人大(王燕)时间序列课后习题答案)
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| θ 1 |= 0 .6 < 1 ，模型可逆； λ1 = 0.6
（6） | φ 2 |= 0.5 < 1 ， φ 2 + φ 1 = −0.3 < 1 ， φ 2 − φ 1 = 1.3 > 1 ，模型非平稳。
λ1 = 0.4124
λ 2 = -1.2124
| θ 1 |= 1.1 > 1 ，模型不可逆； λ1 = 1.1
8、解： E ( x t ) = φ 0 /(1 − φ1 ) = 10 /(1 − 0.5) = 20
2 3 原模型可变为： (1 − 0.5 B )( x t − 20) = (1 − 0.8 B + CB )ε t
xt − 20 =
(1 − 0.8 B 2 + CB 3 ) εt (1 − 0.5B )
显然，当 1 − 0.8 B 2 + CB 3 能够整除 1－0.5B 时，模型为 MA(2)模型，由此 得 B＝2 是 1 − 0.8 B 2 + CB 3 ＝0 的根，故 C＝0.275。
9、解： ： E ( xt ) = 0
Var ( x t ) = (1 + θ 12 + θ 22 )σ ε2 = 1.65σ ε2
γ (5)=12.4167 ρ 2 =0.7405（0.702）
γ (6)=7.25 ρ 3 =0.6214（0.556） ρ 6 =0.2071（0.153）
ρ 4 =0.4929（0.415） ρ 5 =0.3548（0.280）
注：括号内的结果为近似公式所计算。 （3）样本自相关图： Autocorrelation Partial Correlation
AC
PAC
Q-Stat
Prob
1 0.850 0.850 16.732 0.000 2 0.702 -0.076 28.761 0.000 3 0.556 -0.076 36.762 0.000 4 0.415 -0.077 41.500 0.000 5 0.280 -0.077 43.800 0.000 6 0.153 -0.078 44.533 0.000 7 0.034 -0.077 44.572 0.000 8 -0.074 -0.077 44.771 0.000 9 -0.170 -0.075 45.921 0.000 10 -0.252 -0.072 48.713 0.000 11 -0.319 -0.067 53.693 0.000 12 -0.370 -0.060 61.220 0.000
φ 22 = 0
3、解：根据该 AR(2)模型的形式，易得： E ( x t ) = 0 原模型可变为： x t = 0.8 x t −1 − 0.15 x t − 2 + ε t
Var ( xt ) =
1 − φ2 σ2 (1 + φ2 )(1 − φ1 − φ2 )(1 + φ1 − φ2 ) (1 + 0.15) σ 2 =1.9823 σ 2 (1 − 0.15)(1 − 0.8 + 0.15)(1 + 0.8 + 0.15)
（4）错， eT (l ) = ε T +l + G1ε T + l −1 + G2 ε T +l − 2 + ⋯ + Gl −1ε T +1
l
= ε T +l
+ θ 1ε T +l −1 + θ 12 ε T + l − 2 + ⋯ + θ 1l −1ε T +1
1[1 − θ 12l ] 1−θ
2 1
ˆ T (l )] = lim Var [ eT (l )] = lim （5）错， lim Var [ xT + l − x
l →∞ l →∞ l →∞
σ ε2 =
1 σ ε2 。 2 1 − θ1
− 1 + 1 − 4 ρ 12 − θ1 7、解： ρ 1 = ⇒ θ1 = = −1 2ρ1 1 + θ 12 MA(1)模型的表达式为： x t = ε t + ε t −1 。
j =1
G0 = 1 ， G j = 0.3 * 0.6 j −1
13、解： E[Φ ( B) xt ] = E[3 + Θ( B)ε t] ⇒ (1 − 0.5) 2 E ( xt ) = 3
E ( xt ) = 12
14、证明： ρ 0 = γ (0) / γ (0) = 1 ；
ρ1 =
γ (1) (φ1 − θ1 )(1 − θ1φ1 ) 0.25(1 − 0.5 * 0.25) = = = 0.27 2 γ (0) 1 + θ1 − 2θ1φ1 1 + 0.25 2 − 2 * 0.5 * 0.25 k≥2
λ1 = 1.3738
λ 2 = -0.8736
（2） | φ 2 |= 0.3 < 1 ， φ 2 + φ 1 = 0.8 < 1 ， φ 2 − φ 1 = −1.4 < 1 ，模型平稳。
λ1 = 0.6
λ 2 = 0.5
（3） | θ 2 | = 0.3 < 1 ， θ 2 + θ 1 = 0.6 < 1 ， θ 2 − θ 1 = −1.2 < 1 ，模型可逆。
ρ k = φ1 ρ k −1 = 0.5 ρ k −1
15、解： （1）错； （2）对； （3）对； （4）错。
16、解： （1） xt − 10 = 0.3 * ( xt −1 − 10) + ε t ，
xT = 9.6
ˆT (1) = E ( xt +1 ) = E[10 + 0.3 * ( xT − 10) + ε T +1 ] = 9.88 x ˆT (2) = E ( xt + 2 ) = E[10 + 0.3 * ( xT +1 − 10) + ε T +2 ] = 9.964 x ˆT (3) = E ( xt +3 ) = E[10 + 0.3 * ( xT + 2 − 10) + ε T +3 ] = 9.9892 x 已知 AR(1)模型的 Green 函数为： G j = φ1j ， j = 1， 2， ⋯
6、解： （1）错， γ 0
= Var ( x t ) = σ ε2 /(1 − θ 12 ) 。
2 2 （2）错， E[( x t − µ )( x t −1 − µ )] = γ 1 = ρ 1γ 0 = θ 1σ ε /(1 − θ 1 ) 。
ˆ T (l ) = θ 1 xT 。 （3）错， x
=
⎧ ρ 1 = φ1 /(1 − φ 2 ) = 0.6957 ⎪ ⎨ρ 2 = φ1 ρ 1 + φ 2 ρ 0 = 0.4066 ⎪ ρ = φ ρ + φ ρ = 0.2209 1 2 2 1 ⎩ 3
⎧φ11 = ρ 1 = 0.6957 ⎪ ⎨ φ 22 = φ 2 = −0.15 ⎪ φ 33 = 0 ⎩
γ (0) =
γ (1) =
γ (2) =
1 18 ∑ ( xt − x )( xt +2 − x ) = 25.9167 18 t =1 1 17 ∑ ( xt − x )( xt +3 − x ) = 21.75 17 t =1
γ (3) =
γ (4)=17.25 ρ 1 =0.85（0.85）
显然，LB 统计量小于对应的临界值，该序列为纯随机序列。
第三章 P97
1、解： E ( x t ) = 0.7 * E ( x t −1 ) + E (ε t ) (1 − 0.7) E ( x t ) = 0 (1 − 0.7 B）x t = ε t
E ( xt ) = 0
x t = (1 − 0.7 B) −1 ε t = (1 + 0.7 B + 0.7 2 B 2 + ⋯)ε t Var ( x t ) =
来自百度文库
显然模型的 AR 部分的特征根是 1，模型非平稳。 （2）
y t = x t − x t −1 = ε t + (C − 1)ε t −1 为 MA(1)模型，平稳。
ρ1 =
− θ1 C −1 = 2 2 1 + θ 1 C − 2C + 2
11、解： （1） | φ 2 |= 1.2 > 1 ，模型非平稳；
1 ⎧ ⎪ ρ k = ⎨ 1 /(1 − c) ⎪ ρ + cρ k −2 ⎩ k −1
k =0 k =1 k≥2
5、证明：已知原模型可变形为：
(1 − B − cB 2 + cB 3 ) xt = ε t
其特征方程为： λ3 − λ 2 − cλ + c = (λ − 1)(λ 2 + λ − c ) = 0 不论 c 取何值，都会有一特征根等于 1，因此模型非平稳。
12、解： (1 − 0.6 B) xt = (1 − 0.3B)ε t
xt = (1 − 0.3B)(1 + 0.6 B + 0.6 2 B 2 + ⋯)ε t
= (1 + 0.3B + 0.3 * 0.6 B 2 + 0.3 * 0.6 2 B 3 + ⋯)ε t
∞
= ε t + ∑ 0.3 * 0.6 j −1ε t − j
. |*******| . |***** . |**** . |*** . |**. . |* . . | . *| . *| . . . | | | | | | | | | | | . |*******| . *| . *| . *| . *| . *| . *| . *| . *| . *| . *| . *| . . . . . . . . . . . | | | | | | | | | | |
第二章 P34
1、 （1）因为序列具有明显的趋势，所以序列非平稳。 （2）样本自相关系数：
n− k
γ (k ) ˆk = ρ ≅ γ (0)
∑ (x
t =1
t
− x )( x t + k − x )
t
n
∑ (x
t =1
− x)2
x=
1 n 1 x t = (1 + 2 + ⋯ + 20) = 10.5 ∑ n t =1 20 1 20 ∑ ( xt − x ) 2 = 35 20 t =1 1 19 ∑ ( xt − x )( xt +1 − x ) = 29.75 19 t =1
λ1 = 0.45＋0.2693i
λ 2 = 0.45－0.2693i
（4） | θ 2 | = 0.4 < 1 ， θ 2 + θ 1 = −0.9 < 1 ， θ 2 − θ 1 = 1.7 > 1 ，模型不可逆。
λ1 = 0.2569
λ 2 = -1.5569
（5） | φ 1 | = 0.7 < 1 ，模型平稳； λ1 = 0.7
1 σ ε2 = 1.9608σ ε2 1 − 0.49
ρ 2 = φ12 ρ 0 = 0.49
2、解：对于 AR（2）模型： ⎧ρ 1 = φ1 ρ 0 + φ 2 ρ −1 = φ1 + φ 2 ρ 1 = 0.5 ⎨ ⎩ ρ 2 = φ1 ρ 1 + φ 2 ρ 0 = φ1 ρ 1 + φ 2 = 0.3 ⎧φ = 7 / 15 解得： ⎨ 1 ⎩φ 2 = 1 / 15
x t −1 = ε t −1 + C (ε t − 2 + ε t − 3 + ⋯)
⎛ x − ε t −1 ⎞ x t = ε t + C ⎜ t −1 + ε t −1 ⎟ = x t −1 + ε t + (C − 1)ε t −1 C ⎝ ⎠ 即 (1 − B) x t = [1 − (C − 1) B]ε t
ρ1 =
− θ 1 + θ 1θ 2 − 0.98 = = −0.5939 1.65 1 + θ 12 + θ 22
ρ2 =
−θ2 0.4 = = 0.2424 2 2 1 + θ1 + θ 2 1.65
ρ k = 0，k ≥ 3
10、解： （1） x t = ε t + C (ε t −1 + ε t − 2 + ⋯)
4、解：原模型可变形为：
(1 − B − cB 2 ) x t = ε t
由其平稳域判别条件知：当 | φ 2 |< 1 ， φ 2 + φ1 < 1 且 φ 2 − φ1 < 1 时，模型平稳。 由此可知 c 应满足： | c |< 1 ， c − 1 < 1 且 c + 1 < 1 即当－1<c<0 时，该 AR(2)模型平稳。
.**| . .**| . ***| .
该图的自相关系数衰减为 0 的速度缓慢，可认为非平稳。
ˆ k2 ⎞ ⎛ ρ ⎟ 4、 LB = n(n + 2)∑ ⎜ ⎜ ⎟ k =1 ⎝ n − k ⎠
m
LB(6)=1.6747
2 χ0 .05 (6)=12.59
LB(12)=4.9895
2 χ0 .05 (12)=21.0
（6） | φ 2 |= 0.5 < 1 ， φ 2 + φ 1 = −0.3 < 1 ， φ 2 − φ 1 = 1.3 > 1 ，模型非平稳。
λ1 = 0.4124
λ 2 = -1.2124
| θ 1 |= 1.1 > 1 ，模型不可逆； λ1 = 1.1
8、解： E ( x t ) = φ 0 /(1 − φ1 ) = 10 /(1 − 0.5) = 20
2 3 原模型可变为： (1 − 0.5 B )( x t − 20) = (1 − 0.8 B + CB )ε t
xt − 20 =
(1 − 0.8 B 2 + CB 3 ) εt (1 − 0.5B )
显然，当 1 − 0.8 B 2 + CB 3 能够整除 1－0.5B 时，模型为 MA(2)模型，由此 得 B＝2 是 1 − 0.8 B 2 + CB 3 ＝0 的根，故 C＝0.275。
9、解： ： E ( xt ) = 0
Var ( x t ) = (1 + θ 12 + θ 22 )σ ε2 = 1.65σ ε2
γ (5)=12.4167 ρ 2 =0.7405（0.702）
γ (6)=7.25 ρ 3 =0.6214（0.556） ρ 6 =0.2071（0.153）
ρ 4 =0.4929（0.415） ρ 5 =0.3548（0.280）
注：括号内的结果为近似公式所计算。 （3）样本自相关图： Autocorrelation Partial Correlation
AC
PAC
Q-Stat
Prob
1 0.850 0.850 16.732 0.000 2 0.702 -0.076 28.761 0.000 3 0.556 -0.076 36.762 0.000 4 0.415 -0.077 41.500 0.000 5 0.280 -0.077 43.800 0.000 6 0.153 -0.078 44.533 0.000 7 0.034 -0.077 44.572 0.000 8 -0.074 -0.077 44.771 0.000 9 -0.170 -0.075 45.921 0.000 10 -0.252 -0.072 48.713 0.000 11 -0.319 -0.067 53.693 0.000 12 -0.370 -0.060 61.220 0.000
φ 22 = 0
3、解：根据该 AR(2)模型的形式，易得： E ( x t ) = 0 原模型可变为： x t = 0.8 x t −1 − 0.15 x t − 2 + ε t
Var ( xt ) =
1 − φ2 σ2 (1 + φ2 )(1 − φ1 − φ2 )(1 + φ1 − φ2 ) (1 + 0.15) σ 2 =1.9823 σ 2 (1 − 0.15)(1 − 0.8 + 0.15)(1 + 0.8 + 0.15)
（4）错， eT (l ) = ε T +l + G1ε T + l −1 + G2 ε T +l − 2 + ⋯ + Gl −1ε T +1
l
= ε T +l
+ θ 1ε T +l −1 + θ 12 ε T + l − 2 + ⋯ + θ 1l −1ε T +1
1[1 − θ 12l ] 1−θ
2 1
ˆ T (l )] = lim Var [ eT (l )] = lim （5）错， lim Var [ xT + l − x
l →∞ l →∞ l →∞
σ ε2 =
1 σ ε2 。 2 1 − θ1
− 1 + 1 − 4 ρ 12 − θ1 7、解： ρ 1 = ⇒ θ1 = = −1 2ρ1 1 + θ 12 MA(1)模型的表达式为： x t = ε t + ε t −1 。
j =1
G0 = 1 ， G j = 0.3 * 0.6 j −1
13、解： E[Φ ( B) xt ] = E[3 + Θ( B)ε t] ⇒ (1 − 0.5) 2 E ( xt ) = 3
E ( xt ) = 12
14、证明： ρ 0 = γ (0) / γ (0) = 1 ；
ρ1 =
γ (1) (φ1 − θ1 )(1 − θ1φ1 ) 0.25(1 − 0.5 * 0.25) = = = 0.27 2 γ (0) 1 + θ1 − 2θ1φ1 1 + 0.25 2 − 2 * 0.5 * 0.25 k≥2
λ1 = 1.3738
λ 2 = -0.8736
（2） | φ 2 |= 0.3 < 1 ， φ 2 + φ 1 = 0.8 < 1 ， φ 2 − φ 1 = −1.4 < 1 ，模型平稳。
λ1 = 0.6
λ 2 = 0.5
（3） | θ 2 | = 0.3 < 1 ， θ 2 + θ 1 = 0.6 < 1 ， θ 2 − θ 1 = −1.2 < 1 ，模型可逆。
ρ k = φ1 ρ k −1 = 0.5 ρ k −1
15、解： （1）错； （2）对； （3）对； （4）错。
16、解： （1） xt − 10 = 0.3 * ( xt −1 − 10) + ε t ，
xT = 9.6
ˆT (1) = E ( xt +1 ) = E[10 + 0.3 * ( xT − 10) + ε T +1 ] = 9.88 x ˆT (2) = E ( xt + 2 ) = E[10 + 0.3 * ( xT +1 − 10) + ε T +2 ] = 9.964 x ˆT (3) = E ( xt +3 ) = E[10 + 0.3 * ( xT + 2 − 10) + ε T +3 ] = 9.9892 x 已知 AR(1)模型的 Green 函数为： G j = φ1j ， j = 1， 2， ⋯
6、解： （1）错， γ 0
= Var ( x t ) = σ ε2 /(1 − θ 12 ) 。
2 2 （2）错， E[( x t − µ )( x t −1 − µ )] = γ 1 = ρ 1γ 0 = θ 1σ ε /(1 − θ 1 ) 。
ˆ T (l ) = θ 1 xT 。 （3）错， x
=
⎧ ρ 1 = φ1 /(1 − φ 2 ) = 0.6957 ⎪ ⎨ρ 2 = φ1 ρ 1 + φ 2 ρ 0 = 0.4066 ⎪ ρ = φ ρ + φ ρ = 0.2209 1 2 2 1 ⎩ 3
⎧φ11 = ρ 1 = 0.6957 ⎪ ⎨ φ 22 = φ 2 = −0.15 ⎪ φ 33 = 0 ⎩
γ (0) =
γ (1) =
γ (2) =
1 18 ∑ ( xt − x )( xt +2 − x ) = 25.9167 18 t =1 1 17 ∑ ( xt − x )( xt +3 − x ) = 21.75 17 t =1
γ (3) =
γ (4)=17.25 ρ 1 =0.85（0.85）
显然，LB 统计量小于对应的临界值，该序列为纯随机序列。
第三章 P97
1、解： E ( x t ) = 0.7 * E ( x t −1 ) + E (ε t ) (1 − 0.7) E ( x t ) = 0 (1 − 0.7 B）x t = ε t
E ( xt ) = 0
x t = (1 − 0.7 B) −1 ε t = (1 + 0.7 B + 0.7 2 B 2 + ⋯)ε t Var ( x t ) =
来自百度文库
显然模型的 AR 部分的特征根是 1，模型非平稳。 （2）
y t = x t − x t −1 = ε t + (C − 1)ε t −1 为 MA(1)模型，平稳。
ρ1 =
− θ1 C −1 = 2 2 1 + θ 1 C − 2C + 2
11、解： （1） | φ 2 |= 1.2 > 1 ，模型非平稳；
1 ⎧ ⎪ ρ k = ⎨ 1 /(1 − c) ⎪ ρ + cρ k −2 ⎩ k −1
k =0 k =1 k≥2
5、证明：已知原模型可变形为：
(1 − B − cB 2 + cB 3 ) xt = ε t
其特征方程为： λ3 − λ 2 − cλ + c = (λ − 1)(λ 2 + λ − c ) = 0 不论 c 取何值，都会有一特征根等于 1，因此模型非平稳。
12、解： (1 − 0.6 B) xt = (1 − 0.3B)ε t
xt = (1 − 0.3B)(1 + 0.6 B + 0.6 2 B 2 + ⋯)ε t
= (1 + 0.3B + 0.3 * 0.6 B 2 + 0.3 * 0.6 2 B 3 + ⋯)ε t
∞
= ε t + ∑ 0.3 * 0.6 j −1ε t − j
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第二章 P34
1、 （1）因为序列具有明显的趋势，所以序列非平稳。 （2）样本自相关系数：
n− k
γ (k ) ˆk = ρ ≅ γ (0)
∑ (x
t =1
t
− x )( x t + k − x )
t
n
∑ (x
t =1
− x)2
x=
1 n 1 x t = (1 + 2 + ⋯ + 20) = 10.5 ∑ n t =1 20 1 20 ∑ ( xt − x ) 2 = 35 20 t =1 1 19 ∑ ( xt − x )( xt +1 − x ) = 29.75 19 t =1
λ1 = 0.45＋0.2693i
λ 2 = 0.45－0.2693i
（4） | θ 2 | = 0.4 < 1 ， θ 2 + θ 1 = −0.9 < 1 ， θ 2 − θ 1 = 1.7 > 1 ，模型不可逆。
λ1 = 0.2569
λ 2 = -1.5569
（5） | φ 1 | = 0.7 < 1 ，模型平稳； λ1 = 0.7
1 σ ε2 = 1.9608σ ε2 1 − 0.49
ρ 2 = φ12 ρ 0 = 0.49
2、解：对于 AR（2）模型： ⎧ρ 1 = φ1 ρ 0 + φ 2 ρ −1 = φ1 + φ 2 ρ 1 = 0.5 ⎨ ⎩ ρ 2 = φ1 ρ 1 + φ 2 ρ 0 = φ1 ρ 1 + φ 2 = 0.3 ⎧φ = 7 / 15 解得： ⎨ 1 ⎩φ 2 = 1 / 15
x t −1 = ε t −1 + C (ε t − 2 + ε t − 3 + ⋯)
⎛ x − ε t −1 ⎞ x t = ε t + C ⎜ t −1 + ε t −1 ⎟ = x t −1 + ε t + (C − 1)ε t −1 C ⎝ ⎠ 即 (1 − B) x t = [1 − (C − 1) B]ε t
ρ1 =
− θ 1 + θ 1θ 2 − 0.98 = = −0.5939 1.65 1 + θ 12 + θ 22
ρ2 =
−θ2 0.4 = = 0.2424 2 2 1 + θ1 + θ 2 1.65
ρ k = 0，k ≥ 3
10、解： （1） x t = ε t + C (ε t −1 + ε t − 2 + ⋯)
4、解：原模型可变形为：
(1 − B − cB 2 ) x t = ε t
由其平稳域判别条件知：当 | φ 2 |< 1 ， φ 2 + φ1 < 1 且 φ 2 − φ1 < 1 时，模型平稳。 由此可知 c 应满足： | c |< 1 ， c − 1 < 1 且 c + 1 < 1 即当－1<c<0 时，该 AR(2)模型平稳。
.**| . .**| . ***| .
该图的自相关系数衰减为 0 的速度缓慢，可认为非平稳。
ˆ k2 ⎞ ⎛ ρ ⎟ 4、 LB = n(n + 2)∑ ⎜ ⎜ ⎟ k =1 ⎝ n − k ⎠
m
LB(6)=1.6747
2 χ0 .05 (6)=12.59
LB(12)=4.9895
2 χ0 .05 (12)=21.0