4 流体动力学

克服阻力作功，使流体的一部分机械能不可
逆地转化为热能而散失；
（2）黏性流体流动时，单位重量流体具有的机 械能沿程不守恒而是减少，总水头线不是水
平线，而是沿程下降线；
（3）根据能量守恒原理：
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw
水头损失
第三节 恒定总流的伯努利方程
1 渐变流及其性质 定义：流体质点的位变加速度很小，即流速沿
u x z
dx
在流线上，由流线方程得：
u y dx ux dy, uz dx ux dz, uz dy u y dz
u x
u x x
uy
u y y
uz
u z z
dx
u
x
u x x
dx u x y
dy u x z
dz u x dux
Xdx
1
p x
dx u x d u x
Ydy
(3) 选好基准面，基准面原则上可以选在任何位置，但选择得 当，可使解题大大简化，通常选在管轴线的水平面或自由液面， 要注意的是，基准面必须选为水平面。
uz
u x z
Y
1
p y
Du y Dt
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p Duz z Dt
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
无黏性（理想）流体运动微分方程（欧拉运动微分方程）
上式适用于不可压缩流体； 对静止流体，上式转化为流体（欧拉）平衡微
pA pB h液g(液 )
则得
V
2g
液
h液
2gh液
液
1
图 3-18 用皮托管和静压管测量气体流速
在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件，称为皮托—静 压管，又称动压管，习惯上常简称它为皮托管，其示意图如图319所示。图中1点为总压测点，2点为静压测点，将总静压孔的通 路分别连接于差压计的两端，则差压计的指示为总压和静压的差 值，从而可求得测点的流速。皮托-静压管的构造尺寸及使用时的 连接方式如图3-20所示。
x
y
z
Xdx Ydy Zdz U dx U dy U dz dU
x
y
z
（伯努利积分）
最终整理：dU
P
u2 2
0
沿流线积分
U P u2 C
2
如质量力只有重力，z p u2 C （伯努利方程）
g 2g
沿流线的任意两点：z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
势能
位能
z pB V 2 z pA 0
则
g 2g
g
h pA pB V 2
g g 2g
v 2 pA pB 2gh
上式表明，只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可 以确定流体的流动速度。
如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差 来，必须把两根管子连接到一个Ｕ形差压计上，从差压计上的液 面差来求得流速，如图3-18所示，则
1
p y
dy
uyd
uy
相加
Xdx
Ydy
Zdz
1
dp
d
u2 2
Zdz
1
p z
dz
u
z
d
u
z
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1 dp;
其中：
u x du x u y d u y
u z d u z
d
u
2 x
u
2 y
2
u
2 z
d
u2 2
另外以U表示质量力的势函数：X U , Y U , Z U
（2）选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或 渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。
（3）选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通 常选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同 的压强标准。
（4）列能量方程解题：注意与连续性方程的联合使 用。
第四节 恒定总流的动量方程
1 动量方程的推导
2 动量方程的解题步骤
5 两断面间有分流或汇流的伯努利方程
对1’-1’、2-2断面列伯努利方程
z1
p1
g
v12 2g
z2
p2
g
v
2 2
2g
hw12
1-1断面为渐变流断面，并设断面
流速分布均匀：
6 伯努利方程的解题步骤（三选一列）
（1）选择基准面：基准面可任意选定，但应以简化 计算为原则。例如选过水断面形心（z=0），或选 自由液面（p=0）等。
流向变化很小的流动称为渐变流；反之为 急变流。
性质：流线近似于平行直线； 过流断面近于平面；断面上 压强分布也与均匀流断面相 同。
2 总流的伯努利方程 由元流的伯努利方程可 得总流的能量关系：
A1 z1
p1
g
u12 2g
dQ
A2
z
2
p2
g
u
2 2
2g
dQ
Q
hw
dQ
（1）势能积分：
A
z
p
g
dQ
速分布，分布越均匀， α值越小，越接近于1.0。
层流α =2.0、紊流α =1.05~1.1。一般工程计算
中常取α =1.0。
（3）水头损失积分：
hw dQ hwQ
Q
hw为总流平均单位能量损失。实际是表示单位
重量流体克服流动阻力所做的功。
整理以上积分式，
z1
p1
g
v12
2g
Q1
z
2
p2
g
注意与能量方程及连续性方程的联合使用。
总结：流体力学基本方程
平衡方程（流体静力学方程） 连续方程（质量守恒） 运动方程（动量守恒）－Euler方程和N-S方
程 能量方程（能量守恒）－伯努利方程 思考1：这些方程适用的流动条件及其原因？
（何种流动、公式推导中的假设） 思考2：“三大守恒”在其它学科中的具体表
v22
2g
Q2
hwQ
若Q1=Q2，z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
适用于恒定流动；质量力中只有重力；不可压
缩流体；过流断面为渐变流断面；两断面间无
分流和汇流。
3 总流伯努利方程的物理意义和几何意义 与元流伯努利方程相似，需注意以下几点： （1）以断面平均流速v，代替元流中的点流速
u； （2）以平均水头损失hw，代替元流的水头损
失h’w； （3）各项反映的是整股水流的能量代替某一
元流的能量，总流方程中的各项均为平均 意义。
4 有能量输入或输出的伯努利方程
z1
wk.baidu.com
p1
g
1v12
2g
Hm
z2
p2
g
2v22
2g
hw
式中 +Hm—单位重量流体通过流体机械获得的机械能，如水泵的扬程； -Hm—单位重量流体给予流体机械的机械能，如水轮机的作用水头。
图 3-19 皮托-静压管
图 3-20 皮托-静压管构造及连接方式
二、文特里(Venturi)流量计
文特里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩 段、喉部和扩散段三部分组成，如图3-21所示。它是利用收缩段， 造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用Ｕ形管差压计测量出压 强差，从而求出管道中流体的体积流量。
（1）选控制体：根据问题的要求，将所研究的两个 渐变流断面之间的水体取为控制体； （2）选坐标系：选定坐标轴 的方向，确定各作用力 及流速的投影的大小和方向； （3）作计算简图：分析控制体受力情况，并在控制 体上标出全部作用力的方向； （4）列动量方程解题：将各作用力及流速在坐标轴 上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强采 用相对压强计算。
总水头 流速高度
（速度水头）
测压管高度 （压强水头）
位置高度 （高度水头，位置水头）
测压管水头
p p
u 2g g 2ghu
考虑毕托管对元流场的干扰 以及黏性效应等因素，上式 修正为：
uc
2g p p c
g
2ghu
c : 0.98 ~ 1.0
3 黏性流体元流伯努利方程 （1）实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，
质量力： PM
PN
pM
dydz
p
1 2
p x
dx dydz
pN
dydz
p
1 2
p x
dx dydz
由牛顿第F二Bx 定X律dxdy可dz 得：pM
pN
dydz
Xdxdydz
dxdydz
Du x Dt
化简并整理 可得：
X
1
p x
Dux Dt
u x t
ux
u x x
uy
u x y
现形式和应用 “少壮不努力，老大徒伤悲”
伯努利方程的应用
理想流体微元流束的伯努利方程，在工程中广泛应用于管道中 流体的流速、流量的测量和计算，下面以应用最广泛的皮托管和 文特里流量计为例，介绍它们的测量原理和伯努利方程的应用。
一、皮托管 在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流速的大小，然 后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量，要测量管道中 流体的速度，可采用皮托管来进行，其测量原理如图3-17所示。 在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端
第四章 流体动力学基础
第一节 流体的运动微分方程(动量守恒） 第二节 元流的伯努利方程(能量守恒） 第三节 恒定总流的伯努利方程 第四节 恒定总流的动量方程
第一节 流体的运动微分方程
1 无黏性流体运动微分方程
六面体形心点O’（x, y, z）处
p、ux、uy、uz。 x方向上的受力和运动情况：
表面力：
uz
u y z
Z
1
p z
2u z x 2
2uz y 2
2uz z 2
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
不可压缩黏性流体运动微分方程（N-S方程）
上式是不可压缩流体的普遍式。与连续性方程连立， 理论上可求出流速场、压力场。
第二节 元流的伯努利方程
1 无黏性流体的伯努利方程（Bernoulli）
对恒定流：
X
1
p x
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
Y
1
p y
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
分别乘以流线上微元线段的投影dx、dy、dz，
以x方向为例：Xdx
1
p x
dx
u
x
u x x
uy
u x y
uz
BA Z
V Z
图 3-17 皮托管测速原理
开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。将测速管（又称皮托管）
的一端正对着来流方向，另一端垂直向上，这时测速管中上升的
液柱比测压管内的液柱高h。这是由于当液流流到测速管入口前的 A点处，液流受到阻挡，流速变为零，则在测速管入口形成一个驻 点A。驻点A的压强PA称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动 处（例如B点）的液体压强为 PB，速度为V。应用伯努利方程于同 一流线上的Ｂ、Ａ两点，则有
压能
（重力势能）（压强势能）
动能
2 元流伯努利方程的物理意义和几何意义 （1）适用于无黏性流体；恒定流动；质量力
中只有重力；沿元流（流线）；不可压缩 流体； （2）对上述条件的流体，各断面单位重量的 总机械能保持不变； （3）确立了一元流动中，动能和势能，流速 和压强相互转换的普遍规律，提出了理论 流速和压强的计算公式。
(1) 弄清题意，看清已知什么，求解什么，是简单的流动问题，还是既 有流动问题又有流体静力学问题。
(2) 选好有效截面，选择合适的有效截面，应包括问题中所求的参数， 同时使已知参数尽可能多。通常对于从大容器流出，流入大气或者从一 个大容器流入另一个大容器，有效截面通常选在大容器的自由液面或者 大气出口截面，因为该有效截面的压强为大气压强，对于大容器自由液 面，速度可以视为零来处理。
以文特里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面1-1，
2-2的伯努利方程
0 p1 V12 0 p2 V22
g 2g
g 2g
由一维流动连续性方程
V1
A2 A1
V2
图 3-21 文特里流量计原理图
整理得 由流体静力学
V2
2( p1 p2 )
[1 ( A2 / A1)2 ]
p1 p2 (液 )gh液
z
p
g
Q
（2）动能积分： u2 dQ u3 dA
A 2g
A 2g
引入断面平均速度v，
u3
A
2g
dA
v 2
2g
Q
α是为修正以断面平均速度计算的动能与实际
动能的差异而引入的修正系数，称为动能修正
系数。
u 3 dA
A 2g
u 3dA
A
v 3 dA v 3 A
A 2g
α是一无量纲数，取决于总流过水断面上的流
所以
V2
2g(液 )h液 [1 ( A2 / A1)2 ]
上式表明，若ρ液， ρ ，A2，A1已知，只要测量出h液，就可以
确定流体的速度。流量为：
qV
A2V2
4
d
2 2
2g(液 )h液 [1 ( A2 / A1)2 ]
三、伯努利方程应用时注意的几个问题
伯努利方程是流体力学的基本方程之一，与连续性方程和流体静力学 方程联立，可以全面地解决一维流动的流速(或流量)和压强的计算问题， 用这些方程求解一维流动问题时，应注意下面几点：
分方程。
2 黏性流体运动微分方程 表面力除法向压应力外，还有两个切应力。
X
1
p x
2u x x 2
2ux y 2
2ux z 2
u x t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
Y
1
p y
2u y x 2
2uy y 2
2uy z 2
u y t
ux
u y x
uy
u y y