二次根式 单元复习课件
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(2)被开方数中不含开方开得尽方的因数或 因式.
典型例题
例7、化简 (1) 16 81 (2) 2000
例8、计算
(1) 21 7 (2)3 5 2 15 (3) 4 15 ( 1 5)
2 (4) 10x 101 xy
典型例题
例9、计算
(1) 40 45
(2)3 m6n5 5 m4n2
1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。
2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
梳理七.二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。
一化、二找、三合并
梳理八. 混合运算法则 1.类似整式的加减乘除混合运算
2.对于二次根式的运算，各种运算律照常 使用，各种乘法公式照常使用
典型例题
例12、计算
(1)(3 2 4 5)2
(2)(2 3 5)(2 3 5)
(3)(2 3 5)2 (2 3 5)2 (4)(3 10 )2005 (3 10 )2005
变式练习：
1、比较 7 5与 5 3 的大小。
2、已知 x 3 2 , y 3 2 ,
（3）、商的算术平方根的性质
a a (a 0, b 0) bb
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
a a (a 0,b 0) bb
梳理五.最简二次根式的定义.
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式.
(1)被开方数不含分母；
人教版八年级 第 16 章 二 次 根 式单元复习
知识结构
三个概念
二
两个性质
次
根
式
两个公式
二次根式 同类二次根式
最简二次根式
1、 ab a ba 0,b 0
a
2、
a
(a 0,b 0)
bb
1、 a 2 aa 0
2、 a2 a aa 0 aa 0
典型例题
例4、判断下列各式中哪些是最简二次
根式，哪些不是？为什么？
(1) 3a2b
(2) 1.5ab
(3) x2 y2 (4) a b
变式练习：
1、 x2 16 x 4 x 4 成立的条件
是 x4 。
变式练习：
2、把下列二次根化为最简二次根式。
(1) 12
(5) 3 2
四种运算
加 、减、乘、除
梳理一. 二次根定义
1. 一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号， a 称为被开方数。
二次根式
被开方数a≥0；
根指数为2. ( 双重非负性)
典型例题
例1、找出下列各根式中的二次根式。
4
a2 2a 1
3 27
a2 2
(4) 2a 1(a 1)
互为相反数，求a、b的值。
例6、化简 ( x 4)2 (x 2)2
梳理四.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
ab a b (a 0, b 0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
a b ab (a 0, b 0)
3 2
3 2
求 x2 y xy2 的值。
且 a c，那么 c a (a c b)2
等于（ D ）
A、2a-b
B、2c-b
C、b-2a
D、b-2C
典型例题
例4、把下列各式写成平方差的形式，
再分解因式；
(1)4x2 5
(2)a4 9
(3)3a2 10 (4)a4 6a2 9
典型例题
例5已知 a b 6与 a b 8
(9) 3 24
(2) 48 (3) 125 (4) 800
(6) 1 (7) 3 3
8
5
(10) 1
(11)
2 1
(8) 0.4
3 2 5
梳理六 .同类二次根式的定义。
几个二次根式化为最简二次根 式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就叫做同类二次根式。
判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法：
2
典型例题
例2.x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) 2x 3 (2) 1 3x (3) (x 5)2
(4) x2 1 (5) 3 2x 1
(7) x 5 (x 6)0
(6) 2 1 x
变式练习：
1、能使二次根式 (x 2)2 有意义的实数x的值有 （ B）
A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
2、已知 y x 7 7 x 9
求(xy 64)2的算术平方根。 1
变式练习：
3、已知x、y是实数，且
y
x2 4 4 x2 1 x 2
求3x+4y的值。
-7
梳理二．二次根式的性质
（1） a 0 （ａ 0）
（2） ( a )2 a (a≥0, )
典型例题
例10、计算
(1)2 18 1 18 1 32
2பைடு நூலகம்
4
(2)2 12 4 1 3 48
27
(3) a2b ab2 a2 b ab a
典型例题
例11、计算
(1)( 48 50 ) 6 (2)(2 6 7 2) (7 2 2 6) (3)(3 5 4 2) (2 5 3 2)
（3）
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形 如5，a, a b, ab, s , x2 , 3, a (a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用 基本 运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘 、除 、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母 连接 起 来 的 式 子 ，
我 们 称 这 样 的 式 子 为代 数 式 .
典型例题
例3、计算
(1)( 2 )2 3
(3)(2 3)2
(2)(1 6)2 2
(4)(3 x )2
变式练习：
1、式子 (a 1)2 a 1成立的条件是
（D）
A.a 1 B.a 1 C.a 1 D.a 1
变式练习：
2、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
典型例题
例7、化简 (1) 16 81 (2) 2000
例8、计算
(1) 21 7 (2)3 5 2 15 (3) 4 15 ( 1 5)
2 (4) 10x 101 xy
典型例题
例9、计算
(1) 40 45
(2)3 m6n5 5 m4n2
1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。
2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
梳理七.二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。
一化、二找、三合并
梳理八. 混合运算法则 1.类似整式的加减乘除混合运算
2.对于二次根式的运算，各种运算律照常 使用，各种乘法公式照常使用
典型例题
例12、计算
(1)(3 2 4 5)2
(2)(2 3 5)(2 3 5)
(3)(2 3 5)2 (2 3 5)2 (4)(3 10 )2005 (3 10 )2005
变式练习：
1、比较 7 5与 5 3 的大小。
2、已知 x 3 2 , y 3 2 ,
（3）、商的算术平方根的性质
a a (a 0, b 0) bb
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
a a (a 0,b 0) bb
梳理五.最简二次根式的定义.
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式.
(1)被开方数不含分母；
人教版八年级 第 16 章 二 次 根 式单元复习
知识结构
三个概念
二
两个性质
次
根
式
两个公式
二次根式 同类二次根式
最简二次根式
1、 ab a ba 0,b 0
a
2、
a
(a 0,b 0)
bb
1、 a 2 aa 0
2、 a2 a aa 0 aa 0
典型例题
例4、判断下列各式中哪些是最简二次
根式，哪些不是？为什么？
(1) 3a2b
(2) 1.5ab
(3) x2 y2 (4) a b
变式练习：
1、 x2 16 x 4 x 4 成立的条件
是 x4 。
变式练习：
2、把下列二次根化为最简二次根式。
(1) 12
(5) 3 2
四种运算
加 、减、乘、除
梳理一. 二次根定义
1. 一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号， a 称为被开方数。
二次根式
被开方数a≥0；
根指数为2. ( 双重非负性)
典型例题
例1、找出下列各根式中的二次根式。
4
a2 2a 1
3 27
a2 2
(4) 2a 1(a 1)
互为相反数，求a、b的值。
例6、化简 ( x 4)2 (x 2)2
梳理四.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
ab a b (a 0, b 0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
a b ab (a 0, b 0)
3 2
3 2
求 x2 y xy2 的值。
且 a c，那么 c a (a c b)2
等于（ D ）
A、2a-b
B、2c-b
C、b-2a
D、b-2C
典型例题
例4、把下列各式写成平方差的形式，
再分解因式；
(1)4x2 5
(2)a4 9
(3)3a2 10 (4)a4 6a2 9
典型例题
例5已知 a b 6与 a b 8
(9) 3 24
(2) 48 (3) 125 (4) 800
(6) 1 (7) 3 3
8
5
(10) 1
(11)
2 1
(8) 0.4
3 2 5
梳理六 .同类二次根式的定义。
几个二次根式化为最简二次根 式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就叫做同类二次根式。
判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法：
2
典型例题
例2.x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) 2x 3 (2) 1 3x (3) (x 5)2
(4) x2 1 (5) 3 2x 1
(7) x 5 (x 6)0
(6) 2 1 x
变式练习：
1、能使二次根式 (x 2)2 有意义的实数x的值有 （ B）
A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
2、已知 y x 7 7 x 9
求(xy 64)2的算术平方根。 1
变式练习：
3、已知x、y是实数，且
y
x2 4 4 x2 1 x 2
求3x+4y的值。
-7
梳理二．二次根式的性质
（1） a 0 （ａ 0）
（2） ( a )2 a (a≥0, )
典型例题
例10、计算
(1)2 18 1 18 1 32
2பைடு நூலகம்
4
(2)2 12 4 1 3 48
27
(3) a2b ab2 a2 b ab a
典型例题
例11、计算
(1)( 48 50 ) 6 (2)(2 6 7 2) (7 2 2 6) (3)(3 5 4 2) (2 5 3 2)
（3）
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形 如5，a, a b, ab, s , x2 , 3, a (a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用 基本 运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘 、除 、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母 连接 起 来 的 式 子 ，
我 们 称 这 样 的 式 子 为代 数 式 .
典型例题
例3、计算
(1)( 2 )2 3
(3)(2 3)2
(2)(1 6)2 2
(4)(3 x )2
变式练习：
1、式子 (a 1)2 a 1成立的条件是
（D）
A.a 1 B.a 1 C.a 1 D.a 1
变式练习：
2、已知三角形的三边长分别是a、b、c，