专题：椭圆的焦点三角形

椭圆的焦点三角形
一 知识梳理
定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点
三角形叫焦点直角三角形。

性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。

所以周长为定值2a+2c
性质二：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角
形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan
221θ
b S PF F =∆.
证明：记2211||,||r PF r PF ==，
由椭圆的第一定义得.4)(,22
22121a r r a r r =+∴=+
在△21PF F 中，由余弦定理得：
2(cos 2212
22
1c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(2
2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242
212
c r r a =+-θ
.cos 12cos 1)(22
2221θ
θ+=+-=∴b c a r r
由任意三角形的面积公式得：
2tan 2
cos 22cos
2
sin
2cos 1sin sin 2122
222121θθθ
θ
θ
θθ⋅=⋅=+⋅==
∆b b b r r S PF F .
.2
tan 221θ
b S PF F =∴∆
性质三：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角
形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.2112cos 222
e a
b -=-≥θ并且点P 在y 轴上是张角最大。

证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：
1244242)(2cos 2
12
221221221212
212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ
.21121)2
(2222
2212e a b r r b -=-=-+≥当切仅当21r r =，即点P 在y 轴是θcos 取的最小值，而角θ取得最大值。

二 典型例题
例1 如图把椭圆
22
12516
x y +=的长轴AB 分成8分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点，F
是椭圆的一个焦点，则
127......PF P F P F +++=_____
解：只需取椭圆的另一焦点与1P ,2P ,……7P 七个点分别
连接，由结论1和对称性可知
()127
1
(145352)
PF P F P F +++=⨯⨯= 例2若P 是椭圆
164
1002
2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，1）求△21PF F 的面积2）求点P 的坐标
例3已知1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使
︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。

由焦点三角形性质二， .2190cos 20e -≥
⇒
2
2
≤e ＜1 三 练习题
1. 椭圆124
492
2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△2
1PF F 的面积为（ ）
A. 20
B. 22
C. 28
D. 24
2. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 3
D. 6
3. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积 最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 2-
4．已知椭圆1222
=+y a
x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，
且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1 B ．3
1
C ．
3
4 D ．
3
2 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上， 直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为3
5
， 求椭圆的标准方程.
6 22
12,:1,84
x y F F C +
=是椭圆的焦点的个数为？的点上满足在P PF PF C 21⊥ A. 0 B. 1 C. 3 D. 4
7 椭圆22
194
x y +
=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 。

8已知椭圆的两个焦点为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等
腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） A
2
2 B 21
2
- C 22- D 21-
9已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2
4
x +y 2
=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦
点在BC 边上,则△ABC 的周长是 . 10设
F 1,F 2是椭圆+=1的左、右焦点,点M 在椭圆上,若△MF 1F 2是直
角三角形,则△MF 1F 2的面积等于( )
(A) (B) (C)或16 (D)或16
变式 设F 1,F 2是椭圆14
162
2=+y x 的左、右焦点,点M 在椭圆上,若△MF 1F 2是直角三角形,则△MF 1F 2的面积等于？。