经济数学基础(上)-导数与微分笔记整理

导数的符号要清楚 一、
（P51，52 都有），最简单的就是
二、 导数的几何意义（P55）
函数 y=f（x）在点 处的导数 率，
k=
，∴切线的方程为 y
就是曲线 y=f（x）在点（
）处切线的斜
三、 可导与连续的关系（P56，2.1.5）
定理 2.1 和注意 可导 连续（充分条件）
y=f（x）的图像在点 处出尖，则 f（x）在 处不可导。例：y= ，图像如下, 此时， 当 x=0 时，图像出尖，不可导。
一般情况是先打开再做比较容易，有时是怎么做都一样的。
方法一：直接求。要用到乘积的导数。（先打开再做就用不着乘积的导数，看过程就知道哪 个方法简单了。）
=2（
）+
=10
=30 方法二：先打开，再求导。
=5
=10
∴
【练习 2：求导】 ①
解：
【注意：ln6 为常数，导数也为 0 哦！】
② 解：
③ 解：
④
坐标，纵坐标很好找的嘛！
解：y（1）=0
∴切点为（1,0）
∴k= ∴方程为
复合函数的求导 六、
（P58，2.2.2）
学会了上边的基本的求导，接下来就要学习更难一点的复合函数的求导了。而且，你还 别着急，导数这章可是咱们期中考试的重点呐，怎么着也得会点吧？
【求导的方法：】 ① 分解复合函数（第一章已经讲过了，不会的去看第一章吧） ② 分别求导 ③ 将导数相乘 ④ 把中间变量（u、v、s、t……）代回来 下面有 2 道例题，每道题都分为“初级、中级、高级”，哈哈，请对号入座……你目前处于 什么级别自己心里清楚，能把题做对就可以了嘛。
=2·
=
=
（21） 哦，天呐，最难打的一个公式了，好小的格哦……看看是有多复杂的题吧。呵呵，看的懂吗？
解：
∴
=
= 下边 4 道题，凡是抄过我作业的同学，你们写的过程都至少有 4、5 步，看 不懂下边过程的，看作业上的去。如果还不会的话，问我。
导数的基本公式与练习题 四、
（P65~66，2.2.6 的 1.，2.，
3.，） 就记书上的前 8 个就行了，其他的不用记
再多记 2 个：①
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②
【练习 1：求导】
① 解：有分式，商的导数不好算，可以先化简。
∴
∴
【注意 ln7 为常数，常数的导数为 0 哦！】
=
② 解决此题有 2 种方法，方法一是直接求。方法二是先打开，再求。你觉得怎么简单就怎么来。
=sin2
【如果不会二倍角公式，这步可以不写】
= sin 中级：
解：
= = =sin2 = sin 高级： 解： =sin2 = sin
复合函数的导数学会了没？现在自己来做几道吧！下边的解题步骤有点高手级别了，不 过基本上都是用公式做的，你应该能看懂吧。看不懂的话只能说你公式不会背哦，先把公式 背会吧。考试时可是闭卷哦。 【书上的题，P76，7（3）（21）（6）（12）（20）（22）。前 2 道是课堂练习，后 4 道为作业题】 P76，7.求导 （3） 解：
∵
=2
∴ （4）
此题也可以直接，前提是你必须会背两个公式。 如果这两个公式知道的话，就直接求导。若不知道，就要化成指数的形式。
方法一：直接求导。
解：
+
=+ 方法二： 解：∵ =2·
∴
=
【写成这样就行了，不用再化成根号了】
（8）
这题化简也不容易，直接来商的导数吧！ 解：
= P75，4.求导 （3） 解： =
例 1：求导：
初级：按照上边的方法一步一步来的说 解：<1>分解： <2>分别求导： <3>将导数相乘:
<4>把中间变量（u、v）代回来： 果不知道余切公式，可以不用化成余切】 中级：省掉了分解函数的步骤，一步一步的求导
解：
=
= = 高级：你懂的
【如
= 例 2：
你应该知道， 初级：一切从分解复合函数开始…… 解：<1>分解： <2>分别求导： <3>将导数相乘: <4>把中间变量（u、v）代回来：
经济数学基础（上） 数学笔记整理
第二章 导数与微分（P49）
目录
一、 导数的符号要清楚.................................................. 1 二、 导数的几何意义.................................................... 1 三、 可导与连续的关系.................................................. 1 四、 导数的基本公式与练习题 ............................................ 1 五、 切线方程问题...................................................... 3 六、 复合函数的求导.................................................... 4 七、 隐函数的导数...................................................... 7 八、 高阶导数.......................................................... 7 九、 微分.............................................................. 8 十、 可微、可导和连续、极限的关系 ...................................... 9
【怎么样，这些导数还算简单？】
五、 切线方程问题
从导数的几何意义可知，
表示曲线 y=f（x）在点（
切线方程就得先求斜率，再运用点斜式，方程就求出来了。
例 1：求曲线 y= 在点（3,9）处的切线方程
）处切线的斜率。所以求
解：
∴k=
∴方程为
，即
例 2：求 y=lnx 在 x=1 处的切线方程
写方程得知道斜率和一个点。而这题没给点，则需要先把该点找出来。题目中给了该点的横
解：
⑤ 很容易能看出来，此题必须要化简了。你要是想用商的导数来求的话，是够麻烦的了。
解：∵
=（
）·
=
∴
⑥
这题就不能化简了，怎么着都是麻烦。商的导数会背吗？要用了。。。注意所有公式都必须要 会背哦！
=
= 【书上的题 P75，3，4】 P75, 3.求导
（2） 这题就是怎么做都行，你想用乘积的方法做就直接挑战吧。但是为了简单，我们的习惯就是 先打开，再求导。