第二节 可分离变量的微分方程(精)

例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y
两边积分
得 ln y x3 C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即
令C eC1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
x |t6 0.03 Biblioteka Baidu 0.07e1 0.056, 6分钟后, 车间内CO2的百分比降低到 0.056%.
练习题
一、求下列微分方程的通解: 1、sec 2 x tan ydx sec 2 y tan xdy 0 ； 2、(e x y e x )dx (e x y e y )dy 0 ； 3、( y 1)2 dy x 3 0. dx
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
解: 根据题意, 有
dM M ( 0)
dt M t0 M 0 (初始条件)
分离变量, 然后积分:

得 ln M t lnC,
利用初始条件, 得
即 M C et C M0
M0
M
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . O
第二节 可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
例如
dy

2x2
4
y5
dx

4
y 5dy

2 x2dx,
解法 g( y)dy f ( x)dx
设G( y)和F ( x)分别为g( y)和 f ( x)的原函数,则
G( y) F ( x) C 为微分方程的通解.
Q dV 0.62 S 2gh , dt
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
解 S 1 cm2 ,
h
dV 0.62 2ghdt, (1)
h
h dh r
设在微小的时间间隔 [t, t dt], o
100 cm
水面的高度由h降至 h dh , 则 dV r 2dh,
度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,
求降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程 m dv mg kv
初始条件为 v t0 0
dt
分离变量, 然后积分 :

得
(此处 mg kv 0)
利用初始条件, 得 C 1 ln ( mg )
四、小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线.
t
内容小结
可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
1
y y2
dy

x 1 x2
dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y ln tan y 2sin x C 2
补充题: 1. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速
的含量, 用一台风量为每分钟2000立方米的鼓风
机的通风入 量含 将混0.0合3%均匀的的CO空2的气新排鲜出空, 问气鼓, 同风时机以开同动样6 分钟后, 车间内CO2 的百分比降低到多少?
解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2的含量为 x(t )%, 则在[t, t dt]内, CO2的通入量 2000 dt 0.03%, CO2的排出量 2000 dt x(t)%,
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),
dx 1 ( x 0.03),
1t
x 0.03 Ce 6 ,
dt 6
1t
x |t0 0.1, C 0.07, x 0.03 0.07e 6 ,
0.62 2g 3
5
h |t0 100,
C 14 105 , 0.62 2g 15
所求规律为
t (7 105 103 h3 3 h5 ). 4.65 2g
3. 某车间容积为12000立方米, 开始时空气中
含有0.1%的 CO2 , 为了降低车间内空气中CO2
x ydx ( x2 1) dy 0
例2. 解初值问题 y(0) 1
解: 分离变量得
dy y

1
x x2
dx
两边积分得
即
C y
x2 1
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
1 y
x2 1
例3. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、cos
x sin
ydy

cos
y sin xdx
, y x0

； 4
2、cos
ydx

(1
e x ) sin
ydy

0, y x0

. 4
三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在t 10 秒时,速度等于50厘米 / 秒 ,外力为4克 厘米 / 秒2 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
代入上式后化简,
得特解
k v

m
g
(1

e
k m
t
)
t 足够大时
v

mg k
k
2. 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时 间t的变化规律.
说明: 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为