数学建模与数学实验非线性规划
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实验目的
1、直观了解非线性规划的基本内容。
2、掌握用数学软件求解优化问题。
实验内容
1、非线性规划的基本理论。
2、用数学软件求解非线性规划。 3、钢管订购及运输优化模型 4、实验作业。
1
非线性规划
非线性规划的基本概念
*非线性规划的基本解法
返回2
非现性规划的基本概念 定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数 时的最优化问题就叫做非线性规划问题．
高， 故需要对变量的取值范围加以限制， 所增加的约束条件是：
j 1, , n
k 1 X 求解该线性规划问题，得到最优解
；
(4)
检验 X k 1 点对原约束是否可行。若X k 1 对原约束可行，
则转步骤(5)；否则，缩小步长限制，令
k j 1, , n ， k j j
非线性规划的基本解法
SUTM外点法
1、罚函数法 SUTM内点法（障碍罚函数法）
2、近似规划法
返回5
罚函数法 罚函数法基本思想是通过构造罚函数把 约束问题转化为一系列无约束最优化问题，
进而用无约束最优化方法去求解．这类方法
称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT
法．
其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点 法．
6
SUTM外点法
对一般的非线性规划： min f X
gi X 0 s.t. h j X 0
m
i 1,2,..., m; j 1,2,...,l.
l
(1)
可设：T X , M f X M
2 2 min 0 , g X M h X i j i 1 j 1
，令 k=1； 步长缩小系数 0,1 ，允许误差
(2)
在点 X k 处，将 f X ， g i X , h j X 按泰勒级数展开并
取一阶近似，得到近似线性规划问题：
min f X f X
i i
f X X X g X g X g X X X 0
0,0 1；
0
(2) 求出约束集合 D 的一个内点 X
(3) 以
D ，令k 1 ；
0
X D 0
0
X k 1 D 0 为 初 始 点 ， 求 解 min I X , rk ， 其 中
k
X D 的最优解，设为 X X rk D ；
0
1 ，满 (4) 检验是否满足 r ln g i X 或 rk i 1 i 1g X i * k 足，停止迭代， X X ；否则取rk 1 rk ，令 k k 1 ，
定义3 对于问题(1),设 X * D ,对任意的X D ,都有 f X * f X 则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地当 *是f(X)在D上的严格全局极小值点 * 时，若 * ，则称 X X X f X f X （严格全局最优解）． 返回4
X E n
；
k
令k=k+1返回（2），否则，停止迭代．得最优解 X * X k . 计算时也可将收敛性判别准则
gi X
改为 M min0, gi X 2 0 .
i 1
m
罚函数法的缺点是：每个近似最优解Xk往往不是容许解，
而只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用； 在解一系列无约束问题中，计算量太大，特别是随着Mk的增大， 可能导致错误．
把其符合原始条件的最优解作为(3)的解的近似． 每得到一个近似解后，都从这点出发，重复以上步骤． 这样，通过求解一系列线性规划问题，产生一个 由线性规划最优解组成的序列，经验表明，这样的序 列往往收敛于非线性规划问题的解。
11
近似规划法的算法步骤如下
1 1 1 (1) 给定初始可行点 X 1 x1 ，步长限制 , x1 , , x j j 1, , n ， 2 n
Βιβλιοθήκη Baidu
一般形式:
m in f X
gi X 0 i 1,2,..., m ; s.t. （1） h j X 0 j 1,2,..., l. 其中 X x1, x2 ,, xn T E n，f , gi , h j 是定义在 En 上的实值函
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
输出极值点
M文件
迭代的初值
变量上下限
参数说明
(6) [x,fval]= fmincon(...) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(...)
2
s.t. AX<=b
Aeq X beq
VLB≤X≤VUB 用MATLAB软件求解,其输入格式如下:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
x=quadprog(H,C,A,b); x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); [x,fval]=quaprog(...); [x,fval,exitflag]=quaprog(...); 14 [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);
1
x 6 x 2 2 2
s.t.
2、 输入命令：
1 1 x1 2 1 2 x2 2 0 x1 x 0 2
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t. x1+x2≤2 -x1+2x2≤2 x1≥0, x2≥0 T x 1 - 1 1 2 x1 1、写成标准形式：min z ( x , x )
例1
1 2
7
SUTM外点法(罚函数法)的迭代步骤 1、任意给定初始点X0，取M1>1，给定允许误差 0 ，令k=1；
m in T X , M T ( X k , M k )
min T X , M 的最优解，设为Xk=X(M )，即 2、求无约束极值问题X k E n
k 3、若存在 i 1 i m ，使 gi X ，则取Mk>M( M k 1 M , 10)
i 1 i 1 m m
1 gi X
其中称r lng i X 或 r
i 1 i 1
m
m
1 为障碍项，r为障碍因子 gi X
X D
这样问题（ 1 ）就转化为求一系列极 值问题： k min0 I X , rk 得 X （rk）
9
内点法的迭代步骤
(1) 给定允许误差 0 ，取r1
0 2. 若约束条件中有非线性约束 :G(X) 或 Ceq(X)=0, 则建立M文件nonlcon.m定义函数G(X)与Ceq(X): function [G,Ceq]=nonlcon(X) G=... Ceq=...
16
3. 建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格 式如下： (1) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b) (2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)
m k
m
返回(3） ．
10
近似规划法
近似规划法的基本思想：将问题(3)中的目标函数 f X
和约束条件 gi X 0 (i 1,...,m); h j X 0 ( j 1,, l )
近似为线性函数，并对变量的取值范围加以限制，从
而得到一个近似线性规划问题，再用单纯形法求解之，
3、运算结果为： x =0.6667 1.3333
MATLAB（youh1）
z = -8.2222
15
标准型为： min F(X) 0 s.t AX<=b G(X) Aeq X beq X VUB Ceq(X)=0 VLB
2、一般非线性规划
其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成 的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用 Matlab求解上述问题，基本步骤分三步： 1. 首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）: function f=fun(X); f=F(X);
(2)
将问题（ 1 ）转化为无约束问题： min T X , M n
X E
(3)
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，这 里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚：当 X D 时，满 足各 gi X 0, hi X 0 ，故罚项=0，不受惩罚．当 X D 时， gi X 0或hi X 0 的约束条件，故罚项>0，要受惩罚． 必有
返回步骤(3)，重解当前的线性规划问题；
5) 判断精度： 若 j 1,, n ， 则点X
k j
k1
为近似最优解；
13 返回
1 j 1,, n ，k=k+1，返回步骤(2)． k 否则，令 k j j
1、二次规划
标准型为： Min Z= 1 XTHX+cTX
k k T k
k k T k i
i 1, , m
h j X h j X k h j X k
X X 0
T k
j 1,, l ；
12
(3)在上述近似线性规划问题的基础上增加一组限制步长的线 性约束条件．因为线性近似通常只在展开点附近近似程度较
k x j xk j j
8
SUTM内点法（障碍函数法）
考虑问题：
min f X s.t. g X 0 i
i 1,2,..., m
(1)
设集合D 0 X | g i X 0, i 1,2, , m ，D 0是可行域中 所有严格内点的集合。
构造障碍函数 I X , r ：I X , r f X r lng i X 或 I ( X , r ) f ( X ) r
X D
对于问题(1)，设 X * D，若存在 0 ,使得对一切 ，且 X X * ，都有 f X * f X ，则称X*是f(X)在D上的 X D 局部极小值点（局部最优解）．特别地当 X X *时，若 f X * f X ， 则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最优解）． 定义2
数，简记: f : En E1, gi : En E1, h j : En E1 其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零 的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
3
定义1 把满足问题（1）中条件的解 X ( E n )称为可行解（或可行 点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即 D X | gi X 0,h j X 0, X E n 问题(1)可简记为 min f X ．
1、直观了解非线性规划的基本内容。
2、掌握用数学软件求解优化问题。
实验内容
1、非线性规划的基本理论。
2、用数学软件求解非线性规划。 3、钢管订购及运输优化模型 4、实验作业。
1
非线性规划
非线性规划的基本概念
*非线性规划的基本解法
返回2
非现性规划的基本概念 定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数 时的最优化问题就叫做非线性规划问题．
高， 故需要对变量的取值范围加以限制， 所增加的约束条件是：
j 1, , n
k 1 X 求解该线性规划问题，得到最优解
；
(4)
检验 X k 1 点对原约束是否可行。若X k 1 对原约束可行，
则转步骤(5)；否则，缩小步长限制，令
k j 1, , n ， k j j
非线性规划的基本解法
SUTM外点法
1、罚函数法 SUTM内点法（障碍罚函数法）
2、近似规划法
返回5
罚函数法 罚函数法基本思想是通过构造罚函数把 约束问题转化为一系列无约束最优化问题，
进而用无约束最优化方法去求解．这类方法
称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT
法．
其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点 法．
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SUTM外点法
对一般的非线性规划： min f X
gi X 0 s.t. h j X 0
m
i 1,2,..., m; j 1,2,...,l.
l
(1)
可设：T X , M f X M
2 2 min 0 , g X M h X i j i 1 j 1
，令 k=1； 步长缩小系数 0,1 ，允许误差
(2)
在点 X k 处，将 f X ， g i X , h j X 按泰勒级数展开并
取一阶近似，得到近似线性规划问题：
min f X f X
i i
f X X X g X g X g X X X 0
0,0 1；
0
(2) 求出约束集合 D 的一个内点 X
(3) 以
D ，令k 1 ；
0
X D 0
0
X k 1 D 0 为 初 始 点 ， 求 解 min I X , rk ， 其 中
k
X D 的最优解，设为 X X rk D ；
0
1 ，满 (4) 检验是否满足 r ln g i X 或 rk i 1 i 1g X i * k 足，停止迭代， X X ；否则取rk 1 rk ，令 k k 1 ，
定义3 对于问题(1),设 X * D ,对任意的X D ,都有 f X * f X 则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地当 *是f(X)在D上的严格全局极小值点 * 时，若 * ，则称 X X X f X f X （严格全局最优解）． 返回4
X E n
；
k
令k=k+1返回（2），否则，停止迭代．得最优解 X * X k . 计算时也可将收敛性判别准则
gi X
改为 M min0, gi X 2 0 .
i 1
m
罚函数法的缺点是：每个近似最优解Xk往往不是容许解，
而只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用； 在解一系列无约束问题中，计算量太大，特别是随着Mk的增大， 可能导致错误．
把其符合原始条件的最优解作为(3)的解的近似． 每得到一个近似解后，都从这点出发，重复以上步骤． 这样，通过求解一系列线性规划问题，产生一个 由线性规划最优解组成的序列，经验表明，这样的序 列往往收敛于非线性规划问题的解。
11
近似规划法的算法步骤如下
1 1 1 (1) 给定初始可行点 X 1 x1 ，步长限制 , x1 , , x j j 1, , n ， 2 n
Βιβλιοθήκη Baidu
一般形式:
m in f X
gi X 0 i 1,2,..., m ; s.t. （1） h j X 0 j 1,2,..., l. 其中 X x1, x2 ,, xn T E n，f , gi , h j 是定义在 En 上的实值函
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
输出极值点
M文件
迭代的初值
变量上下限
参数说明
(6) [x,fval]= fmincon(...) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(...)
2
s.t. AX<=b
Aeq X beq
VLB≤X≤VUB 用MATLAB软件求解,其输入格式如下:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
x=quadprog(H,C,A,b); x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); [x,fval]=quaprog(...); [x,fval,exitflag]=quaprog(...); 14 [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);
1
x 6 x 2 2 2
s.t.
2、 输入命令：
1 1 x1 2 1 2 x2 2 0 x1 x 0 2
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t. x1+x2≤2 -x1+2x2≤2 x1≥0, x2≥0 T x 1 - 1 1 2 x1 1、写成标准形式：min z ( x , x )
例1
1 2
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SUTM外点法(罚函数法)的迭代步骤 1、任意给定初始点X0，取M1>1，给定允许误差 0 ，令k=1；
m in T X , M T ( X k , M k )
min T X , M 的最优解，设为Xk=X(M )，即 2、求无约束极值问题X k E n
k 3、若存在 i 1 i m ，使 gi X ，则取Mk>M( M k 1 M , 10)
i 1 i 1 m m
1 gi X
其中称r lng i X 或 r
i 1 i 1
m
m
1 为障碍项，r为障碍因子 gi X
X D
这样问题（ 1 ）就转化为求一系列极 值问题： k min0 I X , rk 得 X （rk）
9
内点法的迭代步骤
(1) 给定允许误差 0 ，取r1
0 2. 若约束条件中有非线性约束 :G(X) 或 Ceq(X)=0, 则建立M文件nonlcon.m定义函数G(X)与Ceq(X): function [G,Ceq]=nonlcon(X) G=... Ceq=...
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3. 建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格 式如下： (1) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b) (2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)
m k
m
返回(3） ．
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近似规划法
近似规划法的基本思想：将问题(3)中的目标函数 f X
和约束条件 gi X 0 (i 1,...,m); h j X 0 ( j 1,, l )
近似为线性函数，并对变量的取值范围加以限制，从
而得到一个近似线性规划问题，再用单纯形法求解之，
3、运算结果为： x =0.6667 1.3333
MATLAB（youh1）
z = -8.2222
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标准型为： min F(X) 0 s.t AX<=b G(X) Aeq X beq X VUB Ceq(X)=0 VLB
2、一般非线性规划
其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成 的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用 Matlab求解上述问题，基本步骤分三步： 1. 首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）: function f=fun(X); f=F(X);
(2)
将问题（ 1 ）转化为无约束问题： min T X , M n
X E
(3)
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，这 里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚：当 X D 时，满 足各 gi X 0, hi X 0 ，故罚项=0，不受惩罚．当 X D 时， gi X 0或hi X 0 的约束条件，故罚项>0，要受惩罚． 必有
返回步骤(3)，重解当前的线性规划问题；
5) 判断精度： 若 j 1,, n ， 则点X
k j
k1
为近似最优解；
13 返回
1 j 1,, n ，k=k+1，返回步骤(2)． k 否则，令 k j j
1、二次规划
标准型为： Min Z= 1 XTHX+cTX
k k T k
k k T k i
i 1, , m
h j X h j X k h j X k
X X 0
T k
j 1,, l ；
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(3)在上述近似线性规划问题的基础上增加一组限制步长的线 性约束条件．因为线性近似通常只在展开点附近近似程度较
k x j xk j j
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SUTM内点法（障碍函数法）
考虑问题：
min f X s.t. g X 0 i
i 1,2,..., m
(1)
设集合D 0 X | g i X 0, i 1,2, , m ，D 0是可行域中 所有严格内点的集合。
构造障碍函数 I X , r ：I X , r f X r lng i X 或 I ( X , r ) f ( X ) r
X D
对于问题(1)，设 X * D，若存在 0 ,使得对一切 ，且 X X * ，都有 f X * f X ，则称X*是f(X)在D上的 X D 局部极小值点（局部最优解）．特别地当 X X *时，若 f X * f X ， 则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最优解）． 定义2
数，简记: f : En E1, gi : En E1, h j : En E1 其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零 的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
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定义1 把满足问题（1）中条件的解 X ( E n )称为可行解（或可行 点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即 D X | gi X 0,h j X 0, X E n 问题(1)可简记为 min f X ．