人教B版高中数学必修四高一作业设计：2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式.docx

2．3．3 向量数量积的坐标运算与度量公式 课时目标 1．掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．
1．平面向量数量积的坐标表示
若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝_______________________________________．
即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
2．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，
则a ⊥b ⇔______________．
3．平面向量的模
(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝_____________________________________．
(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则|AB →|＝__________________________．
4．向量的夹角公式
设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝____ _______ ＝__________________________．
一、选择题
1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )
A ．1
B ． 2
C ．2
D ．4
2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )
A ． 3
B ．2 3
C ．4
D ．12
3．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )
A ．865
B ．－865
C ．1665
D ．－1665
4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )
A ．⎝⎛⎭⎫79，73
B ．⎝⎛⎭⎫－73
，－79 C ．⎝⎛⎭⎫73，79 D ．⎝⎛⎭⎫－79
，－73 5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )
A ． 5
B ．10
C ．5
D ．25
6．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )
A ．－17
B ．17
C ．－16
D ．16
二、填空题
7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝_______________________________．
8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________．
9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的射影为______．
10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．
三、解答题
11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10．
(1)求a 的坐标；
(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c ．
12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，
(1)求证：AB ⊥AD ；
(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．
能力提升
13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝⎛⎭
⎫0，π12变动时，a 的范围是( )
A ．(0,1)
B ．⎝⎛⎭⎫33，3
C ．⎝⎛⎭
⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3) 14．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23
CA →，则MA →·MB →＝________．
1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解
析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
2．3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 答案
知识梳理
1．x 1x 2＋y 1y 2 2.x 1x 2＋y 1y 2＝0 3.(1)x 21＋y 21
(2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 4.a·b |a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22
作业设计
1．C [由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2＝0，
∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3.
∴|a |＝1＋n 2＝2.故选C.]
2．B [a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.
∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.]
3．C [∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，
∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665
.] 4．D [设c ＝(x ，y )，
由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，①
由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②
联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－73
)， 故选D.]
5．C [∵|a ＋b |＝52，
∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，
∴|b |＝5.]
6．A [由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，
知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．
又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，
∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17
.]
7．1
解析 a －2b ＝(1，3)，
(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.
8．(－4,8)
解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，
∴b ＝－4a ＝(－4,8)．
9.655
解析 设a 、b 的夹角为θ，
则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55， 故a 在b 方向上的射影为
|a |cos θ＝13×55＝655
. 10.⎝⎛⎭
⎫－12，2∪(2，＋∞) 解析 由题意cos α＝a·b |a||b |＝－2λ－15·λ2＋1
， ∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，
∴－1<－2λ－15·λ2＋1
<0， ∴⎩⎨⎧ －2λ－1<0，
－2λ－1>－5λ2＋5，
即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，(2λ＋1)2<5λ2＋5， 即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，λ≠2，
∴λ的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－12，2∪(2，＋∞)． 11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．
(2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝10，
∴a (b·c )＝0a ＝0，
(a·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)．
12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，
∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，
又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .
(2)解 ∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，
∴AB →＝DC →.
设C 点坐标为(x ，y )，
则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．
由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，
所以AC →·BD →＝8＋8＝16，
|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.
设AC →与BD →夹角为θ，则
cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|
＝1620＝45>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45
. 13．C
[已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12
，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3
， 故B 1⎝
⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零， 故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝⎛⎭
⎫33，1∪(1，3)．] 14．－2
解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)，
∴MA →＝(0,1)，
MB →＝(－3，－2)．
∴MA →·MB →＝－2.。