小波变换mallat

实验目的：通过编程实现离散快速小波变换Mallat 算法，从而加深理解二维

小波变换的分解与合成，同时，提高编程能力和matlab 的应用，为以后的学习打下基础。

实验原理：

1、Mallat 快速算法

本实验使用离散快速小波变换快速算法Mallat 算法，算法原理如下

1(2)j j k n n

c h n k c -=-∑ （1）

1(2)j j k n n

d g n k c -=-∑ （2）

重构算法： 1

(2)(2)j j j n

k k n

n

c h n k c g n k

d -=-+-∑∑ （3）

对于（1）、（2）等效于1

j n c -经过冲击响应为[]h n -和[]g n -的数字滤波器，然后再分别进行“二抽取”，Mallat 分解算法的滤波器表示形式如下图

C j-1

d j (k)

C j (k)

用滤波器表示如下图

d j

C j C j-1(k)

2、 255*255

10lg

PSNR MSE

=

'2

11

()*M

N

ij

ij i j f

f MSE M N

==-=

∑∑

{}ij f '{}ij f 分别表示原始图像和重建后的图像，1,1i M j N ≤≤≤≤。

3、边界延拓方法有零延拓、周期延拓、对称周期延拓、常数连续延拓等，本实验采用以上四种方法进行原图像的1/8延拓，并进行重构，各种延拓方法所对应的函数为yan0(x)、yancir

（x ）、yan(x)、yanc(x),在主程序中，需要某种延拓，便调用某种函数。

实验编程思路：

为使程序易于理解，在不考虑算法复杂度的情况下，分解程序采用简洁的循环计算出下一级的分解系数，程序采用的编程思想如下

[][][]11100[0][1][2][3][4][5]

001[1]00[0][1][2][3]00[1][2][3][4][5]00[0][1]12j j j j j j c c h h h h h h c c h h h h n c n h h h h h h c ---⎡⎤

⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥=⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦

以上矩阵等式左面是进行二抽样的结果，[0][1]2

j j n

c c -是j 分解的低频部分。同理，对

于j 分解的高频部分有如下矩阵形式：

[][][]11

100[0][1][2][3][4][5]0

01[1]00[0][1][2][3]0

0[1][2][3][4][5]00[0][1]12j j j j j d d g g g g g g d d g g g g n d n g g g g g g d ---⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢

⎥⎢

⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎣⎦

⎣

⎦⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦ 分解程序： lenx=size(x,2);%x 为一维向量

lenh=size(h,2); h=[h,zeros(1,(lenx-lenh))]; g=[g,zeros(1,(lenx-lenh))];

r1(1)=sum(h.*x); r2(1)=sum(g.*x);

for k=1:1:(lenx/2-1) %循环求出下一级低频和高频分量

h=[h(end-1:end),h(1:(end-2))];

r1(k+1)=sum(h.*x); g=[g(end-1:end),g(1:1:(end-2))];

r2(k+1)=sum(g.*x);

end y=[r1,r2];

对于重构算法，其等效形式为

[][][]1(2)(2)j j j n

n

c n h n k c k g n k

d k -=-+-∑∑

上式等号右边部分实质上是对变量k 的数字卷积运算,程序采用频域相乘代替卷积，重建程序为 y=ifft(fft(c3,lenx).*fft(h,lenx))+ ifft(fft(d3,lenx).*fft(g,lenx));

实验结果及分析：

1、多尺度分解与重构图像

二维小波变换采用小波采用db3，其峰值信噪比PNSR=230.13db，并对三级分解图像进行归一化，求出0的个数为37626，其所占的百分比为57.41%。

2、延拓重建图像

延拓方法周期延拓对称周期延拓零延拓常数连续延拓PNSR 230.18db 230.48db 229.80db 230.13db 从PNSR结果可知，在各种延拓中，对称周期延拓的重建图像结果最好，相比之下零延拓图像效果不如其他方法延拓。

3、不同小波下重构图像的性质

用不同小波进行图像重构，所得的重构图像能量分布如下

用各种小波进行重构后的图像的均值方差如下表。

小波db1 db2 db3 db4

均值124.0309 124.0509 124.0509 124.0509 方差2272 2272 2272 2272

附录：

1、主函数程序

clc;clear;

X=imread('LENA.bmp');%路径X=double(X);

% S=yancir(X);

A=mallatdec2(X,'db3', 3); image(abs(A));

colormap(gray(255));

title('3级多尺度分解图像');

Y=mallatrec2(A,'db3',3);

Y=real(Y);

figure(2);

subplot(1,2,1);

image(X);

colormap(gray(255));

title('原始图像');

subplot(1,2,2);

image(Y);

colormap(gray(255));

title('重建图像');