二项式定理(优秀课件案例)

发现：
（１）、展开式中各项是 aib j i j n 的形
式，可按a（或b）的降幂排成：
an , an1b, a b n2 2 , , abn1, bn
（２）、展开式中各项系数的规律：将(a b)n
中 n 1, 2,3, 4,展开式的系数列成表如下：
(a b)1
11
(a b)2
12 1
(a b)3
13 3 1
(a b)4
14 6 4 1
…………
发现每行两端都是１，后一行其它各数是
上一行肩上二数之和。再从一个数等于另二数 之和联想到结合数及其性质：Cnm1 Cnm Cnm11， 于是各项系数可写成表中形式：
C10
C11
C20
C21
【教学目标】
使学生掌握二项式定理及推导方法、二项展
1、知识目标：开式、通项公式的特点，并能运用二项式定
理计算或证明一些简单的问题。
在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过
2、能力目标：程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，
以及学生的化归意识与知识迁移的能力。
通过“二项式定理”的学习，培养学生解决
3、情感目标：数在学的问和题谐的、兴对趣称和美信及心数，学让符学号生应感用受的数简学洁内美，
从而猜想(a b)n 各项系数为Cnr (r 0,1, 2, , n) ，让
学生的思维从特殊到一般，由迷茫到大悟，使学生深 深体会到数学内在的和谐、对称美。在此，适时对学 生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感和学习 数学的热情。
思路二： 观察下式：
(a b)4 (a b) (a b) (a b) (a b)
（2）二项展开式的应用及一些易混淆的概念。
突破难点的关键：
（1）利用组合数及性质分析“杨辉三角”中各数的关 系； （2）利用组合的知识归纳二项式系数；
二、教法、学法分析
数学是一门培养人的思维发展的重要学科。因此， 在教学中让学生自己发现规律是最好的途径。正所谓 “学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。”本节 课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积 极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同 探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的 多项式乘法入手，进行分析，又可利用组合的有关知识 加以分析、归纳，通过对二项展开式规律的探索过程， 培养学生由特殊到一般，经过观察分析、猜想、归纳 （证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、 联想、归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知 识的发生、发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教 学理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这 对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。
二项式定理
一、教材分析
【教材的地位及作用】
“二项式定理”是高中数学新教材第二册（下B） 第十章第四节，它是安排在排列组合内容后的自成体 系的知识块。实际上，它是初中学习的多项式乘法的 继续，它所研究的是一种特殊的多项式-----二项式乘 方的展开式。它与后面学习的概率理论中的二项分布 有内在联系，利用二项式定理可进一步深化对组合数 的认识，因此，二项式定理起着承上启下的作用，是 本章教学的一个重点。
本小节约需3个课时，本节课是第一课时。
【学生情况分析】
授课对象是高二中等程度班级的学生。学生 具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃， 但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分 学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形 成过程。
（根据以上分析，结合新课标的理念，制 订如下的教学目标和教学重、难点）。
三、教学手段
制作多媒体课件，以增加课堂容量， 提高学生的兴趣，使学生加深对定理、概 念的理解。
四、教学过程设计
【复习引入： 】
复习回顾：
［提问］初中学过的完全平方公式是什么？ 你能写出 (a b)3 ? ，(a b)4 ?
设计意图：
通过复习旧知识，自然引入，在这里设 计了层层递进多项式展开问题，目的是为了让 学生了解知识发生、发展的过程，激发学生的
C22
C30
C31
Baidu Nhomakorabea
C32 C33
C40 C41
C42
C43
C44
由此猜想(a b)n展开式的各项系数：
Cn0 , Cn1 , Cn2 , , Cnn
【设计意图 ： 】
学生对各项是 aib j形式不难猜到，但对二项式系
数不易想到。通过“杨辉三角”中的数字规律，联想 到组合数及性质，进而可用组合数来表示表中的数，
认知的冲突，让学生明白 (a b)n实质上是多
项式的乘法。
思路一： 观察下列几个等式：
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 (a b)3 (a b) a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括
号各取一项相乘而得，故每一项都是 aibj i j 4 形
式，即 a4, a3b, a2b2, ab3,b4 .各项系数是由相同的项合 并而成的，有几项其系数就是几，故
含 a4 的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）
而得，即C44a4
C40b
0
，系数为；C
0 4
含 a3b的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而
提问：
(1)、以 (a b)4为例，展开式中各项字母的形式是什 么？展开式项的次数是什么？有几项？ (2)、(a b)4展开式中各项的系数与(a b)3 展开式中 各项的系数有没有关系？
(3)、你能猜想 (a b)n 展开式的形式吗？
【设计意图 ： 】
由特殊的二项式来分析猜 想一般的(a b)n 展开式，培养 学生由特殊到一般的思维方式， 培养学生大胆探索的精神。
结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教 育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而 勤奋学习的热情，培养学生勇于探索、勇于 创新的精神。
【教学重点、难点、关键】
重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成
过程，掌握二项式定理； （2）能正确应用二项式定理解决一些简单的问题。
难点：（1）二项式系数与组合数之间的联系；