超静定结构的计算资料
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第十三章 超静定结构的计算
◆ 课节13-1 ◆ 课节13–2 ◆ 课节13–3 ◆ 课节13–4 ◆ 课节13–5 ◆ 课节13–6
力法原理和典型方程 用力法求解超静定结构 位移法概念、基本未知量和转角位移方程 用位移法求解连续梁和超静定刚架 力矩分配法基本原理 用力矩分配法求解连续梁和无侧移刚架
课节13-1 力法原理和典型方程
知量，以单跨超静定梁作为计算单元。
二、位移法基本未知量的确定 基本未知量数目等于结点角位移数与独立结点线位移数的总和。
确定未知量的基本方法：
1）数刚结点的数目确定结点角位移数； 2）用铰化结点法确定独立的结点线位移数
E
G
G
图1
图2
图3
图1：有C、D、E、F四个刚结点，结点角位移分别为C、D、E、
F；有两个独立结点线位移1、2，所以共有6个基本未知量。
与力法相比，位移法适用于超静定次数较高的结构。
一、位移法的基本概念 基本思路是：以独立结点角位移和结点线位移作为基本未知
量，以结点的静力平衡方程建立位移法方程，求解结点线位移和
角位移；再利用结点位移和杆端力之间的关系，求出全部内力。
MAC MAB
1) 分析图示刚架
刚架变形只要用1来描述即可。 求得1值，刚架的内力就可以确定。
刚架的计算就变为图b、c所示两
个单跨超静定梁的计算
2)各杆的内力由力法即可算出
M AB
4EI l
1
M BA
2EI l
1
M AC
3EI l
1
3Fl 16
3)取结点A列平衡方程
MCA 0
MA 0
M AB M AC 0
4EI l
1
3EI l
1
3Fl 16
0
1
3Fl 2 112EI
在位移法中，就以结点的转角作为基本未
l
五、等截面直杆的转角位移方程 表示杆端弯矩(或杆端剪力)与荷载和支座位移之间关系的表达
式称为转角位移方程。
1、两端固定梁的转角位移方程
e) 荷载引起的弯矩剪力
记为：
F M F M F
F
AB
BA
F
F
QAB QBA
dcMMb力))A)A转两BB转角端24角iiB相ABAMM引对引BBAA 起侧起24ii的移的AB 杆F杆FQ引QAA端BB端起内内66的llii力BA杆FFQQ端BBAA 内 66llii力AB将查FMMQ表BAAABB 结24ii果6liAA叠A42ii加6lBBi 得B66llii转1l22i角MM B位FAFABFQ移FAB 方(1程5-5)
铰，相当去掉 2个约束
1）
3)去掉一个固定端支座或切
断一根梁式杆，相当去掉 3个
2）
2）基本体系
2）
2）基本体系 约束 4)将—个固定端支座改为铰
支座或者将一刚性连接改为
3）基本体系
3）基本体系 单铰连接，相当去掉 1个约束
3）
把去掉多余未知力和荷载的
静定结构称为力法的基本结构
4）基本体系
4）基本体系 把作用有多余未知力和荷载的静定结
本章主要介绍： 求解超静定结构的基本方法 力法；位移法;
力矩分配法的基本原理及其应用。
一、超静定结构概念及类型
超静定梁. 超静定刚架. 超静定桁架. 超静定拱. 超静定组合结构.
超静定次数的确定
1)去掉一根链杆或切断一根
1）
1）基本结 体构 系
链杆，相当去掉 1个约束 2)去掉一个铰支座或一个单
1）基本体系
图2：结点E、F为刚结点，其角位移E、F为基本未知量； 铰化后结构为瞬变体系，故结点G的竖向线位移G为基本未知量
图3：该排架的基本未知量共有三个，分别为F、G和E。
三、位移法基本结构的确定 基本未知量确定后，在结点位移处增设约束(刚结点处增加刚臂
，线位移处增加链杆)，所得的结构称为位移法基本结构。
B
3EI
X1
(
) 8EI
0
3ql
X1
l ql2/8
c)
M
图
1
X1 8
3）画M图
A
B
3ql ql 2 ql 2
e) M图
MA 8 l 2 8
例13-1 试用力法计算图示超静定梁的内力，并绘出弯矩图。
a） 原结构
A l/2
F
C l/2
B 解： 1不)建计立基梁本轴体向系。变 形 时 2,)X建2=立0 力法方程。
A
B
c) 基本体系
q
X1
ql2/2
11
M 12 dx 1 ( 1 l l 2 l ) l 3
EI
EI 2
3 3EI
1P
M 1 M P dx
1
1 ql2
3
( l l)
ql 4
EI
EI 3 2 4
8EI
A
BA
1P
d) MP图
B 代入上式力法基本方程 ：
l3
ql 4
A
11 A B
4）
构称为力法的基本体系。
Байду номын сангаас
二、力法
1页
1.力法的基本原理
q
多余未知力X1是力法的基本未知量。 1）建立变形协调条件，又为位移条件
A
l
a) 原结构
B
1=11+1P=0
令X1=1时在X1方向产生的位移为11，则
A
B 11=11 X1，上式可写成：11 X1+1P=0
b) 基本结构
q
此式为力法基本方程
2）求11和1P，作MP图和M1 图，由图乘法得
A
b） 基本体系
Fl/2
c） MP图
A
d） M1 图
A
l 3Fl/16
e）
M图 A
F C F
5Fl/32
B
11 X1+1P=0
X2 X1=1
3)画MP图和M1
图，计算系数和自由项
由图乘法有：
B
11
M 12 EI
dx
1 EI
(1 l l 2
2 l) 3
l3 3EI
B X1=1
B
1P
M1M P EI
M AB
6i l
M BA
6i l
FQ AB
12i l2
FQ BA
12i l2
FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
FQFBA
各梁的转角位移方程
1、两端固定梁的转角位移方程
M AB M BA FQAB
4i A 2iB
dx
1 EI
(1 Fl l 5l ) 5Fl 3 2 2 2 6 48EI
4)解力法方程求多余未知力。
l3
5Fl 3
3EI
X1
(
) 48EI
0
得
X1
5F 16
5)绘制弯矩图 由 M M 1 X1 M P
MA
l
5F 16
Fl 2
3Fl 16
l 5F
5Fl
MC
2
16
0
32
课节13–3 位移法概念、基本未知量和转角位移方程
D
基本结构
图2
可见，在位移法中基本未知量的数目就等于基本结构上所应 具有的附加约束的数目。 四、单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力 单跨超静定梁有三种类型：
杆端弯距和杆端位移正负号作如下规定：
单跨超静定梁，由荷载或支座移动所引起的内力，都可用力法求 得。等截面单跨静定梁的杆端弯矩和剪力见表3-1。i EI 为线刚度
◆ 课节13-1 ◆ 课节13–2 ◆ 课节13–3 ◆ 课节13–4 ◆ 课节13–5 ◆ 课节13–6
力法原理和典型方程 用力法求解超静定结构 位移法概念、基本未知量和转角位移方程 用位移法求解连续梁和超静定刚架 力矩分配法基本原理 用力矩分配法求解连续梁和无侧移刚架
课节13-1 力法原理和典型方程
知量，以单跨超静定梁作为计算单元。
二、位移法基本未知量的确定 基本未知量数目等于结点角位移数与独立结点线位移数的总和。
确定未知量的基本方法：
1）数刚结点的数目确定结点角位移数； 2）用铰化结点法确定独立的结点线位移数
E
G
G
图1
图2
图3
图1：有C、D、E、F四个刚结点，结点角位移分别为C、D、E、
F；有两个独立结点线位移1、2，所以共有6个基本未知量。
与力法相比，位移法适用于超静定次数较高的结构。
一、位移法的基本概念 基本思路是：以独立结点角位移和结点线位移作为基本未知
量，以结点的静力平衡方程建立位移法方程，求解结点线位移和
角位移；再利用结点位移和杆端力之间的关系，求出全部内力。
MAC MAB
1) 分析图示刚架
刚架变形只要用1来描述即可。 求得1值，刚架的内力就可以确定。
刚架的计算就变为图b、c所示两
个单跨超静定梁的计算
2)各杆的内力由力法即可算出
M AB
4EI l
1
M BA
2EI l
1
M AC
3EI l
1
3Fl 16
3)取结点A列平衡方程
MCA 0
MA 0
M AB M AC 0
4EI l
1
3EI l
1
3Fl 16
0
1
3Fl 2 112EI
在位移法中，就以结点的转角作为基本未
l
五、等截面直杆的转角位移方程 表示杆端弯矩(或杆端剪力)与荷载和支座位移之间关系的表达
式称为转角位移方程。
1、两端固定梁的转角位移方程
e) 荷载引起的弯矩剪力
记为：
F M F M F
F
AB
BA
F
F
QAB QBA
dcMMb力))A)A转两BB转角端24角iiB相ABAMM引对引BBAA 起侧起24ii的移的AB 杆F杆FQ引QAA端BB端起内内66的llii力BA杆FFQQ端BBAA 内 66llii力AB将查FMMQ表BAAABB 结24ii果6liAA叠A42ii加6lBBi 得B66llii转1l22i角MM B位FAFABFQ移FAB 方(1程5-5)
铰，相当去掉 2个约束
1）
3)去掉一个固定端支座或切
断一根梁式杆，相当去掉 3个
2）
2）基本体系
2）
2）基本体系 约束 4)将—个固定端支座改为铰
支座或者将一刚性连接改为
3）基本体系
3）基本体系 单铰连接，相当去掉 1个约束
3）
把去掉多余未知力和荷载的
静定结构称为力法的基本结构
4）基本体系
4）基本体系 把作用有多余未知力和荷载的静定结
本章主要介绍： 求解超静定结构的基本方法 力法；位移法;
力矩分配法的基本原理及其应用。
一、超静定结构概念及类型
超静定梁. 超静定刚架. 超静定桁架. 超静定拱. 超静定组合结构.
超静定次数的确定
1)去掉一根链杆或切断一根
1）
1）基本结 体构 系
链杆，相当去掉 1个约束 2)去掉一个铰支座或一个单
1）基本体系
图2：结点E、F为刚结点，其角位移E、F为基本未知量； 铰化后结构为瞬变体系，故结点G的竖向线位移G为基本未知量
图3：该排架的基本未知量共有三个，分别为F、G和E。
三、位移法基本结构的确定 基本未知量确定后，在结点位移处增设约束(刚结点处增加刚臂
，线位移处增加链杆)，所得的结构称为位移法基本结构。
B
3EI
X1
(
) 8EI
0
3ql
X1
l ql2/8
c)
M
图
1
X1 8
3）画M图
A
B
3ql ql 2 ql 2
e) M图
MA 8 l 2 8
例13-1 试用力法计算图示超静定梁的内力，并绘出弯矩图。
a） 原结构
A l/2
F
C l/2
B 解： 1不)建计立基梁本轴体向系。变 形 时 2,)X建2=立0 力法方程。
A
B
c) 基本体系
q
X1
ql2/2
11
M 12 dx 1 ( 1 l l 2 l ) l 3
EI
EI 2
3 3EI
1P
M 1 M P dx
1
1 ql2
3
( l l)
ql 4
EI
EI 3 2 4
8EI
A
BA
1P
d) MP图
B 代入上式力法基本方程 ：
l3
ql 4
A
11 A B
4）
构称为力法的基本体系。
Байду номын сангаас
二、力法
1页
1.力法的基本原理
q
多余未知力X1是力法的基本未知量。 1）建立变形协调条件，又为位移条件
A
l
a) 原结构
B
1=11+1P=0
令X1=1时在X1方向产生的位移为11，则
A
B 11=11 X1，上式可写成：11 X1+1P=0
b) 基本结构
q
此式为力法基本方程
2）求11和1P，作MP图和M1 图，由图乘法得
A
b） 基本体系
Fl/2
c） MP图
A
d） M1 图
A
l 3Fl/16
e）
M图 A
F C F
5Fl/32
B
11 X1+1P=0
X2 X1=1
3)画MP图和M1
图，计算系数和自由项
由图乘法有：
B
11
M 12 EI
dx
1 EI
(1 l l 2
2 l) 3
l3 3EI
B X1=1
B
1P
M1M P EI
M AB
6i l
M BA
6i l
FQ AB
12i l2
FQ BA
12i l2
FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
FQFBA
各梁的转角位移方程
1、两端固定梁的转角位移方程
M AB M BA FQAB
4i A 2iB
dx
1 EI
(1 Fl l 5l ) 5Fl 3 2 2 2 6 48EI
4)解力法方程求多余未知力。
l3
5Fl 3
3EI
X1
(
) 48EI
0
得
X1
5F 16
5)绘制弯矩图 由 M M 1 X1 M P
MA
l
5F 16
Fl 2
3Fl 16
l 5F
5Fl
MC
2
16
0
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课节13–3 位移法概念、基本未知量和转角位移方程
D
基本结构
图2
可见，在位移法中基本未知量的数目就等于基本结构上所应 具有的附加约束的数目。 四、单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力 单跨超静定梁有三种类型：
杆端弯距和杆端位移正负号作如下规定：
单跨超静定梁，由荷载或支座移动所引起的内力，都可用力法求 得。等截面单跨静定梁的杆端弯矩和剪力见表3-1。i EI 为线刚度