动的情况，而{}C 以B
C Ω相对于{}B 转动。

为了计算A
C Ω我们把矢量在坐标架{}A 中相加
A
A A B
C B B C Ω=Ω+ΩR （6-13）
求导后我们得到
A
A A B
C B B C d dt
Ω=Ω+
ΩR （6-14） 现在，把（6-6）用到（6-14）的末项中去，我们得到
A
A A
B A A B
C B B C B B C Ω=Ω+Ω+Ω⨯ΩR R （6-15）
我们将把这个结果用来求操作机杆件的角加速度。

6.3 质量分布
在单自由系统中，我们常常谈到刚体的质量。

在绕一根简单轴转动的运动情况下，惯性
矩这一术语是大家所熟悉的。

对一个在三维空间中自由运动的刚体，有无穷多个可能的转动轴。

在绕一任意轴转动的情况下，我们需要有一个描绘刚体质量分布的方法。

这里我们介绍为这个目的的
惯性张量，它可以看作为物体标量惯性矩的广义化。

我们现在将定义一组量，它给出刚体关于参考坐
标架的质量分布的信息。

图6-1示出一个带着固结标架的刚体。

虽然惯性张量可以相对于任何标架来定义，我们将最经常地考虑定义在与刚体相固结的标架中的惯性张量。

在重要的地方我们将用一个前上标来指明给定惯性张量的参考标架。

相对于标架{}A 的惯性张量是表示成下面的33⨯矩阵形式
x x
x y x z A
x y
y y y z x z y z
z z ⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
I I I I I I I I I I （6-16） 式中，标量元素由下列公式给出
22x x 22y y 22z z x y x z y z ()()()ρν
ρν
ρν
ρν
ρν
ρν
=+=+=+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰V
V
V
V
V
V
I y z d I x z d I x y d I xy d I xz d I yz d （6-17）
其中刚体由微分体积单元νd 组成，包含密度为ρ的材料。

每一体积单位的位置由矢量A
P 确定,如图6-1所示，而
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
A
x P y z 元素x x y y z z I I I ，，称为质量惯性矩。

注意每种情况下我们是对质量单元ρνd 乘以对应轴垂直距离的平方来积分。

带混合下标的称为质量惯性积。

对一给定刚体这一组6个量将与
它们定义所在的标架的位置和方位有关。

若我们可以任意选取参考标架的方位，有可能选成使惯性积为零。

这样的标架的轴称作主轴，而对应得的惯性矩称作主惯性矩。

例 6-1
求出关于图6-2所示的坐标系的均匀密度ρ的矩形物体的惯性张量。

首先，我们计算x x I 。

用体积单元ν=d dxdydz ，我们得到
22
2
2x x 000
3332
0()() ()()333ρρρρ
=+=+=+=+⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰h
l
w
h
l
h
I y z dxdydz y
z w dydz
l hl w h lw z l w dz
22()3
=+m
l h （6-18）
式中，m 为物体的全部质量。

交换各项，我们可以用观察求出y y I 和z z I
2
2y y ()3
=
+m I w h （6-19） 和
22z z
()3
=+m
I l w （6-20） 其次我们计算x y I
2
x y 0000
022
2 44
ρρρ====⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰
h
l w
h
l
h
w I xy dxdydz y dydz
w l m
dz wl （6-21）
交换各项我们得到
x z 4
m
I hw =
（6-22） 和
y z 4
m
I hl =
（6-23） 因此，这个物体的惯性张量为：
22
2
222()344()434
()
44
3A
m m
m l h wl hw m m m I wl w h hl m m m hw hl l w ⎡⎤+⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥=+⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥+⎢⎥⎣
⎦
（6-24） 如说过的那样，惯性张量是参考标架的位置和方位的函数。

一个众所周知的结论，平行轴定理，是一种在参考坐标系改变的情况下如何计算惯性张量的改变的方法。

平行轴定理说明在原点位于质心处的标架的惯性张量在另一个参考标架中的惯性张量之间的关系。

在定理中{}C 为位于物体质心处，{}A 为任意变换后的标架，定理陈述为两个方程式〔Shames 〕
22z z z z x y x y ()A C c c A
C
c c
I I m x y I I mx y =++=+ （6-25）
式中，c x 、c y 和c z 为质心在{}A 中的位置。

其余的惯性矩和惯性积可以由（6-25）中x 、
y 、z 的置换计算出来。

例6-2
求出例6-1中描述的同一个物体的惯性张量，此时它是在原点位于物体质心处的坐标系中描述的。

我们应用平行轴定理（6-25），其中
12c c c x w y l z h ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
于是，我们求出
22
z z x y
()120
C
C
m I w l I =+= （6-26） 其余元素可以根据对称性求出。

这个写在质心处的坐标架中的结果惯性张量为：
22
2222()00120()0
1200()12C m l h m I w h m l w ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
（6-27） 由于结果是对角阵，{}C 必定代表这个物体的主轴。

下面是某些关于惯性张量的其他结论： 1．
如果参考标架的两根轴形成物体质量分布的对称平面，则带垂直于这个平面坐标的
下标的惯性积将为零。

2． 惯性矩必须总为正值。

惯性积则可正可负。

3． 在参考标架的方位改变中，三个惯性矩之和为不变量。

4．
惯性张量的固有值（特征值）是物体的主惯性矩。

相应的固有矢量是主轴。

大多数操作机的杆件的几何和组成都有点复杂，所以在实用中应用（6-17）是很困难的。

一个实用的选择是用测量装置（例如惯性摆）实际测量每个杆件的惯性矩而不是计算。

6.4 牛顿方程，欧拉方程
我们将把操作机的每个杆件考虑为刚体。

如果我们知道杆件的质心的位置和惯性张量，则它的质量分布的特性是完全表示出来了。

为了使这些杆件运动，我们必须使它们加速或减速。

对于这种运动所需的力是期望的加速度和杆件质量分布的函数。

牛顿方程和回转用的与它类似的欧拉方程描述了力、惯性和加速度之间是个什么样的关系。

6.4.1 牛顿方程
图6-3示出一刚体，其质心以加速度C V 在加速运动。

在这种情况下，作用在质心的造成这个加速度的力F 可以由牛顿方程给出为：
v C F m = （6-28）
式中，m 为刚体的总质量。

6.4.2 欧拉方程
图6-4示出一刚体以角速度ω回转着，角加速度为ω
C V
在这样的情况下，为了产生这个运动必须施加在刚体上的力矩可由欧拉方程给出：
C C N I I ωωω=+⨯ （6-29）
式中，C
I 为卸载标架{}C 中的刚体的惯性张量，{}C 的原点位于质心，如图6-4所示。

6.5 迭代牛顿－欧拉动力学公式
我们现在考虑计算对应于给定操作机轨迹的扭矩的问题。

假定我们已知关节的位置，速度和加速度（Θ、Θ、Θ）。

根据这些知识以及机器人运动学的知识，质量分布的信息等，我们可以计算出造成这个运动所需的关节扭矩。

6.5.1 向前迭代以计算速度和加速度
为了计算作用在杆件上的惯性力，需要计算在每个给定瞬时，操作机各杆件的回转速度，质心的线加速度和回转加速度。

这些计算将以迭代式的形式从杆1开始，逐次向外移动，一杆接一杆，直到杆n 。

在前面讨论了从杆件到杆件的回转速度的变换，给为：
11111ˆi
i i i i i i i i R z
ωωθ+++++=+ （6-30） 从（6-15）我们得到从杆件到杆件的角加速度的变换方程
1
1
11111111ˆˆi i i i i i i i i i i i i i i i R R z
z ωωωθθ++++++++++=+⨯+ （6-31） 各个杆的线加速度根据（6-12）可以得到为：
1
1
111(())i i i i i i i i i i i i i i i i v R P P v ωωω+++++=
⨯+⨯⨯+ （6-32）
我们也将需要各个杆件质心的线加速度，它也可由应用（6-10）求出
()i
i i i i i i Ci i Ci i i Ci i v P P v ωωω=⨯+⨯⨯+ （6-33）
式中，我们假想一个标架{}i C 固结于各个杆件而它的原点位于杆件质心处，而且与杆件标架{}i 有相同的方位。

注意方程式应用于杆1特别简单，因为00
000ωω==。

ω
6.5.2 作用在杆件上的力和扭矩
计算出各个杆件质心的线加速度和角加速度后，我们可以应用牛顿－欧拉方程（6-4节）来计算作用在各个杆件质心上的力和力矩。

i C i
C i
C i i F mv N I I ωωω
==
+⨯ （6-34）
式中，{}i C 的原点在各杆的质心处，而它的方位与杆件标架{}i 相同。

6.5.3 向后迭代以计算力和扭矩
计算出作用在各杆件上的力和扭矩后，现在剩下要做的是计算关节扭矩，它们将产生这些作用在杆件上的净力和扭矩。

我们根据对典型杆件的分离体图（见图6-5）写出力和力矩的平衡方程式就可以计算出这些关节扭矩。

各个杆件受到其相邻杆件所施加的作用力和扭矩，还承受一个惯性力和力矩。

我们对这些邻杆的作用力规定特殊的符号
11i i f i i n i i =-=-杆件作用到杆件的力；
杆件作用到杆件的力矩。

把作用在杆件i 上的力加起来我们得到一个力平衡关系
111i
i i i i i i i F f R f +++=- （6-35）
把扭矩对于质心加起来再让它们等于零，我们得到扭矩平衡方程式
111()()i
i i i i i i i i i i C i i i C i i N n n P f P P f +++=-+-⨯--⨯ （6-36）
用从力平衡关系（6-35）得来的结果再加上几个回转矩阵，我们可以把（6-36）写为：
1111111i
i i i i i i i i i i i i C i i i i i N n R n P F P R f +++++++=--⨯-⨯ （6-37）
最后，我们可以整理力和扭矩方程式使它们成为由较高编号邻杆。

图6-5 典型杆件的分离体图
111i
i i i i i i i f R f F +++=
+ （6-38）
1111111i
i i i i i i i i i i i i C i i i i i n N R n P F P R f +++++++=++⨯+⨯ （6-39）
这些方程式一杆接一杆地求值，从杆n 开始向机器人的基础进行下去。

这些向后力的迭代与前面介绍过的静力迭代相似，只是现在考虑了各杆的惯性力和力矩。

如同静力的情况那样，所需的关节扭矩可由取一杆作用于其邻杆的扭矩的Z 分量来求得
ˆi T i i i
n Z τ= （6-40） 注意对一个在自由空间运动的机器人，
1
1N N f ++和11N N n ++都让它为零，因此方程式的第
一个对杆n 的应用非常简单。

如果机器人与周围环境有接触，由于接触而产生的力和扭矩以
1
1N N f ++和11N N n ++不等于零而包括在力平衡中。

6.5.4 迭代的牛顿－欧拉动力学算法
由关节的运动来计算关节扭矩的完整的算法由两部分组成。

首先，杆件的速度和加速度从杆件1到杆件n 迭代地被计算出来，牛顿－欧拉方程式被用于各个杆件。

其次，反力和反力矩以及促动器扭矩从杆件n 回到杆1递归地被计算出来。

这些方程式概括如下： 向前 i ：05→
1
1
1111ˆi i i i i i i i i R z
ωωθ++++++=+ （6-41） 1
111111111ˆˆi i i i i i i i i
i i i i i i i R R z
z ωωωθθ++++++++++=
+⨯+ （6-42） 1
1
111(())i i i i i i i i i i
i i i i i i v R P P v ωωω+++++=
⨯+⨯⨯+ （6-43）
1
1
11111 11 111 11()i i i i i i i C i i C i i i C i i v P P v ωωω++++++++++++++=
⨯+⨯⨯+ （6-44）
1
111 1i i i i C i F m v +++++= （6-45） 1
111111111i i i i i i i i i i N I I ωωω++++++++++=+⨯ （6-46）
向后 i ：61→
111i
i i i i i i i f R f F +++=
+ （6-47）
1111111i
i i i i i i i i i i i i C i i i i i n N R n P F P R f +++++++=++⨯+⨯ （6-48）
ˆi T i i i i
n Z τ= （6-49）
6.5.5 在动力学算法中包括重力
作用在杆件上的重力的影响可以很简单地让0
0v G =来包括进去，其中G 为重力矢量。

这等于说机器人的基础以一个G 的加速度向上加速着。

这个假想的向上加速度对杆件造成的影响，和重力将造成的完全相同。

所以，不需额外的计算支出，重力的影响就被计算进去了。

6.6 封闭形式的动力学方程
方程式（6-41）到（6-49）给出了一个计算方案，在那里根据已知的关节位置，速度和加速度等，我们可以计算所需的关节扭矩。

和我们在前面推导计算雅可比雅可比的方程式一起，这些关系可以有两种用法：作为数值计算算法，或作为用来解析地推导符号方程式的算法。

用这些方程作为数值计算算法是吸引人的，因为方程式可以应用于任何带回转关节的机器人（对于带移动关节的机器人可以推导出一组类似的方程式）。

一旦对特定的操作机定出了惯性张量，杆件的质量， C i P 矢量和矩阵1
i i
R +等，这些方程式可以直接用来计算对应于任
何运动的惯性扭矩。

但是，我们经常有兴趣于得到方程式结构的更好的了解。

例如，重力项的形式是什么？重力影响的数量级是否和惯性力的相当？为了考察这种和那种问题，我们常常想写出逆动力学的封闭形式。

这些封闭形式的方程式可以对Θ、Θ和Θ符号地应用递归的牛顿－欧拉方程来推导出。

它与我们前面推导雅可比的符号形式是所做的相似。

6.6.1 操作机动力学的乘积和形式
对于操作机的封闭形式的运动方程式可以写成这样的形式，作用在各个关节的扭矩表达为乘积之和。

例6-3
计算图6-6所示2杆平面操作机的封闭形式的逆动力学方程式。

为了简单起见，假设质量分布极简单：所有质量作为一个点质量位于各杆件的末梢。

这意味写在质量中心处的各个杆件惯性张量为零矩阵（注意尽管各个杆件的惯性张量为零，我们仍将发现惯性项出现在动力学方程式中）。

首先我们确定将出现在递归牛顿－欧拉方程中的各种量
1
21 111 222211
1230033ˆ 0 0 0 0 0
C C P l X P l X P l X I I I f n ωω========== 和
图6-6 带杆件末端的点质
量的2杆
111110.00.00.00.0 1.0i i i
i i i c s R s c +++++-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
111
110.00.00.00.0 1.0i i i i i i c s R s c +++++⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
杆件1的向前迭代
1111110ˆ0Z ωθθ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ 1111110ˆ0Z ωθθ⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
1111
111100000100c s gs v s c g gc ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2
21111111
111111100000C l gs l gs v l gc l gc θθθθ⎡⎤-⎡⎤
-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2111111
1111110m l m gs F m l m gc θθ⎡⎤
-+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
1
1000N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（6-50~a f ）
杆件2的向前迭代
2
21200ωθθ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥+⎣⎦ 2
21200ωθθ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥+⎣⎦
222
2
111112112 1 22
222
2111112112 1 2000
100c s l gs l s l c gs v s c l gc l c l s gc θθθθθθ⎡⎤⎡⎤-+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=++⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
22
212112112 1 22
2
2
212112112 1 20()()0000C l l s l c gs v l l c l s gc θθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤
-+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++++⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2
221122112212221222
2211221122122212()()0m l s m l c m gs m l F m l c m l s m gc m l θθθθθθθθ⎡⎤-+-+⎢⎥=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2
2000N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（6-51~a f ）
杆件2的向后迭代
2
222f F =
2
222
21221212212212221200()n m l l c m l l s m l gc m l θθθθ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥++++⎣⎦
（6-52~a b ） 杆件1的向后迭代
2
2221212121
21222122
2111111
212
2111112121
21212122212()01()0
100m l s m l c m gs m l c s m l m gs f s c m l m gc m l c m l s m gc m l θθθθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤-+-+--+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦ 1
1222
21221212212212221221111122
21121221221112212212212120000()0 0()()n m l l c m l l s m l gc m l m l m l gc m l m l l s m l gs s m l l c m l gc c θθθθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥+⎢⎥
⎢⎥-+++++⎣⎦
（6-53~a b ）
取出i i n 的ˆZ
分量，我们求出关节扭矩
22122122122121221
2
21222
21221222121211
()(2)() 2()m l m l l c m m l m l l s m l l s m l gc m m l gc τθθθθθθθθ=+++++--+++
222212212122222122212()m l l c m l l s m l gc m l τθθθθ=++++
（6-54~a b ）
（6-54）式给出促动器扭矩作为关节位置，速度和加速度的函数表达式。

读者可以想像，6自由度操作机的解析方程式会非常复杂。

6.6.2 操作机动力学方程式的普遍结构
当牛顿－欧拉方程对任意操作机符号地估值时，它们产生一个可写为下面形式的动力学方程式
()()()M V G τ=ΘΘ+ΘΘ+Θ， （6-55）
式中，()M Θ为操作机的n n ⨯惯性矩阵。

()V ΘΘ，为离心和哥利奥里斯（Coriolis ）项的1n ⨯矢量。

()G Θ为重力项的1n ⨯矢量。

()M Θ和()G Θ的每项都是与Θ有关的复杂函数，Θ为操作机所有关节的位置。

()V ΘΘ，的每项为Θ和Θ两者的复杂函数。

我们可以把出现在动力学方程中的各项分离为各种类型而形成操作机的质量矩阵、离心和哥氏（Coriolis ）矢量以及重力矢量等。

例6-4
例6-3中操作机的操作机质量矩阵是什么？
（6-55）式定义了操作机质量矩阵。

它由所有乘Θ的项组成，而且是Θ的函数。

因此
222
22122211222122222
221222222()()l m l l m c l m m l m l l m c M l m l l m c l m ⎡⎤
++++Θ=⎢⎥+⎣⎦
（6-56） 任何操作机质量矩阵都是对称的和和正定的，因而总是可以求逆的。

进一步考察（6-54），我们可以确定其他作用于2杆操作机上的动力效应。

一个象
221222m l l s θ的项是离心力，因为它与关节速度的平方有关。

一个诸如2122122m l l s θθ的项称做
哥利奥里斯（Coriolis ）力，它是由两个不同关节的速度乘积。

最后，任何包括重力常数g 的项都是重力项。

注意重力项仅与Θ有关，而与它的导数无关。

本章参考文献
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